Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante, ou seja:

Razão, Proporção e Regra de Três

Teoria

Razões e proporções

Razão é a fração determinada por duas grandezas, que visa a obter a relação que se estabelece entre as quantidades de cada uma delas em uma determinada situação. Assim, uma razão entre as grandezas a e b é dada por 𝑎

𝑏

.

Quando duas razões têm o mesmo resultado, ou seja, se elas são iguais, determinam uma proporção. Desse modo, a proporção dada por quatro números a, b, c e d é representada pela seguinte igualdade de razões:

𝑎 𝑏 = 𝑐

𝑑 = 𝑘

em que k é a constante de proporcionalidade.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante, ou seja:

𝑎 𝑏 = 𝑘

Assim, ao variar uma grandeza, a outra também varia na mesma razão.

Exemplo: Um pai deixou para seus filhos André, Bruno e Cristiano uma herança de R$ 70.000,00 a ser distribuída em quantias diretamente proporcionais a 1,2 e 4, respectivamente. Quanto cada um dos três filhos recebeu?

Chamemos por A, B e C as quantias recebidas por André, Bruno e Cristiano, respectivamente. A seguinte proporção pode ser montada:

𝐴 1=𝐵

2 =𝐶 4= 𝑘

Igualando-se cada razão à constante k de proporcionalidade, podem-se criar as seguintes equações:

𝐴 = 𝑘, 𝐵 = 2𝑘 𝑒 𝐶 = 4𝑘

Dessa maneira, sabemos que a soma das quantias recebidas por cada um é o valor total da herança, R$ 70.000,00:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 70000 𝑘 + 2𝑘 + 4𝑘 = 70000

7𝑘 = 70000 𝑘 = 70000

7 𝑘 = 10000

Assim, André recebeu R$ 10 000,00, Bruno recebeu R$ 20 000,00 e Cristiano, R$ 40 000,00.

Grandezas Inversamente proporcionais

Duas grandezas a e b são inversamente proporcionais quando o produto entre elas é constante, ou seja:

𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑘

Assim, ao variar uma grandeza, a outra também varia na razão inversa.

Exemplo: Um pai deixou para seus filhos André, Bruno e Cristiano uma herança de R$ 70.000,00 a ser distribuída em quantias inversamente proporcionais a 1, 2 e 4, respectivamente. Quanto cada um dos três filhos recebeu?

Chamemos por A, B e C as quantias recebidas por André, Bruno e Cristiano, respectivamente. A seguinte proporção pode ser montada:

𝐴 = 2𝐵 = 4𝐶 = 𝑘

Igualando-se cada razão à constante k de proporcionalidade, podem-se criar as seguintes equações:

𝐴 = 𝑘, 𝐵 = 𝑘

2 𝑒 𝐶 = 𝑘 4

Dessa maneira, sabemos que a soma das quantias recebidas por cada um é o valor total da herança, R$

70.000,00:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 70000 𝑘 +𝑘

2+𝑘

4= 70000 4𝑘 + 2𝑘 + 𝑘

4 = 70000 7𝑘

4 = 70000 7𝑘 = 70000 ∙ 4

𝑘 = 280000 7 𝑘 = 40000

Assim, André recebeu R$ 40 000,00, Bruno recebeu R$ 20 000,00 e Cristiano, R$ 10 000,00.

Escala

Escalas de mapas e miniaturas são exemplos de razões entre grandezas de mesma natureza (neste caso, comprimento). Uma escala (E) é a razão entre o comprimento do desenho ou da miniatura (d) e o comprimento real (r).

𝐸 = medida do desenho medida real = 𝑑

𝑟

Escalas de mapas e miniaturas geralmente são representadas na forma de 1 : R , ou seja, 1 unidade de comprimento do desenho representa R unidades de comprimento no real. Existem também escalas de áreas, que é o valor da escala ao quadrado, e escalas volumétricas, que é o valor da escala ao cubo.

Regra de 3 Simples

Na aula passada, vimos como relacionar grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Agora, vamos aplicar tais estratégias em contextos que envolvem duas grandezas, especificamente em casos em que um de seus valores é desconhecido. De forma prática, aplicaremos o seguinte passo a passo:

• 1° passo: identificar as grandezas envolvidas no problema, perceber se são diretamente ou inversamente proporcionais e atribuir uma variável para o valor desconhecido.

• 2° passo: montar a proporção entre as grandezas (mantendo ou invertendo as razões, a depender se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, respectivamente) e efetuar os cálculos necessários.

Exemplo: Uma confeiteira produz 100 brigadeiros com 4 latas de leite condensado. Determine quantos brigadeiros serão produzidos com 10 latas de leite condensado.

1° passo:

● As grandezas quantidade de brigadeiros e quantidade de latas de leite condensado são diretamente proporcionais, uma vez que, quanto mais latas, maior é o número de brigadeiros produzidos.

● Valores das grandezas:

● Número de brigadeiros (100, x)

● Latas de leite condensado (4, 10).

2° passo:

100 𝑥 = 4

10→ 4𝑥 = 1000 → 𝑥 = 250 Serão produzidos 250 brigadeiros.

Exemplo: Um grupo de 5 professores levou 12 dias para preparar uma avaliação da escola onde trabalham.

Considerando que todos os professores têm a mesma produtividade e velocidade de trabalho, quantos dias serão necessários para que 30 professores preparem essa mesma avaliação?

1° passo:

● As grandezas quantidade de professores e tempo são inversamente proporcionais, uma vez que, quanto mais professores trabalhando na tarefa, menos tempo será necessário para completá-la.

● Valores das grandezas

● Professores (5, 30)

● Tempo (12, x).

2° passo:

Como as grandezas são inversamente proporcionais, deve-se inverter uma das razões. Repare que, na resolução a seguir, será invertida a segunda fração.

5 30= 𝑥

10→ 𝑥 =5 ∙ 12 30 = 2 Serão necessários 2 dias para que 30 professores preparem a avaliação.

Exercícios de Fixação

1.

Certa empresa de contabilidade recebeu um grande malote de 115 documentos para serem arquivados.

O gerente pediu que André, Bruno e Carlos realizassem esse arquivamento. Para tentar favorecer os funcionários mais antigos, o gerente decidiu que a distribuição do número de documentos que cada um dos três ficaria responsável em arquivar seria inversamente proporcional ao seu tempo de serviço na empresa. Antônio era o mais novo na empresa, com 3 anos de contratado; Bruno era o mais antigo, com 16 anos de contratado; e Carlos tinha 12 anos de contratado. Com isso, Carlos ficou responsável por arquivar:

a) 25 documentos b) 15 documentos c) 20 documentos d) 30 documentos e) 80 documentos

2.

Calcule três número x, y e z, diretamente proporcionais a 2, 3 e 4, sabendo-se que: 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 66.

3.

Em uma empresa de móveis, um cliente encomenda uma estante nas dimensões 208 cm de altura, 320 cm de largura e 64 cm de profundidade. Alguns dias depois um projetista, com o desenho elaborada na escala 1:16, entra em contato com o cliente para fazer sua apresentação. Qual é a medida da largura do desenho?

a) 20 cm b) 30 cm c) 54 cm

4.

Uma empresa consegue colocar 420 doces dentro de 6 caixas. Quantos doces cabem em 10 caixas?

a) 600 b) 660 c) 700 d) 760

5.

Doze máquinas produzem 2000 peças em 80 minutos. Quanto tempo é necessário para que metade dessas máquinas produzam 4000 peças?

a) 320 minutos b) 280 minutos c) 240 minutos d) 200 minutos

Exercícios de vestibulares

1.

(Enem - 2013) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos.

Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?

a) 300 tijolos b) 360 tijolos c) 400 tijolos d) 480 tijolos e) 600 tijolos

2.

(Enem - 2016) Cinco marcas de pão integral apresentam as seguintes concentrações de fibras (massa de fibra por massa de pão):

● Marca A: 2 g de fibras a cada 50 g de pão;

● Marca B: 5 g de fibras a cada 40 g de pão;

● Marca C: 5 g de fibras a cada 100 g de pão;

● Marca D: 6 g de fibras a cada 90 g de pão;

● Marca E: 7 g de fibras a cada 70 g de pão.

Recomenda-se a ingestão do pão que possui a maior concentração de fibras.

Disponível em: www.blog.saude.gov.br. Acesso em: 25 fev. 2013.

A marca a ser escolhida é a) A

b) B c) C d) D e) E

3.

(Enem - 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1:100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm.

O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6.

b) 600.

c) 6 000.

d) 60 000.

e) 6 000 000.

4.

(Enem - 2017) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1 000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.

A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é

a) 11,25.

b) 27,00.

c) 28,80.

d) 32,25.

e) 49,50.

5.

(Enem - 2016) De forma geral, os pneus radiais trazem em sua lateral uma marcação do tipo abc/deRfg, como 185/65R15. Essa marcação identifica as medidas do pneu da seguinte forma:

● abc é a medida da largura do pneu, em milímetro;

● de é igual ao produto de 100 pela razão entre a medida da altura (em milímetro) e a medida da largura do pneu (em milímetro);

● R significa radial;

● fg é a medida do diâmetro interno do pneu, em polegada.

A figura ilustra as variáveis relacionadas com esses dados.

O proprietário de um veículo precisa trocar os pneus de seu carro e, ao chegar a uma loja, é informado por um vendedor que há somente pneus com os seguintes códigos: 175/65R15, 175/75R15, 175/80R15, 185/60R15 e 205/55R15. Analisando, juntamente com o vendedor, as opções de pneus disponíveis, concluem que o pneu mais adequado para seu veículo é o que tem a menor altura.

Desta forma, o proprietário do veículo deverá comprar o pneu com a marcação a) 205/55R15.

b) 175/65R15.

c) 175/75R15.

d) 175/80R15.

e) 185/60R15

6.

(Enem-2020) Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes proporcionais a: 4, 6 e 6, respectivamente. Com a intenção de igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos outros dois sócios.

A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é:

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/9 d) 2/3 e) 4/3

7.

(Enem - 2017) A mensagem digitada no celular, enquanto você dirige, tira a sua atenção e, por isso, deve ser evitada. Pesquisas mostram que um motorista que dirige um carro a uma velocidade constante percorre “às cegas” (isto é, sem ter visão da pista) uma distância proporcional ao tempo gasto ao olhar para o celular durante a digitação da mensagem. Considere que isso de fato aconteça.

Suponha que dois motoristas (X e Y) dirigem com a mesma velocidade constante e digitam a mesma mensagem em seus celulares. Suponha, ainda, que o tempo gasto pelo motorista X olhando para seu celular enquanto digita a mensagem corresponde a 25% do tempo gasto pelo motorista Y para executar a mesma tarefa.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 21 jul. 2012 (adaptado).

A razão entre as distâncias percorridas às cegas por X e Y, nessa ordem, é igual a a) 5/4

b) 1/4 c) 4/3 d) 4/1 e) 3/4

8.

(Enem - 2016) Um paciente necessita de reidratação endovenosa feita por meio de cinco frascos de soro durante 24 h. Cada frasco tem um volume de 800 mL de soro. Nas primeiras quatro horas, deverá receber 40% do total a ser aplicado. Cada mililitro de soro corresponde a 12 gotas.

O número de gotas por minuto que o paciente deverá receber após as quatro primeiras horas será a) 16

b) 20 c) 24 d) 34 e) 40

9.

(Enem - 2020) A caixa-d’agua de um edifício terá a forma de um paralelepípedo retângulo reto com volume igual a 28080 litros. Em uma maquete que representa o edifício, a caixa-d’agua tem dimensões 2cm × 3,51 𝑐𝑚 × 4 𝑐𝑚.

Dado: 1 dm³ = 1L

A escala usada pelo arquiteto foi a) 1:10

b) 1:100 c) 1:1000 d) 1:10000 e) 1:100000

10.

(Enem - 2016) Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m², sabe-se que, se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento. Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte sonora, é

a) ^{500 . 81}

𝐴 . 𝐷²

b) ^{500 . 𝐴}

𝐷²

c) ^{500 . 𝐷²}

𝐴

d) 500 . 𝐴 . 𝐷² 81

e) 500 .3 . 𝐷² 𝐴

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Gabaritos

Exercícios de fixação

1. C

Vamos considerar A a quantidade de documentos de André, B de Bruno e C de Carlos e são inversamente proporcionais, respectivamente, a 3, 16 e 12 então:

3𝐴 = 16𝐵 = 12𝐶 = 𝑘

Colocando em função de k, temos:

𝐴 = 𝑘 3 𝐵 = 𝑘

16 𝐶 = 𝑘

12 Portanto, 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 115 𝑘

3+ 𝑘 16+ 𝑘

12= 115

Tirando o MMC(3,16,12) = 48, temos:

16𝑘 + 3𝑘 + 4𝑘

48 = 115

23𝑘 48 = 115 23𝑘 = 115 ∙ 48 𝑘 = 5520 𝑘 = 240 23

Substituindo achamos:

𝐶 = 240

12 = 20 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 2. Gabarito: x = 12; y = 18; z= 24

Como x,y e z são diretamente proporcionais, respectivamente, a 2,3 e 4, então:

𝑥 2=𝑦

3=𝑧 4

Pegando a primeira e a segunda temos:

𝑥 2=𝑦

3 2𝑦 = 3𝑥 𝑦 = 3𝑥

2

Pegando a segunda e a terceira, temos:

𝑥 2=𝑧

4 2𝑧 = 4𝑥

𝑧 =4𝑥 2 = 2𝑥

Agora podemos substituir em 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 66 3𝑥 −3𝑥

2 + 2(2𝑥) = 66 7𝑥 −3𝑥

2 = 66 14𝑥 − 3𝑥

2 = 66 11𝑥 = 66 ∙ 2 𝑥 =132

11 𝑥 = 12

Então, 𝑦 = 3𝑥

2 =3 ∙ 12

2 = 3 ∙ 6 = 18 E

𝑧 = 2𝑥 = 2 ∙ 12 = 24

Portanto, x= 12; y = 18; z = 24.

3. A

Se a escala é 1:16, e o valor real da largura do móvel é 320 cm E = medida do desenho

medida real E = 1

16= d 320 16d = 320 d = 20 cm

4. C

Se tivermos mais caixas, então teremos mais doces, logo as grandezas são diretamente proporcionais:

420 − 6 𝑥 − 10

Agora, basta multiplicarmos cruzado:

6𝑥 = 420 ⋅ 10 ⇒ 6𝑥 = 4200 ⇒ 𝑥 =4200

6 ⇒ 𝑥 = 700

5. A

Temos aqui três grandezas: quantidade de máquinas, número de peças e tempo.

12 − 2000 − 80 6 − 4000 − 𝑥

Tomando o número de peças como referencial, temos que a grandeza quantidade de máquinas é inversamente proporcional e o tempo é diretamente proporcional, logo, invertemos uma das frações:

6 − 2000 − 80 12 − 4000 − 𝑥

Calculando, temos 80

𝑥 = 6 12⋅2000 80 4000

𝑥 =1 2⋅2 80 4

𝑥 =2 2𝑥 = 640 8 𝑥 = 320

Exercícios de vestibulares

1. D

O caminhão pode suportar até 1200 tijolos ou 1500 telhas.

A razão entre o número máximo de tijolos e o de telhas que o caminhão pode carregar é ¹²⁰⁰₁₅₀₀=⁴

5. Ou seja, levar 5 telhas é o mesmo que levar 4 tijolos.

Fazendo uma regra de três:

x tijolos - 4 tijolos 900 telhas - 5 telhas x = 720 tijolos

Isto é, 720 tijolos equivalem a 900 telhas.

(1200 - 720) tijolos ainda podem ser acrescentados à carga, sem ultrapassar a carga máxima. Portanto, ainda posso por 480 tijolos no veículo.

2. B

Deverá ser escolhida a marca de pão que apresenta a maior razão entre a massa de fibras e a massa de pão. Calculando as concentrações de fibras em cada uma das marcas, temos:

A: 2÷50 = 0,040 B: 5÷40 = 0,125 C: 5÷100 = 0,050 D: 6÷90 ≈ 0,067 E: 7÷70 = 0,100

Assim, deverá ser escolhida a marca B.

3. E

Temos que o desenho dessa garagem está desenhada na escala 1:100 e que as dimensões reais do armário são de 300 cm, 100 cm e 200 cm.

O volume, então, desse armário é de 300 ∙ 100 ∙ 200 = 6.000.000 cm³.

4. B

De acordo com o enunciado temos que o volume de água na piscina é igual a:

𝑉 = 5 ∙ 3 ∙ 1,2 = 15 ∙ 1,2 = 18 𝑚³ = 18 000 𝑙 Logo, a quantidade de produto será:

18 000 ∙ 1,5

1000 = 27 𝑚𝑙

5. E

Como abc é a largura do pneu, em milímetro, e de é 100 ⋅ altura (mm)/ largura (mm), o pneu de menor altura será o de menor produto abc ⋅ de.

Assim, como 185∙60 < 205∙55 < 175∙65 < 175∙75 < 175∙80 então o proprietário deverá comprar o pneu 185/60R15.

6. C

Sejam a, b e c, respectivamente, as partes de Antônio, Joaquim e José. Tem-se que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 e 𝑎

4=𝑏 6=𝑐

6= 𝑘

Com k sendo a constante de proporcionalidade. Dai, vem 4𝑘 + 6𝑘 + 6𝑘 = 1 ↔ 𝑘 = 1

16 Portanto, segue que 𝑎 = 4

16 𝑒 𝑏 = 𝑐 = 6 16

Se x é a parte do capital de Joaquim e de José será vendida para Antônio, então 4

16+ 2𝑥 = 6

16− 𝑥 ↔ 𝑥 = 1 24 A resposta é

1 24

6 16

=1 9

7. B 𝐷1

𝐷2 =𝑣 ∙ 𝑡₁

𝑣 ∙ 𝑡₂ =𝑣 ∙ 0,25 ∙ 𝑡₂

𝑣 ∙ 𝑡₂ = 0,25 =1 4 8. C

Volume Total = 5 ∙ 800 mL = 4000 mL 4 horas —— 0,4 ∙ 4000 mL = 1600 mL Faltam 4000 – 1600 = 2400 mL Como 1 mL = 12 gotas

2400 mL = y y = 28.800 gotas

Então, o número de gotas/minuto restante será: 28800 / 20.60 = 24 gotas/min 9. B

Sendo 28080 dm³ = 28080000 cm³ e 2 ∙ 3,51 ∙ 4 = 28,08 𝑐𝑚³ o volume da maquete, temos 𝐸³= 28,08

28080000↔ 𝐸 = √ 1

1000000= 1 10³= 1

100

10. B

Sejam x a espessura do material que reveste a parede e C o custo do material. O volume do material é x

⋅ A e, dadas as proporcionalidades 𝑥 ∙ 𝐷² 𝑒 𝐶

𝑥 ∙ 𝐴 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠.

Assim, 𝑥 ∙ 𝐷²∙ 𝐶

𝑥 ∙ 𝐴 =𝐷²∙ 𝐶 𝐴 é constante igual a 500 ∙ 3²

9 = 500

Então, (C ⋅ D²)/A = 500.

𝐷²∙ 𝐶 𝐴 = 500 Por fim, 𝐶 =500𝐴

𝐷²