Exercícios de Complementos de Matemática I

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Exerc´ıcios de Complementos de Matem´

atica I

29 de Novembro de 2018

Semana I-II-III

Do Leithold: Exercicios 1.1: ex. 1 até 56. Exercicios de revisão do cap. 1., pag 52-53: ex 1 até ex 20.

Exerc`_{ıcio 1. Sejam a, b P R, a ă b. Provar que}

a ăa ` b 2 ă b .

Deduizir que, dados, a, b P R com a ă b existe sempre γ P R tal que a ă γ ă b.

Exerc`_{ıcio 2. Sejam a P R tais que a ě 0. Provar que se a ă ε por cada ε P R, ε ą 0, ent˜ao a “ 0.} Deduzir que se a, b P R, tais que |a ´ b| ă ε por cada ε P R, ε ą 0, ent˜ao a “ b.

Exerc`ıcio 3. Resolver as inequa¸c˜oes: • x2 ´ 3x ` 1 ě ´1; • 1 x ´ 2 ´ 2 1 ´ 3x ď 4; • |x ´ 4| ě 5; • ||x ´ 1| ´ 2| ď 3; • |x ´ 1| ` |x ´ 2| ě 3; Exerc`_{ıcio 4. Provar que, em R,}

• se x ě 3, y ď ´2, então x ` y2 ě 7; • se ´1 ď x ď 2, 2 ď y ď 3, então 1 ě 1 x ` y ě 1 5 • se 2 ď x ď 4, ´3 ď y ď ´2, então 8 97 ď xy2 x2_{` y}4 ď 9 5 • se 1 ď y ď 2, ´9 ď x ď ´7, então 1 8 ď ˇ ˇ ˇ ˇ 1 x ` y ˇ ˇ ˇ ˇ ď 1 5 • se 10 ď |x| ď 20, 1 ď |y| ď 2, então 7 121 ď ˇ ˇ ˇ ˇ 3x ´ y x2_{´ y}2 ˇ ˇ ˇ ˇ ď 31 32

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Exerc`ıcio 5. Resolver as seguintes inequa¸cões. 2x ´ 1 ďa1 ´ x2_, ?_{2x ´ 1 ď}a_{1 ´ x}2_, ?_{x ´ x ď 1,} ₂a_x2_{´ 14 ě x ` 1} ˇ ˇ ˇ ˇ 2x ´ 1 1 ´ x ˇ ˇ ˇ ˇ ě 2, x 2 px ´ 1q x2_{´ 3x ` 2} ą 0, x2 ´ 4x ` 1 ´x2_{` 12x ´ 3} ą 0 , x 2 ´ 3|x| ` 2 ą 0 Exerc`ıcio 6. Dar, quando necessário, as condi¸cões para as seguintes expressões e simplifica-las.

3533725´25 5´4 7316 px9y6 q´13 px6y2_q´1 2 a 16y8_z2 a5 _x15_y10_, _{x ¨}x 2 ` 3x x3_{´ x}2

Exerc`ıcio 7. Fatorar os seguintes polinˆomios:

8x3´ 27, 16x4´ 25, 27x3` 8, x2´ 5x ` 6, 2x2´ 3x ´ 8, x3´ x2` x ´ 1

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Semana IV

Leithold: exercicios 1.2.

Exerc`ıcio 8. Sejam P “ pxP, yPq, Q “ pxQ, yQq dois pontos distintos do plano cartesiano. Provar que a

´

unica reta que passa por P e Q tem equa¸c˜ao pxQ´ xPqpy ´ yPq “ pyQ´ yPqpx ´ xPq.

Exerc`ıcio 9. Sejam P “ pxP, yPq, Q “ pxQ, yQq dois pontos distintos do plano cartesiano. Provar que o

ponto M de coordenadas M “ pxM, yMq, definidas por

xM “

xP` xQ

2 yM “

yP ` yQ

2 pertence `a reta que passa por P e Q e satisfaz `a

dpM, P q “ dpM, Qq

ou seja, ´e a igual distancia de P e de Q. Em outras palavras, M ´e o ponto medio do segmento P Q.

Exerc`ıcio 10. Seja P “ pxP, yPq um ponto do plano cartesiano. Seja y “ mx ` q uma reta r. Provar que

a distancia entre P e r ´e

dpP, rq “ |mx?P` q ´ yP|

1 ` m2 .

(Dica: encontrar a reta r1 _{perpendicular a r passante por P . Seja Q o ponto de interse¸}_c˜_{ao entre r e r}1_;

calcular Q; calcular dpP, Qq. )

Exerc`ıcio 11. Escrever as seguintes express˜oes como px ´ αq2

` D, onde D ´e uma constante (n˜ao depende de x).

x2´ 3x ` 1, x2` 4x ´ 7, x2´ 2x ´ 2, , x2´ 5x ` 9

Escrever as seguintes express˜_{oes como apx ´ αq ` D, onde a P R e D n˜ao depende de x (´e uma constante.} 5x2´ 3x ` 1, ´3x2` 9x ´ 1, 7x2´ 7x ´ 15, 2x2´ 3x ´ 4, , ´6x2` 9x ´ 9

Exerc`ıcio 12. Seja y “ ax2

` bx ` c a equa¸cão de uma parabola π (a ‰ 0). Seja y “ mx ` q uma reta r. Dizemos que a reta r é tangente à parabola π se a reta r intersecta π em um único ponto. Isto explicado, resolver os seguintes pontos.

• Consideramos a parabola y “ ´3x2

` 2x ´ 1. Consideramos o ponto P “ p0, 2q. Calcular as tangentes `

a parabola passantes por P . Desenhar parabola e tangentes. • Consideramos a parabola y “ x2

{4 ´ 8x ` 1. Encontrar uma reta paralela `a y “ 2x ` 5 e tangente a π. Desenhar parabola e tangentes.

Exerc`ıcio 13. Seja x2` y2´ 2ax ´ 2by ` c “ 0 a equa¸cão de um circulo γ (a2` b2´ c ą 0). Seja y “ mx ` q uma reta r. Dizemos que a reta r é tangente ao circulo γ se a reta r intersecta γ em um único ponto. Isto explicado, resolver os seguintes pontos.

• Consideramos o circulo γ de equa¸c˜ao x2` y2´ 2x ´ 4y ` 4 “ 0. Calcular as retas tangentes a γ passantes por P “ p´1, 0q. Desenhar circulo e tangentes.

• Consideramos o circulo γ de equa¸c˜ao x2

` y2` 4x ´ 3y ` 3 “ 0. Encontrar as retas perpendicular a y “ ´3x ` 5 que seja tangente a γ. Desenhar circulo e tangentes.

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Semana V Leithold: todos os exercicios do capitulo 1 at´e 1.5. Come¸car a fazer os exerc´ıcios de revis˜ao do capitulo 1.

Exerc`ıcio 14. Quais das seguintes s˜ao fun¸c˜oes?

1. Sejam A “ tx P N | 1 ď x ď 10u. B “ tx P N | 1 ď x ď 20u. f : A - B é definida por f pxq é tal que f pxq ´ 3 é múltiplo de 20 ´ x2.

2. Seja A “ B “ R. f : A - B ´e definida por f pxq “

#

n´umero de 7 no desenvolvimento decimal de x, se este n´umero for finito - π no caso contrario 3. f : R - _{R definida por f pxq “} x 2_´x 2x3_´2x2 4. f : R - _{R definida por f pxq “} x 3 ´x2 2x2_´2x 5. f : Qą0 - _{R definida por f pxq “} p`q ? 2p₃q _{se x “ p{q, com p ą 0, q ą 0.}

6. Seja f : p0, πq - _{R definida por f pxq ´}e tal que o angulo A pP B, onde A “ p´2, 0q, P “ p0, f pxqq, B “ p0, 2q ´e, em radiantes, igual a x.

Exerc`ıcio 15. Por cada par de fun¸c`_{oes f, g : Q} - _{Q calcular f ˝ g e g ˝ f .} 1. f “ 1 ´ 3x, g “ x ´ 2;

2. f “ x2` 1, g “ 1{px2` 1q; 3. f “ x ` a, g “ x ´ a; 4. f “ 3x ` 2, g “ 4x ` 3.

Exerc`ıcio 16. Encontrar uma parabola, com eixo vertical, que passa para o ponto p´2, 3q e tangente no ponto p1, 0q `a reta de equa¸c˜ao y “ ´2x ` 2.

Exerc`ıcio 17. Consideramos a fun¸c˜_{ao f : R} - _{R definida por}

f pxq “ $ ’ ’ & ’ ’ % ´x2´ 2x ` 2 se x ď ´1{2 x{2 ` 3 se ´1{2 ď x ď 4 4{px ´ 1q se x ą 5

Tra¸car o grafico da fun¸c˜ao. A fun¸c˜ao admite tangente para x “ ´1{2?

Exerc`ıcio 18. Resolver a inequa¸c˜ao?1 ` x2_{ď |x| e dar uma interpreta¸}_c˜_{ao geometrica.}

Exerc`ıcio 19. Resolver as seguintes inequa¸c˜oes, e, se poss´ıvel, dar uma interpreta¸c˜ao geometrica. 2x ´ 1 ďa1 ´ x2_, ?_{2x ´ 1 ď}a_{1 ´ x}2_, ?_{x ´ x ď 1} ˇ ˇ ˇ ˇ 2x ´ 1 1 ´ x ˇ ˇ ˇ ˇě 2, x2 px ´ 1q x2_{´ 3x ` 2} ą 0, x2 ´ 4x ` 1 ´x2` 12x ´ 3 ą 0 x2´ 3|x| ` 2 ą 0,

Exerc`ıcio 20. Desenhar o grafico da fun¸c˜ao

f pxq “ x

1 ` |x| . Exerc`ıcio 21. Qual ´e o dominio de f pxq “ x_x?

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Semana VI

Leithold: Exercicios da se¸cão 1.6 e todos os exercicios de revisão do capitulo 1. Exercicios da se¸cão 2.1. Exerc`ıcio 22. Uma fun¸cão f : I - _{R, definida num intervalo}1de R, é crescente se para todo x₁, x₂P I, com

Encontrar o m´_{aximo intervalo I de R onde a fun¸c˜ao f pxq “ x}2{4 ´ 2x ´ 1 ´e crescente. Provar que a imagem J “ Imfˇˇ

I ´e um intervalo de R. Encontrar explicitamente uma inversa g : J - I da restri¸c˜ao de

f ao intervalo I.

Exerc`ıcio 23. Provar que a fun¸c˜ao f pxq “ x3` 3 de R - _{R ´}e inversivel. Encontrar a sua inversa.

Exerc`ıcio 24. Desenhar o grafico das fun¸c˜oes

f pxq “ $ ’ ’ & ’ ’ % x se x ă 1 x2 _{se 1 ď x ă 4} b x2 4 ´ 4 ` 16 se x ě 4 gpxq “ $ ’ ’ & ’ ’ % ´4 ´ x se ´2 ď x ă ´1 x se ´1 ď x ď 1 4 ´ x se ´1 ă x ď 2

Por cada uma das fun¸cões dizer se é ou não monotóna (crescente ou descrescente), injetiva, encontrar a sua imagem.

Exerc`ıcio 25. Encontraro o ”dominio”das fun¸c˜oes seguintes e tra¸car o grafico delas, estudando crescimento, sinal, etc, com metodos elementares.

1. y “?x ´ 3; 2. y “ ´?4 ´ 2x ` 3.

Exerc`ıcio 26. Mostrar que a fun¸c˜_{ao f : R}ě0 - _R_ě´4definida por f pxq “ x4`x2´4 ´e bijetiva. Encontrar a inversa.

Exerc`ıcio 27. Consideramos a fun¸cão f : r0, `8q - r0, `8q definida por f pxq “ x `?x. É injetiva? É sobrejetiva? É invers´ıvel? Se sim, encontrar a sua inversa.

Exerc`ıcio 28. Consideramos a fun¸c˜ao f pxq “ 2 ´?1

x´4. Qual o seu dominio? Qual ´e a sua imagem? ´E

injetiva? ´E sobrejetiva? Seja D o seu dominio e I a sua imagem. Encontrar, se existe uma fun¸c˜ao inversa g : I - D.

Exerc`_{ıcio 29. Consideramos o conjunto dos px, yq P R}2que satisfazem a equa¸cão F px, yq “ y2´ 2y ` 3 ` x “ 0. É poss´ıvel encontrar uma fun¸cão y “ f pxq tal que f pxq satisfa¸ca a equa¸cão F px, f pxqq “ 0 por cada x? Quantas tais fun¸cões se podem encontrar (definidas em intervalos maximais?) Seja f uma tal fun¸cão. Encontrar, eventualmente, uma sua inversa g.

Exerc`ıcio 30. Consideramos a fun¸c˜ao f : p´8, ´1q - p2, `8q, definida por f pxq “ ?´x `?1 ´x. ´E

sobrejetiva? ´E injetiva? Encontrar, se poss´ıvel, uma sua inversa g.

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Semana VII

Leithold: Exercicios 2.1, Exercicios 2.2 Semana VIII Se¸cão 2.3: exerc´ıcios: 1 - 33, 35, 36 Semana VIII Se¸cão 2.4: exerc´ıcios: 13 - 44. Se¸cão 2.5: exerc´ıcos: 11 - 48; Exerc´ıcios facultat´ıvos: 57 - 66.

Exerc`ıcio 31. Calcular lim_xÑ`8?x ` 1 ´?x

Exerc`ıcio 32. Calcular limxÑ`8

?

xp?x ` 1 ´?xq. Exerc`ıcio 33. Calcular limxÑ´8 3

? xp?3

x ` 1 ´?3_xq

Exerc`ıcio 34. Calcular lim

xÑ˘8

sin x

x . Dica: Calcular antes de tudoxÑ˘8lim

ˇ ˇ ˇ ˇ sin x x ˇ ˇ ˇ ˇ

usando o teorema dos dois policiais.

xÑ˘8

sin2x ` 3 cos 3x ` 10x3

x3 .

xÑ˘8

sin2x ` 3 cos 3x ´ 5?x6

7x3 .

Exerc`ıcio 37. Encontrar as assintotas horizontais e verticais da fun¸c˜ao f pxq “ px ´ 2qpx ` 1q px2´ 5x ` 6qpx2` 3x ` 2q e dar um esbo¸co da fun¸c˜ao perto das assintotas.

Semana IX

Leithold: Se¸c˜ao 2.6: exerc´ıcios 1 - 42, 46, 47, 48, 49 Se¸c˜ao 2.7: exerc´ıcios 1 - 24, 35 - 38

Se¸c˜ao 2.8: exerc´ıcios 1 - 34. Semana X-XI-XII

Leithold: Se¸c˜ao 3.1: exercicios 1 Ñ 38. 43 Ñ 64. Se¸c˜ao 3.2: exerc´ıcios 1 Ñ 36.

Se¸c˜ao 3.3: todos os exerc´ıcios.

Se¸cão 3.4: 17 Ñ 20, 23 Ñ 28, 33 Ñ 36. Se¸cão 3.5: 1 Ñ 42, 51 Ñ 60 Se¸cão 3.6: 1 Ñ 42, 48 Ñ 52 Se¸cão 3.7: 1 Ñ 44, 51 Ñ 56 Se¸cão 3.9: 1 Ñ 28, 38, 39, 40, 41, 44. Se¸cão 3.10: 1 Ñ 54

Exercicios de revis˜ao do capitulo 3: 1 Ñ 49, 71, 73 Ñ 81.

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Semana XIII: Leithold: Exercicios 4.3: 1 - 20 Exercicios 4.4: 1 - 40, 43 - 45

Exercicios 4.5: 1 - 28 Exercicios 4.6: 1 - 58

Exercicios 4.8 17 - 28, 32 - 48

Exercicios de revis˜ao do capitulo 4: 1 - 90. (sem o 60 e o 65, 66, 67). Semana XIV Leithold: Exercicios 5.1: 1 - 42 Exercicios 5.2: 1 - 58, 63, 64, 66, 67, 68. Semana XV Exercicios 5.3: 1 - 20, 33 - 49 Exercicios 5.5: 10 - 18 Exercicios 5.7: 1 - 16 Exercicios 5.8 1 - 56 Exercicios 5.9 1 - 54

Exercicios de revis˜ao do capitulo 5: 1 - 60, 67 - 111. Exerc`ıcio 38. Desenhar os graficos das seguintes fun¸c˜oes:

2x x2_{` 1}, x2 ` 2 px ` 2q2, x 3 ´ 3x ` 4 ,

Exerc`ıcio 39. Calcular os seguintes integrais indefinidos/definidos: ż 3x2sinpx3` 1qdx, ż3 0 x2 ? 1 ` xdx, ż _{cos x} p2 ` sin xq2, ż1 0 1 x2_{´ 9}dx, ż2 0 xa4 ´ x2_dx