AULA 01. Tarefa Mínima NÚMEROS PROPORCIONAIS. c d onde: a, d = extremos b, c = meios. a = b. Tarefa Complementar. c f. b d. b 1.

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(1)

AULA 01

NÚMEROS PROPORCIONAIS

1. Razões e Proporções

Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade.

Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao quociente de a por b e indica-se por

b

a

Obs.: a razão

b

a

é usualmente lida assim: “a está para b”. A igualdade entre duas razões é uma proporção.

Representação:

d

c

b

a =

onde: a, d = extremos b, c = meios A expressão

d c b a

= lê-se assim: a está para b assim como c

está para d

Observações:

Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem.

• A e B são diretamente proporcionais se:

k

f

c

e

b

d

a

=

=

=

k é a constante de proporção. Propriedade:

f

e

d

c

b

a

f

c

e

b

d

a

+

+

+

+

=

=

=

• A e B são inversamente proporcionais se: a . d = b . e = c . f = k Propriedade: a . d = b . e = c . f =

f

1

c

e

1

b

d

1

a

=

=

Exercícios de Sala

01) Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão

entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é

42 e que a razão entre eles é

4

3

.

03) a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a

3, 5 e 7.

b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

Tarefa Mínima

01) Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos

para o curso de Odontologia. Sabendo que foram fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de candidatos em relação ao número de vagas?

02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é

60 e que a razão entre eles é 3 2 .

03) Determinar os valores de x e y sendo:

x – y = 10 e

3

1

x

y =

04) Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números

diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6

b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2

05) Divida o número 360 em partes proporcionais aos

números 2, 3, 4 e 6.

Tarefa Complementar

06) Divida o número 220 em partes inversamente

proporcionais aos números 7 4 4 3 , 3 2 e .

07) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos

e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas.

08) ( PUC-SP ) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente

proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade

20

5

8

x

y

9

=

=

, os valores de x e y devem ser respectivamente: a) 2 e 36 b) 5 1 e 4 1 c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.d.a.

09) ( F.Carlos Chagas ) Se as seqüências (a, 2, 5) e

(3, 6, b) são de números inversamente proporcionais e a + mb = 10, então m é igual a:

a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0

d) 2,5 e) 5,0

10) p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que

p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1?

a) – 2 b) 0 c) 0,5

d) 2 e) 3

11) ( UFMG ) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que

4

3

2

z

y

x

=

=

, o valor de x é:

(2)

12) ( UFSC ) O perímetro de um terreno é 72 m. As

medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, é:

13) ( UFBA ) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário,

60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é:

a) b) c) d) e) n.d.a.

1

1

4

4

4

5

1

5

14) ( FUVEST ) Na tabela abaixo, y é inversamente

proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m.

x y

1 2 2 p m 8

15) Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25

litros de gasolina. Determinar as razões das medidas. a) do óleo para a gasolina

b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura

AULA 02

GEOMETRIA PLANA

1. Ângulos

Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a mesma origem (vértice).

O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual:

OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice

2. Unidades angulares

Sistema Sexagesimal (Grau)

1 grau é

360

1

da circunferência. Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura.

Ângulo Agudo

Ângulo Reto

Ângulo Obtuso

Dois ângulos α e β podem ser: a) complementares: α + β = 90º b) suplementares: α + β = 180º c) replementares: α + β = 360º

3. Ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes

4. Ângulos formados por duas

paralelas e uma transversal

5. Triângulos

Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se

triângulo A, B, C (indicado por: ∆ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC.

Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios:

(3)

Quanto aos ângulos

CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a, o lado maior temos:

a2 < b2 + c2 ⇔ triângulo acutângulo

a2 = b2 + c2 ⇔ triângulo retângulo

a2 > b2 + c2 ⇔ triângulo obtusângulo

6. Ângulos num Triângulo

A + B + C = 180°

6.1. Triângulo Equilátero

Se AB = BC = AC então A = B = C = 60°

6.2. Triângulo Retângulo

Exercícios de Sala

01) ( UFMA ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem

3x + 10° e x + 50°. Um deles mede:

02) Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então esse

ângulo mede:

a) 30° b) 45° c) 60°

d) 80° e) 15°

03) Em cada figura abaixo, determine o valor de x.

a) r //s

b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo

equilátero.

Tarefa Mínima

01) ( ACAFE ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem

8x – 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é:

a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10°

02) Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então

esse ângulo mede:

a) 45° b) 135° c) 100° d) 175°

03) Determine o valor de x na figura abaixo:

x

s

r s

//

25º

130º

04) Nas figuras abaixo, o valor de x é:

a) b)

c)

d)

(4)

05) ( FUVEST ) Na figura, AB = BD = CD. Então:

a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° d) x = y e) 3x = 2y

Tarefa Complementar

06) ( UFSC ) Na figura r e s são paralelas. O valor, em

graus, do arco x é:

07) ( UECE ) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento

mede:

a) 100° b) 144°

c) 36° c) 80° e) n.d.a.

08) ( UFSC ) Dados os ângulos:

 = 22°32'15''

C

=

75°01'52''

B

∧ = 17°49'47''

D

∧ = 32°44'20''

Calcular o valor, em graus, da expressão:

A C

+

B D





+





09) ( UFSC ) Na figura abaixo, o valor em graus da

diferença x − y é:

23

o

y

x

112

o

r

s

t

r // s // t

10) ( UFSC ) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas.

A medida do ângulo y, em graus, é:

11) ( Cesgranrio ) Duas retas paralelas são cortadas por

uma transversal de modo que a soma de dois ângulos agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede:

a) 142° b) 144° c) 148° d) 150° e) 152°

12) ( Fuvest-SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas, o

ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:

a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100

13) Sabendo que o complemento de um ângulo está para o

seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em graus, a medida do ângulo

14) Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y.

60° 70° Y r s 15) Na figura , o valor de x é:

(5)

AULA 03

ESTUDO DOS POLÍGONOS

1. Elementos

2. Classificação

Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados. Os mais conhecidos são:

• Triângulos - 3 lados • Quadriláteros - 4 lados • Pentágono - 5 lados • Hexágono - 6 lados • Heptágono - 7 lados • Octógono - 8 lados • Eneágono - 9 lados • Decágono - 10 lados • Undecágono – 11 lados • Dodecágono - 12 lados • Pentadecágono – 15 lados • Icoságono - 20 lados

Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados

iguais) e equiângulo (ângulos iguais)

3. Número de Diagonais

O número de diagonais de um polígono de n lados é

dado pela expressão:

4. Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n

3) é dado pela expressão:

5. Soma dos ângulos externos

A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n ≥ 3) é sempre igual a 360°

Observações

• Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações:

Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, então n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro.

Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.

POLÍGONOS REGULARES

Um polígono é regular quanto tem lados congruentes e ângulos congruentes.

Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a numa circunferência.

Nomenclatura

é o lado do polígono

R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema

Triângulo Equilátero

h

Quadrado

(6)

Exercícios de Sala

01) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o

segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18

02) Em um icoságono regular ABCDE... calcule:

a) a soma dos ângulos internos b) a soma dos ângulos externos c) cada ângulo interno e externo

03) Dado um triângulo eqüilátero de lado 2

3

cm, determine:

a) altura do triângulo

b) raio da circunferência circunscrita c) raio da circunferência inscrita

04) Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma

circunferência cujo raio, em cm, é igual a:

a) 5

2

b) 10

c) 10

2

d) 20

2

e) 3

2

05) ( VUNESP ) A distância entre dois lados paralelos de

um hexágono regular é igual a 2

3

cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

a)

3

b) 2 c) 2,5 d) 3 c) 4

Tarefa Mínima

01) O polígono que tem o número de lados igual ao

número de diagonais é o:

a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe

02) Cada ângulo interno de um decágono regular mede:

a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150°

03) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo

do externo?

a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono

04) Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:

a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo

b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo

c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo

05) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa

circunferência mede 2

6

cm. Determine a medida da altura do triângulo.

a) 2

2

b)

2

c) 3

2

d) 2 e) n.d.a.

06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco de

árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam 20cm, é:

a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20

2

cm e) 80 cm

Tarefa Complementar

07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dos

ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais

08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cuja

razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3.

09) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono

regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é:

a) 90 b) 104

c) 119 d) 135

e) 152

10) ( PUC-SP ) A figura mostra um hexágono regular de

lado “a”. A diagonal AB mede:

A B a) 2a b) a

2

c) 2 3 a d) a

3

e) 3 2 a 2

(7)

11) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das

circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:

a)

2

b)

3

c) 2

2

d) 2

3

e )

2

3

12) ( FUVEST ) A, B, C e D são vértices consecutivos de

um hexágono regular. A medida, em graus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:

a) 90 b) 100 c) 110

d) 120 e) 150

13) Calcule a medida do ângulo central de um eneágono

Regular.

14) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e

inscrito de um triângulo equilátero de lado a?

15) Determinar em função do raio R, o lado de um

decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.

AULA 04

CIRCUNFERÊNCIA

1. Elementos

Raio: segmnento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB.

2. Ângulos da circunferência

2.1. Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro

da circunferência.

2.2. Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na

circunferência.

Propriedade:

Conseqüências

Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo.

2.3. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior

2.4. Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior

2.5. Quadrilátero Inscrito na circunferência

3. Segmentos Tangentes

4. Teorema de Pitot

Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois:

(8)

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

TRIÂNGULO RETÂNGULO

Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim tem-se:       = = = = = = Fˆ Cˆ k f c e b d a então Eˆ Bˆ Dˆ Aˆ : Se

k é a constante de proporção ou constante de semelhança

Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos

semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.

Triângulo Retângulo – relações métricas

Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.

Seus elementos são:  a: hipotenusa  b e c: catetos

 h: altura relativa à hipotenusa

 n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações Métricas

Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações:  a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)  a.h = b.c  b2 = a.n  c2 = a.m  h2 = m.n

Exercícios de Sala

01) Determine o valor de x em cada caso abaixo:

a)

b)

x 20° O

c)

02) Determine o valor do complemento do ângulo x

indicado na figura abaixo:

x

40°

03) A circunferência está inscrita no triângulo ABC,

AB=8, AC =9 e BC = 7 . Então x vale: A B P C x a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0 d) 4,6 e)5,0

04) Na figura abaixo os ângulos CÂD e A

D são congruentes. Então o valor de x é:

a) 42 b) 32 c) 21

d) 60 e) 10

Tarefa Mínima

01) Nas figuras abaixo, determine o valor de x

(9)

02) ( ACAFE-SC ) Na figura a seguir, o valor de x é: 3x 150° A B C O a) 25° b) 30° c) 50° d) 75º e) 100°

03) ( PUC-SP ) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos

arcos (AC) mede:

40°

A B

C

04) ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é:

3 x

2

10

05) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE.

Nessas condições, determine o valor de x + y.

A y D 18 B 15 C E 10 x 10

Tarefa Complementar

06) ( FUVEST ) A medida do ângulo ADC inscrito na

circunferência de centro O é:

07) (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um

pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é:

08) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A,

e o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo.

09) Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de tangência.

Calcule o perímetro do triângulo PRS.

10) Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono

abaixo, calcule x + y.

11) Determine o perímetro do quadrilátero a seguir:

3x + 1

3x 2x

x+1

12) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e

9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm.

a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm e) 5cm, 14cm e 19cm

13) ( UNICAMP ) A figura mostra um segmento AD dividido em

três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´ são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos segmentos AB´, B´C´ e C´D´

14) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede

4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é: A B C M N Q P a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16

(10)

15) Na figura abaixo as circunferências de centros A e B

têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros, a medida do segmento CD.

AULAS 05

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Triângulos Quaisquer

Triângulo Equilátero

Quadriláteros

PARALELOGRAMO

A = a.h

Círculo e suas partes

Círculo A = πR2 Coroa Circular A = π (R2 – r2 ) Setor Circular A =

360

απR

2

Exercícios de Sala

01) ( FCC-SP ) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado do quadrado EFGD mede, em m:

A B C D E F 10 2 a) 4 b) 5 c) 2

5

d) 5

2

e) 6

02) A área da coroa limitada pelas circunferências

inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é:

a) 2,25π b) 5π c) 4π d) 2π e) 8π

(11)

Tarefa Mínima

01) ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a

figura, é: 120° A B C 4 3 a)

3

b) 2

3

c) 3 d) 4

3

e) 6

02) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular inscrito

numa circunferência de raio

2

é igual a: a) 3

3

cm2 b) 3

2

cm2 c) 2

3

cm2 d) 2

2

cm2

e) n.d.a.

03) ( UFSC ) O triângulo ABC está inscrito em uma

circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é:

04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por 12m está dividido

em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C.

A

B C

Com base nessas informações, é correto afirmar: 01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2. 02. A área de A é 1/6 da área de C. 04. A área de A é 24m2.

08. Um dos lados de A mede 2m. 16. Um dos lados de C mede 8m.

05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de

16 π cm2

. Sabendo-se que a diferença entre os dois raios é 2cm, determine o valor numérico do produto desses raios.

Tarefa Complementar

06) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB = 20cm,

BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango de área 8cm2 A B C M N P

A medida, em graus, do ângulo BNP é:

a) 15 b) 30 c) 45 c) 60 d) 75

07) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S é

aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:

a) 1,04 S b) 1,02 S c) S d) 0,98 S e) 0,96 S

08) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é um

retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é:

A B C E F G D a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/9 e) 1/10

09) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita

e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é igual a:

A

B C

O

10) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio 1, a

área do setor assinalado é: 9 8π e) 9 5π d) 18 5π c) 18 7π b) 9 7π a)

(12)

11) ( UEM ) Considere o triângulo ABC, com base BC

medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

12) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso num cercado de

pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando π = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado.

a) 1244 b) 1256

c) 1422 d) 1424

e) 1444

13) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua

área cresce:

a) 14% b) 14,4% c) 40% d) 44% e) 144%

14) ( UFSC ) Considere as circunferências C1 de raio r e

C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados, calcule em cm2, a área do círculo limitado pela circunferência C2.

15) ( FUVEST-2003 ) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.

AULAS 06

GEOMETRIA ESPACIAL

POLIEDROS

Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.

Relação de Euler: V + F = A + 2

Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2) onde “v” é o número de vértices.

Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?

Poliedros Regulares

Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais.

Exercícios de Sala

01) Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces

quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vértices.

02) Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces

quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices.

03) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular

de aresta l

Tarefa Mínima

01) (FISS – RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces

triangulares. O número de vértices desse poliedro é:

(13)

02) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces

triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:

a) 3240º b) 3640º c) 3840º d) 4000º e) 4060º

03) (PUC –PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e

algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?

a) 6 b) 4 c) 5

d) 3 e) 8

04) (PUC – PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8

faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

05) (PUCCAMP – SP) Sobre as sentenças:

I . Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas:

a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras.

Tarefa Complementar

06) Some as alternativas corretas:

01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices.

02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas.

04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15 arestas.

08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices pentaédricos possui 12 faces.

16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui um número par de arestas.

07) (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente

faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais?

08) (CESGRANRIO – RJ) Considere o poliedro regular, de faces

triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:

a) 180 b) 360 c) 540

d) 720 e) 900

09) (UFRGS) Um octaedro regular possui:

a) mais diagonais do que vértices; b) mais faces que arestas; c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces;

e) igual número de vértices e de arestas.

10) (PUC – PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4

AULAS 07

PRISMAS

1. Definição

Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases e as demais faces em forma de paralelogramos.

2. Elementos

BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´;

BCB´C; CDC´D´; ……

ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´; CC´; DD´

e EE´

ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada

altura do Prisma

ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; C´D´ ;

D´E´ e E´A´

3. Nomenclatura

O nome do prisma dá-se através da figura da base.

Prisma Triangular: As bases são triangulares.

Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.

Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos

Observação: Se o polígono da base for

regular, o prisma também será chamados de Regular.

4. Classificação

De acordo com sua inclinação um prisma pode ser: Reto: quando as arestas

laterais são perpendiculares aos planos da base.

Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base.

(14)

4. Fórmulas

Considere um prisma reto regular com n lados da base.

Exercícios de Sala

01) Dado um Prisma triangular regular com

aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine:

a) a área total do prisma b) o volume do prisma

02) ( UFSC ) O volume de um prisma hexagonal regular

de 2cm de aresta da base é 42

3

cm3. A medida, em cm2, da área lateral desse prisma é:

Tarefa Mínima

01) ( ACAFE ) Um prisma de 8dm de altura tem por base

um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:

02) ( UFSC ) Um prisma triangular regular tem uma área

total de ( 96 + 2

3

) cm2. Sabe-se que a aresta da base mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do prisma é:

03) ( PUC-PR ) O volume do prisma reto de

3

m de altura, cuja base é um hexágono de

2

m de lado, é: a)

3

m3 b) 3

3

m3

c) 9 m3 d) 3 m3 e) 8

3

m3

04) ( Mack-SP ) Num prisma de base triangular, a altura é

6

e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em cm3:

Tarefa Complementar

05) ( PUC-SP ) Se a área da base de um prisma diminui

10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: a) aumenta 8% b) aumenta 15% c) aumenta 108% d) diminui 8% e) não se altera

06) ( UFCE ) Um prisma reto tem por base um losango

cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse prisma, em cm3, é:

07) ( ITA-SP ) Considere P um prisma reto de base

quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de 80m2. O lado dessa base quadrada mede:

08) ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto

de base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, a área total desse prisma, em cm2, é:

a) 1852 b) 1016

c) 926 d) 680

e) 508

09) ( UFSC-2005 ) Na figura a seguir, o segmento de reta

AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm3) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.

AULAS 08

TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS

Paralelepípedo reto retângulo

Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são

(15)

Possui três dimensões:

comprimento (a)

largura (b)

altura (c) Fórmulas

Área Total: ST = 2(ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c

Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2

RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST

Cubo – Hexaedro Regular

Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.

Todas as faces são quadrados

Fórmulas

Área Total: ST = 6

2 Volume: V =

3

Diagonais: d =

 2

D =

 3

Exercícios de Sala

01) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é

24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são

proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo.

02) No cubo da figura, área da secção o ABCD é

8

cm2. Calcule o volume do cubo.

Tarefa Mínima

01) ( UFSC ) Na figura abaixo, que representa um cubo, o

perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 +

2

) cm. Calcule o volume do cubo em cm3.

02) ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um

paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm2, a área total desse paralelepípedo.

03) ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em quanto deve ser aumentada a sua aresta em metros, para que seu volume se torne igual a 216 m3?

04) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de

dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é:

05) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das

arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:

Tarefa Complementar

06) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é

de 376 m2 e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo.

Depois, passe o resultado para o cartão resposta.

07) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um paralelepípedo

retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:

a) 292cm2 b) 298cm2 c) 296cm2 d) 294cm2 e) 290cm2

08) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm

agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.

01. A área do triângulo ABC é 2 dm2. 02. AD = 2

6

dm.

04. O triângulo ABC é retângulo isósceles.

08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm3

16. O perímetro do triângulo BCD vale 4

2

dm.

09) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por

base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:

10) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de uma

caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm. a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa b) calcule sua capacidade em litros

(16)

AULA 09

PIRÂMIDES

1. Definição

Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares.

Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular

2. Nomenclatura

Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. Observe alguns exemplos.

Pirâmide Triangular → a base é um triângulo

Pirâmide quadrangular → a base é um quadrado

Pirâmide Pentagonal → a base é um pentágono

3. Pirâmides Regulares

Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, a pirâmide é regular. Elementos e Formulário • aresta da base - ℓ • aresta lateral -aℓ • altura – h • apótema da base – ab • apótema da pirâmide – ap

Raio da circunferência circunscrita – R Para uma pirâmide de regular com n lados da base vale as seguintes relações:

Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base

Área Lateral : SL = n.

.ap

2

Área Total: S

T = SB + SL

Volume V =

3

.h

SB

Relações Auxiliares na Pirâmide

• ap2 = H2 + ab2 • a

2 = ap2 +

2

2





• a

2 = H2 + R2

Exercícios de Sala

01) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a

aresta da base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide.

02) Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja

altura mede

3

3

m e o perímetro da base mede 12 m?

03) ( UFSC-2006 ) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2

de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da

pirâmide?

Tarefa Mínima

01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta

da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.

02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular

regular mede 4cm e sua altura mede 2

3

cm. Determine a área total, em cm2, dessa pirâmide.

03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta

lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é:

04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura, tendo

como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é:

a) 240cm2 b) 260cm2 c) 340cm2 d) 400cm2 e) n.d.a.

(17)

05) ( Osec-SP ) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas

medindo 2. Então, a sua altura mede: a) 1 b)

2

c) 3 d) 4 e) n.d.a.

Tarefa Complementar

06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 4

3

cm de altura. Qual a medida da aresta da base?

07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é

igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é:

08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro

da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez )

09) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de

aresta igual a 4 cm.

a) 4

3

cm2 b) 8

3

cm2 c) 12

3

cm2 d) 16

3

cm2 e) 24

3

cm2

10) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação

de um sólido. O volume desse sólido é de:

a) 1152cm3 b) 1440cm3

c) 384cm3 d) 1200cm3

e) 240cm3

11) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de

madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:

a)

1

V

b) V

3

c) V

2

d) V

5

e) V

3

2

4

3

6

8

12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de

aresta igual a 4 cm.

a) 4

3

cm2 b) 8

3

cm2 c) 12

3

cm2 d) 16

3

cm2

e) 24

3

cm2

13) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal

regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m2.

a) 6.10-4 b) 6.10-2 c) 12.10-4 d) 12.10-2 e) 15.10-4

14) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem 225 cm2

de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é:

a) 4,5 cm b) 7,5 cm c) 1,5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm

AULAS 10

CILINDRO, CONE e ESFERA

1. Cilindro de Revolução

Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta, uma região retangular. Também é chamado de cilindro circular.

Elementos

Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h

Fórmulas

Considere um cilindro reto.

Área da Base: SB = πr2 Área Lateral: SL = 2πrh Área Total: ST = 2SB + SL Volume: V = πr2 h

Secção Meridiana:

A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a secção é um quadrado temos um cilindro eqüilátero

(g = h = 2r)

2R

(18)

2. Cone de Revolução

Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é a altura do cone o outro é o raio do cone, e a hipotenusa é a geratriz do cone.

Fórmulas

Área da Base: SB = πr2

Área Lateral: SL = πrg

Área Total: ST = SB + SL Volume: V =

3 h πr2 Relação auxiliar: g2 = h2 + r2

Secção Meridiana

No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero teremos um cone eqüilátero ( G = 2R )

h g

2R

3. Esfera

Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo em torno de um de seus diâmetros.

Secção de uma esfera

Qualquer plano α que secciona uma esfera de raio R determina como secção plana um círculo de raio r.

d é a distância entre o plano α e o centro da esfera. R é o raio da esfera. r é o raio da secção. Relação: R2 = r2 + d2 Fórmulas da esfera superfície esférica: As = 4πR2 volume: V = πR3 3 4

Exercícios de Sala

01) ( ACAFE-SC ) O volume de um cone circular reto é de 27π

dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm

02) ( UFSC ) Determinar

1

π

do volume em m3 de um cone de

revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área lateral, 20π m2

.

03) ( UFES ) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20cm e

raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: a) 102

π

3

cm 3 b) 80

π

3

cm 3 c) 40 π cm3 d) 160 cm3 e) 80 π cm3

Tarefa Mínima

01) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de 36πm2.

O valor, em m3, de

1

π

do volume desse cilindro é:

02) ( UFSC ) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de

9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, de

15

π

cm de altura e 12 cm de raio da base. O volume, em

cm3, de ferro que sobrou após a modelagem, é:

03) UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem 1,5 m de

diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é:

a) 3,2 m b) 3,6 m

c) 4,0 m d) 4,8 m

04) ( SUPRA ) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e

10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água:

a) ultrapassa o meio do cano b) transborda

c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda

(19)

05) ( FUVEST ) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada

por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência, em cm, é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Tarefa Complementar

06) ( UFSC ) Um cilindro reto tem 63πcm3 de volume. Sabendo

que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura.

07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de

20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de:

a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) n.d.a.

08) ( PUC-PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa

3

2

cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado?

a) 3

2

cm3 b) 9 π cm3 c) 18 π cm3

d) 27 π cm3

e) 1/3 π cm3

09) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante

5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção. a)

39

b) 36 c) 32

d) 65 e) n.d.a.

10) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua área total

é 2. O valor de

1

3

π

do volume da esfera, inscrita nesse cubo, é:

11) ( UFSC ) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16π cm2

de superfície é:

12) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se um cone e uma esfera têm o

mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é:

a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 d) 2/3 e) 1

13) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de um cone eqüilátero

mede 6

3

cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em cm3, é:

a) 144π b) 152π c) 192π d) 288π e) 302π

14) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está

completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é:

a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100

15) ( UFSC ) A geratriz de um cone eqüilátero mede

2

3

cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, multiplique o resultado por

3

e assinale o valor obtido no cartão-resposta.

AULA 11

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

1. Conceitos Iniciais

Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1, sendo n

inteiro positivo. Temos:

a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.

(4, 7, 10, 13, ...)

Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor mantém-se igual a 3. Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas.

2. Definição

Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a partir do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da P.A. e é indicada por r.

Veja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é necessário

que:

a2 a1 = a3 a2 = ... an an−1 = ... = r

Veja os exemplos:

a) a seqüência (2, 5, 8, ...) é uma P.A., pois 5 – 2 = 8 – 5 = ... Sua razão é igual a 3. b) a seqüência (1, 4, 5, ...) não é P.A., pois 4 – 1 ≠ 5 – 4.

3. Classificação da P.A.

Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão. Observe o quadro abaixo:

r > 0 ⇔ P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 r < 0 ⇔ P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 r = 0 ⇔ P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0

4. Fórmula do Termo Geral da P.A.

Considere a seqüência (a1, a2, a3...an). Partindo da definição

temos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r . . an = a1 + (n – 1).r Importante:

Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da fórmula do

termo geral temos: an = a1 + (n – 1)r (1)

ak = a1 + (k – 1)r (2)

Subtraindo-se (1) de (2) vem: an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r

(20)

Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos escrever:

an = ak + (n – k).r

Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r

Representações Especiais

Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios:

Três termos em P.A. : x – r . x . x + r Quatro termos em P.A : x – 3r . x – r . x + r . x + 3r Cinco termos em P.A. : x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r

Propriedades da P.A.

Dada um Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:

• Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior

2

n

1

a

1

n

a

n

a

=

+

+

Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23)

2

14

8

11

=

+

• Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos.

Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos

extremos tem-se:

p + q = n + 1

Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não.

Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a16 e a35 são

eqüidistantes dos extremos, pois 16 + 35 = 50 + 1.

3. Interpolação Aritmética

Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com

m + 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.A.

4. Soma dos Termos da P.A.

.n

2

n

a

1

a

n

S

+

=

Exercícios de Sala

01) A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos

consecutivos de uma P.A. Então o valor de x é:

02) Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcular a razão da P.A.

03) ( UFSC ) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição

correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1e1995, é 01. 198.000 02. 19.950 04. 199.000 08. 1.991.010 16. 19.900

Tarefa Mínima

01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as

seqüências representem três números consecutivos em P.A. a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 )

b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1) c) (x + 4)2, (x – 1)2 , (x + 2)2

02) ( FGV-SP ) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma progressão aritmética. Sua razão é:

03) ( PUC-SP ) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são

respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é:

04) Calcular a razão de uma P.A sabendo que a soma do terceiro

termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo segundo é 110.

05) ( LONDRINA ) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os

números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo quinto termo vale:

06) ( PUC-SP ) Três números positivos estão em PA. A soma

deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:

07) ( U.F OURO PRETO ) A soma dos n primeiros números

naturais ímpares é dada por:

a) n2 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n3

08) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os

formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é:

a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840

Tarefa Complementar

09) ( UFSC ) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma dos

termos extremos é 92, e a diferença entre os dois primeiros termos é − 5. O valor do 1º termo é:

10) O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e

(21)

11) ( U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 – 3x, x

– 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é:

a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56

12) ( PUC ) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a

área de um quadrado estão em P.A, nessa orden. O lado do quadrado mede:

a)

2

b) 2

2

- 1 c) 1 +

2

d) 4 e)

2

13) ( CEFET-PR ) O número de inteiros compreendidos entre

200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por 15, é:

a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80

14) ( POLI ) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45,

qual é o sexto termo da P.A.

15) ( Unicamp-SP ) Os lados de um triângulo retângulo estão em

progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo.

16) ( UFSC ) As medidas dos lados de um triângulo são números

inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado desse triângulo.

17) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão

aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.

18) ( UFSC ) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo

primeiro termo e último termos são respectivamente, −7 e 17 é:

19) ( UFSC ) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., na

qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18 é:

20) ( UFSC ) Qual deve ser o número mínimo de termos da

seqüência (−133, −126, −119, −112...) para que a soma de seus termos seja positiva.

AULA 12

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

1. Definição

É uma seqüência de números não nulos em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da PG.

Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an onde a1 é o primeiro termo a2 é o segundo termo a3 é o terceiro termo

an é o enésimo ou último termo n é o número de termos q é a razão da P.G.

q

a

a

a

a

a

a

a

a

n n

=

=

=

=

− 2 1 3 2 4 3 1

2. Classificação da P.G.

1º caso: a1 > 0 Se q > 0 → P.G. crescente → ( 2, 6, 18, 54,...) Se q = 1 → P.G. constante → ( 5, 5, 5, 5,...) Se 0 < q < 1 → P.G. decrescente → ( 256, 64, 16,...) 2º caso: a1 < 0 Se q > 0 → P.G. decrescente →(-2, -10, -50,..) Se q = 1 → P.G. constante → ( -3, -3, -3,...) Se 0 < q < 1 → P.G. crescente → ( -40, -20, -10,...)

Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que

cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando q < 0.

3. Termo Geral

Considere a seqüência (a1, a2, a3, ..., an). Partindo da definição

temos: a2 = a1.q a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q 2 a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 . . an = a1.qn - 1

Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. am e ak,

podemos dizer que:

am = ak.qm - k

1. Representação de três termos em

P.G.

x

x

x q

q

,

,

2. Propriedades

1ª Propriedade:

Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), podemos

dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja:

a2 2 = a1.a3 ou an 2 = an - 1.an + 1

2ª Propriedade

Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos.

Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ). Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128

3. Interpolação Geométrica

Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + 2 elementos.

Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.G.

(22)

3. Soma dos termos de uma P.G. finita.

A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão: 1 1

1

1

1

n n

a q

a

a q

Sn

q

q

.

(

)

=

=

Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos

uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G será dada por: Sn = n. a1

4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.

Dada uma P.G. com: n → ∞ e a

n

→ 0, sua soma pode

ser calculada pela expressão:

q

a

S

=

1

1

0 < |q| < 1

5. Produto dos termos de uma P.G. finita

O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão: |Pn | = n

)

.

n 1

a

( a

Exercícios de Sala

01) ( UEL-PR ) A seqüência (2x + 5, x + 1,

2 x

, ....) é uma

progressão geométrica de termos positivos. O décimo

terceiro termo dessa seqüência é:

a) 2

b) 3

-10

c) 3

d) 3

10

e) 3

12

02) ( MACK-SP ) Em uma progressão geométrica o

primeiro termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo

dessa P.G. é:

a) 62

b) 68

c) 162 d) 168 e) 486

03) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S

10

= 3069 e que

a razão vale 2, o valor do quinto termo é:

a) 46

b) 47

c) 48

d) 24

e) 56

04) A solução da equação:

x

+ + +

x

x

x

+. =

3

9

27

..

15

é:

Tarefa Mínima

01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as

seqüências representem três números consecutivos em P.G. a) (x + 1; x + 4; x + 10)

b) (4x, 2x + 1, x – 1)

02) Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último é

486. Calcular a razão dessa P.G.

03) ( Fuvest-SP ) Numa P.G. de quatro termos positivos, a soma

dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.

04) ( UFES-ES ) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde a

soma de seus termos é 14 e o produto 64?

a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1

05) ( UFCE ) A solução da equação

x+x+x+ x +. = 3 9 27 .. 60 é:

a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51

06) A soma dos termos da P.G. (2, 6, ..., 486) é:

a) 567 b) 670 c) 728 d) 120 e) n.d.a.

Tarefa Complementar

07) ( UFPA ) A seqüência (a, ab, 3a), com a ≠ 0, é uma P.G.

Então, o número b é:

a) o triplo de a. b) a terça parte de a. c) racional d) irracional e) n.d.a.

08) ( UFPA ) A razão da P.G. obtida ao somarmos um mesmo

número a 1,3 e 2, nessa ordem é

a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3

09) ( FGV-SP ) Em um triângulo, a medida da base, a medida da

altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então a medida da base vale:

10) ( UFSC ) Em uma progressão geométrica o 3º termo é

16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo.

11) ( UFSC ) Na progressão geométrica

( 10, 2, 2 5 , 2 25 , ... ), a posição do termo 2 625 é:

12) Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é aumentado,

mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma progressão: a) aritmética de razão 12 b) aritmética de razão 0,12 c) geométrica de razão 12 d) geométrica de razão 1,12 e) geométrica de razão 0,12

13) ( UFSC ) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º

termo com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo. Obs.: Considere a P.G. de termos positivos.

14) ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8

e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º termo dessa seqüência.

(23)

15) ( UFSC ) Sejam x, 6, y uma progressão aritmética onde x e y

são dois números positivos. A sucessão x, 10, y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é:

16) ( UDESC ) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se os

meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtém-se um novo quadrado, e assim sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os quadrados obtidos.

17) ( IME ) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo,

de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso.

18) ( FGV-SP ) O conjunto solução da equação

2

1

...

27

9

3

2

x

x

x

=

x

x

é: a) {

2

1

, 1} b) {–

2

1

, 1} c) {1, 4} d) {1, - 4} e) {1, 2} 19) Considere a expressão A = ... 81 4 27 3 9 2 3 1 + + + + em que os

numeradores formam uma P.A. e os denominadores formam uma P.G. Determine o valor de 12A

20) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 02. O valor de x que satisfaz a equação

(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155 é x = 1

04. O oitavo termo da P.G. ( 2, 2, ....) é a8 = 16.

08. A soma dos termos da P.G. 1

3 2 9 4 27 , , ,...    é igual a 1.

GABARITO – MAT C

AULA 1 1) 34,50 cand/vaga 2) 24 e 36 3) x = 15 e y = 5 4) c 5) 48, 72, 96, 144 6) 72, 64, 84 7) 35 anos e 20 anos 8) a 9) d 10) d 11) 04 12) 10 13) a 14) p =

2

1

m =

2

1

±

15)

6

1

,

6

5

,

5

1

AULA 2 1) c 2) b 3) 75° 4) a) 20° b) 44° c) 20° d) 30o 5) a 6) 85° 7) a 8) 47 9) 21 10) 80 11) b 12) e 13) 30° 14) 130° 15) 120 AULA 3 1) b 2) c 3) c 4) a) 10

3

b) 10 c) 10

2

5) c 6) d 7) e 8) quadrado e dodecágono 9) d 10) d 11) a 12) d 13) 40o 14) 2 15) R 2 1 5− AULA 4 1) a) 43° b) 50° c) 75° 2) a 3) a 4) 3/5 5) 29 6) a 7) c 8) 50° 9) 32 10) 215° 11) 20 12) b 13) 2,6; 3,9; 6,5 14) b 15) 20 AULA 5 1) c 2) a 3) 12 4) 13 5) 15 6) b 7) e 8) c 9) 9π cm2 10) b 11) 03 12) a 13) d 14) 16 15) 20 AULA 6 1) a 2) a 3) a 4) e 5) e 6) 23 7) 18 8) d 9) d 10) a AULA 7 1) 32dm3 2) 16 3) c 4) 36 5) a 6) 96 7) 04 8) d 9) 72 AULA 8 1) 64 2) 68 3) 02 4) 64 5) 02 6) 48 7) a 8) 13 9) 06 10) a) 80 b) 512 AULA 9 1) 64 2) 48 3) 24 4) b 5) b 6) 03 7) 18 8) 64 9) d 10) c 11) d 12) d 13) a 14) b AULA 10 1) 54 2) 09 3) c 4) a 5) e 6) 07 7) d 8) b 9) a 10) 96 11) 64 12) a 13) d 14) d 15) 09 AULA 11 1) a) – 1 b) 4 c) -9/8 2) 07 3) 01 4) 06 5) 54 6) 04 7) a 8) a 9) 61 10) 120 11) d 12) b 13) b 14) 30 15) 60 16) 99 17) 02 18) 35 19) 90 20) 40 AULA 12 1) a) 2 b) – 1/8 2) 03 3) 03 4) c 5) b 6) c 7) d 8) a 9) 16 10) 16 11) 06 12) d 13) 50 14) a 15) 96 16) 32 17) 3h 18) a 19) 09 20) 15

Figure

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