FORMULAÇÃO VARIACIONAL DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL ESCRITAS POR MEIO DE FORMAS DIFERENCIAIS

FORMULAÇÃOVARIACIONALDASEQUAÇÕESDEMAXWELLESCRITASPORMEIODE FORMASDIFERENCIAIS

A^NTONIO F^ARIA N^ETO,A^NTONIO M^{ARMO DE} O^LIVEIRA UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ

DPMAFIS–A^V.M^ARECHAL D^{EODORO DA} F^ONECA,605–J^ARDIM S^ANTA C^LARA–T^AUBATÉ/SP–12080-000 G^ERMANO L^AMBERT-TORRES

GAIA–G^{RUPO DE} APLICAÇÕES EM INTELIGÊNCIA A^RTIFICIAL –UNIVERSIDADE F^{EDERAL DE} I^TAJUBÁ AV.BPS,1303–PINHEIRINHO –ITAJUBÁ/MG–37500-903

E-mails: antfarianeto@gmail.com, amarmo@vivax.com.br, germano@unifei.edu.br

Abstract:This paper presents the formulation of Maxwell’s equations by means of differential forms, and follows presenting the variational formulation of Maxwell’s equations according to this mathematical structure, which has its own algebra. This ar- ticle shows the power of a method created by the authors and presented in several others papers. May be this is the unique varia- tional formulation which took place from operators written in differential forms. This fact is quite different from every thing ever presented in classical calculus of variations. In addition, this paper makes some considerations about the evolution of the inverse variational formulation.

Keywords Calculus of Variations, Differential Forms, Inverse Variational Formulation, Maxwell’s Equations

Resumo: Este artigo apresenta a formulação das equações de Maxwell por intermédio de formas diferenciais, e em seguida é  feita a sua formulação variacional. Este feito ilustra o potencial de um método de formulação variacional criado pelos autores e apresentado em uma série de outros artigos. A importância deste trabalho reside no fato de que, talvez, seja essa a única formula- ção variacional feita a partir dessa estrutura matemática conhecida por formas diferenciais, o que foge totalmente do enfoque clássico do cálculo variacional. Adicionalmente, este artigo tece algumas considerações sobre a evolução da formulação varia- cional inversa ao longo dos anos.

Palavras-chave Cálculo Variacional, Equações de Maxwell, Formas Diferenciais, Formulação Variacional Inversa

1 Introdução

A formulação variacional é uma forma alternativa para se descrever um problema de engenharia ou mesmo de física-matemática. A formulação variacio- nal de um problema redunda sempre em uma forma elegante de apresentá-lo, facilitando a sua interpreta- ção física, além de aumentar as possibilidades para o seu desenvolvimento teórico, como, por exemplo, a aplicação da mecânica Hamiltoniana. Outra vanta- gem da formulação variacional é a possibilidade de permitir a solução de problemas não-lineares através de métodos numéricos conhecidos e de rápida con- vergência.

Ao longo da história, a abordagem clássica da formulação variacional tem sido aquela em que pri- meiramente encontra-se o Lagrangeano do problema, e em seguida através da aplicação das equações de Euler-Lagrange determina-se um conjunto de equa- ções diferenciais capazes de explicá-lo. A essa abor- dagem dá-se o nome de formulação variacional dire- ta. Uma outra abordagem da formulação variacional é aquela conhecida como formulação variacional inversa, onde primeiramente se conhecem as equa- ções diferenciais que descrevem o sistema e em se- guida por intermédio de algumas técnicas chega-se a um funcional equivalente, que ao ser variado deve retornar às equações originais.

Contudo, esse processo reverso não é tão simples.

Determinar o funcional cuja variação resulta nas

equações de equilíbrio dinâmico tratava-se inicial- mente de um procedimento de tentativa e erro, so- mente em alguns casos esse procedimento era passí- vel de uma abordagem metodológica e sistematizada.

Deve ser dito que muito tempo e esforço foram feitos para desenvolver métodos para a construção de princípios variacionais, a partir das equações de equilíbrio dinâmico.

Descobrir um princípio variacional era como uma arte. Normalmente, aplicava-se várias transfor- mações às equações de equilíbrio dinâmico e então usava-se o cálculo variacional para verificar se as equações de equilíbrio dinâmico reapareciam como as equações de Euler-Lagrange. Quando se era bem sucedido nessa busca, apresentava-se, na maioria das vezes, apenas o funcional, mas não as etapas que levaram a sua formulação.

Para tornar o assunto ainda mais difícil, deve-se dizer que há problemas para os quais não existe uma formulação variacional.

Dentro do contexto da moderna análise funcional, contudo, a condição de existência de solução do problema inverso foi estabelecida, em princípio, por Vainberg (1964). A Resposta à questão da existência de um princípio variacional era equivalente a deter- minar se um operador era, ou não, um operador po- tencial. Em caso afirmativo, o princípio variacional era dado diretamente por uma sistemática de cálculo.

Enzo Tonti (1967)-(1973) apresentou um trabalho de simplificação da teoria de Vainberg (1964), que é

uma teoria muito abstrata, tornando-a mais acessível aos físicos e engenheiros. Desenvolveu um forma- lismo e um procedimento para deduzir várias fórmu- las operacionais para determinar se um dado opera- dor era, ou não, potencial. Finlayson (1972) usou o formalismo de Tonti (1967) - (1969) e estendeu o conceito de operador adjunto às equações não- lineares. Após o surgimento desse trabalho, disponi- bilizaram-se resultados para equações diferenciais ordinárias de quarta ordem, e sistemas de equações diferenciais parciais de segunda ordem.

Contudo, as condições para a existência de um operador potencial são muito restritivas. Além disso, sabe-se que a maioria dos problemas reais é de natu- reza dissipativa, o que conduz necessariamente, a inexistência de um operador potencial. Não obstante essas dificuldades, alguns operadores podem ser transformados em um operador alternativo, que satis- faz as condições de potencialidade. Novamente, contudo, as condições para sua existência também são muito restritivas e as técnicas que permitem esta transformação são difíceis de serem sistematizadas.

Assim, uma série de problemas de grande impor- tância não podia ser formulada variacionalmente.

Contudo, Faria Neto et al (2005)-(2006), demonstrou um teorema geral para o cálculo variacional inverso, o qual transformou o teorema de Vainberg (1964), em um caso particular, e que permitiu a criação de um método para a formulação variacional inversa que possibilita a formulação variacional de uma série de problemas que até então eram tidos como casos clássicos de impossibilidade de formulação variacio- nal.

Tal método mostrou-se robusto e versátil, a ponto de poder ser empregado a várias estruturas algébri- cas, como, por exemplo, às formas diferenciais.

Segundo Deschamps (1981), as formas diferenci- as se constituem numa ferramenta essencial para a expressão de certas leis físicas, embora ainda seja um assunto praticamente desconhecido nos cursos de engenharia, a despeito da sua conveniência, capaci- dade de compactação, além de muitas outras quali- dades.

Uma propriedade fundamental das formas dife- renciais é que elas possuem uma estrutura algébrica natural, conhecida, atualmente, por álgebra exterior.

Essa álgebra define uma operação conhecida por derivada exterior, que opera diretamente sobre as formas diferenciais produzindo outras formas (de grau superior), que substitui e generaliza os operado- res gradiente, divergente e rotacional, tão familiares no cálculo vetorial clássico.

A proposta deste artigo é fazer a formulação vari- acional inversa das equações de Maxwell, quando estas estão escritas sob formas diferenciais.

Portanto, inicialmente este artigo apresentará uma breve introdução à álgebra exterior segundo Misner et al (1970) e Flanders (1982), que culminará com a formulação das equações de Maxwell sob formas diferenciais. Em seguida será feita a formulação variacional inversa dessas equações aplicando-se o método de formulação mencionado anteriormente.

2 Formulação das Equações de Maxwell a Partir de Formas Diferenciais

Antes da formulação variacional das equações de Maxwell por meio de formas diferenciais é necessá- rio formular as equações de Maxwell por intermédio das formas diferenciais. Primeiramente, é necessário considerar os seguintes postulados :

• A existência de uma 1-forma, que represente os potenciais elétrico e magnético A= A_iσⁱ;

• A existência de uma 3-forma que represente a densidade de corrente e a densidade de carga.

Esses postulados implicam em idéias que serão expressas em termos de formas diferenciais em uma variedade quadri-dimensional.

2.1 Notação

Considere o campo dos números reais e L um espaço vetorial n-dimensional sobre com elemen- tos , ,α β . Para cada p=0,1, 2, ,n, constrói-se um novo espaço vetorial ∧^pLsobre , chamado de espaço de p-vetores em L. Começa-se com

0L , 1L L,

∧ = ∧ = . Daqui em diante será analisa- do o espaço vetorial das p-formas, ∧^pL.

Os elementos σ^Hde uma base de ∧^pLpode ser construído a partir de p elementos

( )

, 1, 2, , ,

hj

j p hj

σ = ∈ de uma base de ∧¹L

como segue:

σ^H =σ^h1∧σ^h2 ∧ ∧σ^hp (1) Então, ∧^pL

(

²≤p≤n

)

, consiste de todas as combinações lineares dos p-vetores σ^H, sujeitos somente às seguintes restrições:

•

( ) ( )

( )

2 2

2

p p

p

a b a

b

α β α α α α α

β α α

+ ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ +

+ ∧ ∧ ∧

• α₁∧ ∧α_p =0, se para qualquer par de índices i≠ j, α_i =α_j

• α₁∧ ∧α_p muda de sinal se quaisquer dois

α

_i

forem intercambiados.

Assim, se A∈ ∧^pL, então A pode ser reescrito como uma combinação linear de σ^H, como indicado a seguir:

A= A_Hσ^H (2) Onde:

(

^{1, , ,2} p

)

H = h h h

A diferencial de uma p-forma ^p

p J

A=AJσ , para

(

^{1, , ,2}

)

p p

J = j j j , é uma (p+1)-forma:

( )

1 1

( )

p

p p

p jJ

I j J

dAI A

ε x

+ +

= ∂

∂ (3) Onde:

H

ε

I - Tensor de permutação de Levi-Civita se H for uma permutação par de I se H for uma permutação ímpar de I 0

H I

g ε g

+

= −

Onde:

g - Módulo do determinante da métrica considerada.

Em particular, para uma 1-forma, Jp =J1=

( )

j1

e I_p+1=I₂=( , )i i_{1 2} , então:

dA

( )

dA_{i i1 2,} ^{i1 i2 Ai}_i1² dxⁱ¹ dxⁱ² σ σ ^∂x

= ∧ = ∧

∂ ⁽⁴⁾

2.3 Postulado do Potencial A e da Intensidade F

Considere uma 1-forma A=A_iσⁱ, denominada de potencial. Deste potencial, pode ser obtida uma 2- forma denominada intensidade eletromagnética

ij

F =Fijσ , tal que F =dA. Portanto, o ponto de partida para o eletromagnetismo clássico é a especi- ficação de uma 1-forma que represente uma função potencial, A. Por outro lado, dada a função F (2- forma), existem muitas 1-formas A que poderiam produzir o mesmo F . Esta não-unicidade é a base das teorias de restrição ( restrição de Coulomb, res- trição de Lorentz, etc.).

Da forma dual de F , G=G_ijσ^ij, é possível cons- truir uma 3-forma que represente a densidade de carga e de corrente J=J_ijkσ^ijk, tal que J =dG. Também, aqui, existem muitas 2-formas ,G, que produzem o mesmo J.

Do primeiro postulado, obtém-se um tensor cova- riante de segunda ordem, a partir do qual, é possível obter-se um primeiro par das equações de Maxwell, aquele que relaciona as intensidades de campo E e

B_:

1 0

0 rotE B

c t divB

+ ∂ =

∂

=

(5)

Do segundo postulado, determina-se uma 2-forma que relaciona as excitações de campo, D e H a partir da qual torna-se possível a obtenção de um segundo par das equações de Maxwell:

1 4

4

rotH D J

c t c

divD

π πρ

− ∂ =

∂

=

(6)

2.4 O Primeiro Par das Equações de Maxwell Se V for um espaço quadri-dimensional com coorde- nadas curvilíneas gerais, não orto-normais, os vetores

( 1, 2,3, 4)

g ii = , são tangentes a essas coordenadas e

(

^{1, 2,3, 4}

)

j j

σ = , são elementos da base dual de g_i. Contudo, considere o espaço de Minkowski , com uma base ortonormal e com assinatura

(

^{+ + + −}

)

. Neste espaço a 1-forma que representa o potencial pode ser escrita como:

A= Aⁱσⁱ =A dx^{1 1}+A dx^{2 2}+A dx^{3 3}−A dx^{4 4} (7) Em (7) pode se ver a correspondência com os po- tenciais magnético e elétrico. O potencial magnético é representado por:

1 2 3

1 2 3

A=A dx +A dx +A dx

enquanto que o potencial elétrico corresponde a:

4

A dx4

ϕ=

A diferencial de (7), de acordo com (4), é:

1 1

1 1

1 1

1 1

1 2

1 2

3 3

3 3

i i

i i

i i

i i

A A

F dA dx dx dx dx

x x

A A

dx dx dx dx

x x

∂ ∂

= = ∧ + ∧ +

∂ ∂

∂ ∂

+ ∧ − ∧

∂ ∂ (8)

(

i1=1, 2,3, 4

)

desenvolvendo (8), resulta:

2 3

3 2

2 3

3 1

3 1

3 1

1 2

2 1

1 2

1 4 2 4

1 2

4 4

3 4 1 4

3 4

4 1

2 4 3 4

4 4

2 3

1 1

1

A A

F dx dx

x x

A

A dx dx

x x

A A

dx dx

x x

A A

dx dx dx dx

c x c x

A A

dx dx dx dx

c x x

A A

dx dx dx dx

x x

∂ ∂

= − ∧

∂ ∂

∂

+ ∂ − ∧ +

∂ ∂

∂ ∂

+ − ∧ +

∂ ∂

∂ ∂

− ∧ − ∧

∂ ∂

∂ ∂

− ∧ − ∧

∂ ∂

∂ ∂

− ∧ − ∧

∂ ∂

(9)

Considerando a densidade de fluxo magnético B como uma 2-forma, do tipo:

2 3 3 1 1 2

23 31 12

B=B dx ∧dx +B dx ∧dx +B dx ∧dx (10) e a intensidade de campo elétrico E como uma 1- forma, do tipo:

E=E dx₁ ¹+E dx₂ ²+E dx₃ ³ (11) Comparando (9), (10), (11) e ainda as identidades do eletromagnetismo clássico, pode-se reescrever (9) da seguinte forma:

2 3 3 1

23 31

1 2 1 4

12 1

2 4 3 4

2 3

F dA B dx dx B dx dx B dx dx E dx dx E dx dx E dx dx

= = ∧ + ∧

+ ∧ + ∧ +

+ ∧ + ∧

(12)

Portanto, pode-se observar que (12) define os campos elétrico e magnético.

De acordo com o lemma de Poincaré, pode-se es- crever:

dF=ddA=0 (13) portanto,

1 2 3

23 31 12

1 2 3

4 2 3 4 3 1

23 31

4 4

4 1 2

12 4

2 3 4

3 2

2 3

3 1 4

3 1

3 1

1 2

2 1

1 2

1 1

1

B B B

dx dx dx

x x x

B B

dx dx dx dx dx dx

c x c x

B dx dx dx c x

E E

dx dx dx

x x

E

E dx dx dx

x x

E E

dx dx dx

x x

∂ ∂ ∂

+ + ∧ ∧ +

∂ ∂ ∂

∂ ∂

+ ∧ ∧ + ∧ ∧ +

∂ ∂

+ ∂ ∧ ∧ +

∂

∂ ∂

+ − ∧ ∧ +

∂ ∂

∂

+ ∂ − ∧ ∧ +

∂ ∂

∂ ∂

+ − ∧ ∧

∂ ∂

4=0

(14) Observando-se a equação (8.14), e usando os e- lementos do cálculo vetorial, pode-se reescreve-la da seguinte maneira:

4

3 3

1 B 0

dF div BdV dx rotE c t

= + ∧ + ∂ =

∂ ⁽¹⁵⁾ Assim, observa-se em (15) o primeiro par das e- quações de Maxwell retratado em (5).

2.5 O Segundo Par das Equações de Maxwell Considere um espaço vetorial V, e dois conjuntos de índices H =

(

h h1, , ,2 h_p

)

e M =

(

m m1, 2, ,m_{n p−}

)

. O primeiro, pode ser associado a qualquer p-forma,

H

F =FHσ , e o último associa-se a uma (n-p)-forma

*F, que é definida como segue:

*F=G_Mσ^M =ε_HMF^H

(

M ≠H

)

(16) Onde *F representa o dual de Hodge de F.

O dual de Hodge de uma 0-forma, ou seja , de um escalar é um elemento de volume do espaço conside- rado, conforme mostrado a seguir:

12 1 2

*F =*1=ε12 _nσ ⁿ = g dx ∧dx ∧ ∧dxⁿ =dV Para uma dada lei constitutiva,χ , pode-se asso- ciar a uma p-forma F, uma (n-p)-forma G, dual de Hodge, da seguinte maneira:

G=χ^*F (17) Para o caso em que F seja uma 2-forma e

n = 4

, resulta em ^H=

(

^{i j,}

)

e, assim:

ij k r

kr ijkr kr

G =ε F ∴G=εG σ ∧σ (18) Desta forma, o dual de Hodge da equação (12), é:

1 4 2 4 3 4

1 2 3

2 3 1 3 1 2

1 2 3

G H dx dx H dx dx H dx dx D dx dx D dx dx D dx dx

= ∧ + ∧ + ∧ +

− ∧ + ∧ − ∧

(19)

Conforme estabelecido pelo segundo postulado, a diferenciação exterior de (19), resulta em uma 3- forma, que pode ser explicitada como:

( )

4 4

4

4; 4; 4

ij ijk

ij ijk

J J dx

c

i j k

π σ πρ σ

= ∧ −

≠ ≠ ≠ (20)

portanto, ainda de acordo com o segundo postulado, pode-se escrever que:

dG=J (21) ou seja,

2 3 4

3 2

2 3

3 1 4

3 1

3 1

1 2 4

2 1

1 2

1 2 3

3

1 2

1 2 3

4 2 3 4 3 1

1 2

4 4

4 1 2

3 4

dG

H H

dx dx dx

x x

H

H dx dx dx

x x

H H

dx dx dx

x x

D

D D

dx dx dx

x x x

D D

dx dx dx dx dx dx

x x

D dx dx dx x

=

∂ ∂

+ − ∧ ∧ +

∂ ∂

∂

+ ∂ − ∧ ∧ +

∂ ∂

∂ ∂

+ − ∧ ∧ +

∂ ∂

∂

∂ ∂

− + + ∧ ∧ +

∂ ∂ ∂

∂ ∂

− ∧ ∧ − ∧ ∧

∂ ∂

−∂ ∧ ∧

∂

(22)

Considerando H como uma 1-forma:

H =H dx₁ ¹+H dx₂ ²+H dx₃ ³ (23) e D, como uma 2-forma:

2 3 3 1 1 2

23 31 12

D=D dx ∧dx +D dx ∧dx +D dx ∧dx (24) comparando (22), (23) e (24), pode-se escrever que:

4 1 2 3

4

4 1 2 3

1

4 ij 4

ij

dG curlH D dx divD dx dx dx c x

J dx dx dx dx dx

c

π πρ

= − ∂ ∧ − ∧ ∧ ∧

∂

= ∧ − ∧ ∧ ∧ (25)

Observando-se (25), reconhece-se o segundo par das equações de Maxwell, apresentado em (6).

Dessa forma, essa etapa conclui a formulação das equações de Maxwell por intermédio de formas dife- renciais. Condição fundamental para que se possa empreender a sua formulação variacional dentro dessa estrutura algébrica.

3 Formulação Variacional das Equações de Maxwell Escritas sob Formas Diferenciais Nesta seção, pretende-se investigar brevemente, as implicações variacionais da formulação das equações de Maxwell, quando estas são apresentadas como formas diferenciais. Para tanto, considere o diagrama de Tonti representado na figura 1.

O operador que surge nessa formulação das equa- ções de Maxwell não é o operador potencial clássico da literatura do cálculo variacional, portanto, para a sua formulação variacional será necessário aplicar o método proposto pelos autores em Faria Neto (2005) – (2006), o que ilustra o poder dessa ferramenta de modelagem que é aplicável a várias estruturas algé- bricas.

Primeiramente é necessário escolher a forma bili- near que será adotada para essa formulação variacio- nal:

, * d

α β α β

Ω

= ∧ Ω (26) Onde:

β - É uma (p +1)-forma

Com base no diagrama da figura 1, em (26), po- de-se escrever o seguinte funcional:

[

^,

]

^{1 , ,}

F A J =2 F χF + A J (27) a equação (27) pode ser reescrita como:

[

^,

]

¹

( ) (

^*

)

F A J 2 F G d A J d

Ω Ω

= ∧ Ω + ∧ Ω (28)

Lembrando que A₄ =ϕ é o potencial elétrico, (28) pode ser expandida da seguinte forma:

[

^,

]

2 B H E D

F A J A J ρϕ d

Ω

⋅ − ⋅

= − ⋅ + Ω (29)

O Lagrangeano de (29) é o lagrangeano clássico do eletromagnetismo e quando variado resulta no par de equações de Maxwell representado por (6), o que demonstra a validade do método mesmo quando aplicado a esta estrutura algébrica, qual seja, as for- mas diferenciais.

4 Conclusão

Esse artigo apresentou, inicialmente, as vantagens da formulação variacional, e por conta dessas vantagens a necessidade de se partir das equações diferenciais, que descrevem certos fenômenos, para a sua formu- lação variacional. Tal procedimento é chamado de formulação variacional inversa. Foi feita uma peque- na retrospectiva histórica da abordagem do tema, onde foram salientadas as dificuldades oferecidas por certas classes de operadores. Como o objetivo prin- cipal desse trabalho é a formulação variacional das equações de Maxwell escritas sob formas diferenci- ais, esse artigo, inicialmente, apresentou de forma didática alguns tópicos da álgebra diferencial neces- sários à formulação das equações de Maxwell sob a ótica dessa estrutura matemática, em seguida, apoia- do em outros trabalhos dos mesmos autores, apresen- tou, de forma inédita, a formulação variacional inver- sa para as equações de Maxwell escritas segundo essa álgebra, o que foge por completo do cálculo variacional clássico. Tal formulação ilustra o poder do método aplicado. O Lagrangeano obtido apresenta densidades de energia e potência dissipada, isto é, trata-se do Lagrangeano clássico do eletromagnetis- mo, o que valida por completo o método empregado.

A J

F G

d d

χχχχ d* χχχχ ^d

Figura 1. Diagrama de Tonti para as Equações de Maxwell Escritas como Formas Diferenciais

Agradecimentos

Os autores agradecem aos órgãos de fomento (CNPq, CAPES e FAPESP e FAPEMIG) pelo suporte finan- ceiro para a realização desta pesquisa.

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