AULA 01
NÚMEROS PROPORCIONAIS
1. Razões e Proporções
Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade.
Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao quociente de a por b e indica-se por
b
a
Obs.: a razão
b
a
é usualmente lida assim: “a está para b”. A igualdade entre duas razões é uma proporção.
Representação:
d
c
b
a =
onde: a, d = extremos b, c = meios A expressão
d c b a
= lê-se assim: a está para b assim como c
está para d
Observações:
Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem.
• A e B são diretamente proporcionais se:
k
f
c
e
b
d
a
=
=
=
k é a constante de proporção. Propriedade:f
e
d
c
b
a
f
c
e
b
d
a
+
+
+
+
=
=
=
• A e B são inversamente proporcionais se: a . d = b . e = c . f = k Propriedade: a . d = b . e = c . f =
f
1
c
e
1
b
d
1
a
=
=
Exercícios de Sala
01) Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão
entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:
02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é
42 e que a razão entre eles é
4
3
.
03) a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a
3, 5 e 7.
b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.
Tarefa Mínima
01) Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos
para o curso de Odontologia. Sabendo que foram fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de candidatos em relação ao número de vagas?
02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é
60 e que a razão entre eles é 3 2 .
03) Determinar os valores de x e y sendo:
x – y = 10 e
3
1
x
y =
04) Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números
diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2
05) Divida o número 360 em partes proporcionais aos
números 2, 3, 4 e 6.
Tarefa Complementar
06) Divida o número 220 em partes inversamente
proporcionais aos números 7 4 4 3 , 3 2 e .
07) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos
e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas.
08) ( PUC-SP ) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente
proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade
20
5
8
x
y
9
=
=
, os valores de x e y devem ser respectivamente: a) 2 e 36 b) 5 1 e 4 1 c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.d.a.09) ( F.Carlos Chagas ) Se as seqüências (a, 2, 5) e
(3, 6, b) são de números inversamente proporcionais e a + mb = 10, então m é igual a:
a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0
d) 2,5 e) 5,0
10) p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que
p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1?
a) – 2 b) 0 c) 0,5
d) 2 e) 3
11) ( UFMG ) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que
4
3
2
z
y
x
=
=
, o valor de x é:12) ( UFSC ) O perímetro de um terreno é 72 m. As
medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, é:
13) ( UFBA ) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário,
60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é:
a) b) c) d) e) n.d.a.
1
1
4
4
4
5
1
5
14) ( FUVEST ) Na tabela abaixo, y é inversamente
proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m.
x y
1 2 2 p m 8
15) Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25
litros de gasolina. Determinar as razões das medidas. a) do óleo para a gasolina
b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura
AULA 02
GEOMETRIA PLANA
1. Ângulos
Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a mesma origem (vértice).
O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual:
OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice
2. Unidades angulares
Sistema Sexagesimal (Grau)
1 grau é
360
1
da circunferência. Submúltiplos do Grau: 1° = 60´ e 1´= 60´´Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura.
Ângulo Agudo
Ângulo Reto
Ângulo Obtuso
Dois ângulos α e β podem ser: a) complementares: α + β = 90º b) suplementares: α + β = 180º c) replementares: α + β = 360º
3. Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes
4. Ângulos formados por duas
paralelas e uma transversal
5. Triângulos
Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se
triângulo A, B, C (indicado por: ∆ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC.
Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios:
Quanto aos ângulos
CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a, o lado maior temos:
•
a2 < b2 + c2 ⇔ triângulo acutângulo•
a2 = b2 + c2 ⇔ triângulo retângulo•
a2 > b2 + c2 ⇔ triângulo obtusângulo6. Ângulos num Triângulo
A + B + C = 180°
6.1. Triângulo Equilátero
Se AB = BC = AC então A = B = C = 60°6.2. Triângulo Retângulo
Exercícios de Sala
01) ( UFMA ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem
3x + 10° e x + 50°. Um deles mede:
02) Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então esse
ângulo mede:
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 80° e) 15°
03) Em cada figura abaixo, determine o valor de x.
a) r //s
b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo
equilátero.
Tarefa Mínima
01) ( ACAFE ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem
8x – 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é:
a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10°
02) Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então
esse ângulo mede:
a) 45° b) 135° c) 100° d) 175°
03) Determine o valor de x na figura abaixo:
x
s
r s
//
25º
130º
04) Nas figuras abaixo, o valor de x é:
a) b)
c)
d)
05) ( FUVEST ) Na figura, AB = BD = CD. Então:
a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° d) x = y e) 3x = 2y
Tarefa Complementar
06) ( UFSC ) Na figura r e s são paralelas. O valor, em
graus, do arco x é:
07) ( UECE ) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento
mede:
a) 100° b) 144°
c) 36° c) 80° e) n.d.a.
08) ( UFSC ) Dados os ângulos:
 = 22°32'15''
C
∧=
75°01'52''B
∧ = 17°49'47''D
∧ = 32°44'20''Calcular o valor, em graus, da expressão:
A C
∧
+
∧
B D
−
∧
+
∧
09) ( UFSC ) Na figura abaixo, o valor em graus da
diferença x − y é:
23
oy
x
112
or
s
t
r // s // t
10) ( UFSC ) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas.
A medida do ângulo y, em graus, é:
11) ( Cesgranrio ) Duas retas paralelas são cortadas por
uma transversal de modo que a soma de dois ângulos agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede:
a) 142° b) 144° c) 148° d) 150° e) 152°
12) ( Fuvest-SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas, o
ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100
13) Sabendo que o complemento de um ângulo está para o
seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em graus, a medida do ângulo
14) Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y.
60° 70° Y r s 15) Na figura , o valor de x é:
AULA 03
ESTUDO DOS POLÍGONOS
1. Elementos
2. Classificação
Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados. Os mais conhecidos são:
• Triângulos - 3 lados • Quadriláteros - 4 lados • Pentágono - 5 lados • Hexágono - 6 lados • Heptágono - 7 lados • Octógono - 8 lados • Eneágono - 9 lados • Decágono - 10 lados • Undecágono – 11 lados • Dodecágono - 12 lados • Pentadecágono – 15 lados • Icoságono - 20 lados
Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados
iguais) e equiângulo (ângulos iguais)
3. Número de Diagonais
O número de diagonais de um polígono de n lados é
dado pela expressão:
4. Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n ≥
3) é dado pela expressão:
5. Soma dos ângulos externos
A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n ≥ 3) é sempre igual a 360°
Observações
• Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações:
•
Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, então n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro.•
Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.POLÍGONOS REGULARES
Um polígono é regular quanto tem lados congruentes e ângulos congruentes.
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a numa circunferência.
Nomenclatura
é o lado do polígonoR é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema
Triângulo Equilátero
h
Quadrado
Exercícios de Sala
01) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o
segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?
a) 72 b) 63 c) 36 d) 27 e) 18
02) Em um icoságono regular ABCDE... calcule:
a) a soma dos ângulos internos b) a soma dos ângulos externos c) cada ângulo interno e externo
03) Dado um triângulo eqüilátero de lado 2
3
cm, determine:
a) altura do triângulo
b) raio da circunferência circunscrita c) raio da circunferência inscrita
04) Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma
circunferência cujo raio, em cm, é igual a:
a) 5
2
b) 10c) 10
2
d) 202
e) 3
2
05) ( VUNESP ) A distância entre dois lados paralelos de
um hexágono regular é igual a 2
3
cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:a)
3
b) 2 c) 2,5 d) 3 c) 4Tarefa Mínima
01) O polígono que tem o número de lados igual ao
número de diagonais é o:
a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe
02) Cada ângulo interno de um decágono regular mede:
a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150°
03) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo
do externo?
a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono
04) Dado uma círculo de raio 10cm. Determine:
a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo
b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo
c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo
05) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa
circunferência mede 2
6
cm. Determine a medida da altura do triângulo.a) 2
2
b)2
c) 32
d) 2 e) n.d.a.06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco de
árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam 20cm, é:
a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20
2
cm e) 80 cmTarefa Complementar
07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dos
ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais
08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cuja
razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3.
09) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono
regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é:
a) 90 b) 104
c) 119 d) 135
e) 152
10) ( PUC-SP ) A figura mostra um hexágono regular de
lado “a”. A diagonal AB mede:
A B a) 2a b) a
2
c) 2 3 a d) a3
e) 3 2 a 211) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das
circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:
a)
2
b)3
c) 22
d) 23
e )2
3
12) ( FUVEST ) A, B, C e D são vértices consecutivos de
um hexágono regular. A medida, em graus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:
a) 90 b) 100 c) 110
d) 120 e) 150
13) Calcule a medida do ângulo central de um eneágono
Regular.
14) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e
inscrito de um triângulo equilátero de lado a?
15) Determinar em função do raio R, o lado de um
decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.
AULA 04
CIRCUNFERÊNCIA
1. Elementos
Raio: segmnento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB.
2. Ângulos da circunferência
2.1. Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro
da circunferência.
2.2. Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na
circunferência.
Propriedade:
Conseqüências
Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo.
2.3. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior
2.4. Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior
2.5. Quadrilátero Inscrito na circunferência
3. Segmentos Tangentes
4. Teorema de Pitot
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois:
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim tem-se: = = = = = = Fˆ Cˆ k f c e b d a então Eˆ Bˆ Dˆ Aˆ : Se
k é a constante de proporção ou constante de semelhança
Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos
semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.
Triângulo Retângulo – relações métricas
Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.
Seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos
h: altura relativa à hipotenusa
n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Relações Métricas
Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações: a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras) a.h = b.c b2 = a.n c2 = a.m h2 = m.n
Exercícios de Sala
01) Determine o valor de x em cada caso abaixo:
a)
b)
x 20° O
c)
02) Determine o valor do complemento do ângulo x
indicado na figura abaixo:
x
40°
03) A circunferência está inscrita no triângulo ABC,
AB=8, AC =9 e BC = 7 . Então x vale: A B P C x a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0 d) 4,6 e)5,0
04) Na figura abaixo os ângulos CÂD e A
Bˆ
D são congruentes. Então o valor de x é:
a) 42 b) 32 c) 21
d) 60 e) 10
Tarefa Mínima
01) Nas figuras abaixo, determine o valor de x
02) ( ACAFE-SC ) Na figura a seguir, o valor de x é: 3x 150° A B C O a) 25° b) 30° c) 50° d) 75º e) 100°
03) ( PUC-SP ) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos
arcos (AC) mede:
40°
A B
C
04) ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é:
3 x
2
10
05) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE.
Nessas condições, determine o valor de x + y.
A y D 18 B 15 C E 10 x 10
Tarefa Complementar
06) ( FUVEST ) A medida do ângulo ADC inscrito na
circunferência de centro O é:
07) (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um
pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é:
08) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A,
e o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo.
09) Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de tangência.
Calcule o perímetro do triângulo PRS.
10) Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono
abaixo, calcule x + y.
11) Determine o perímetro do quadrilátero a seguir:
3x + 1
3x 2x
x+1
12) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e
9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm.
a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm e) 5cm, 14cm e 19cm
13) ( UNICAMP ) A figura mostra um segmento AD dividido em
três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD´ mede 13cm e as retas BB´e CC´ são paralelas a DD´. Determine os comprimentos dos segmentos AB´, B´C´ e C´D´
14) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede
4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é: A B C M N Q P a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16
15) Na figura abaixo as circunferências de centros A e B
têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros, a medida do segmento CD.
AULAS 05
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Triângulos Quaisquer
Triângulo Equilátero
Quadriláteros
PARALELOGRAMO
A = a.h
Círculo e suas partes
Círculo A = πR2 Coroa Circular A = π (R2 – r2 ) Setor Circular A =
360
απR
2
Exercícios de Sala
01) ( FCC-SP ) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado do quadrado EFGD mede, em m:
A B C D E F 10 2 a) 4 b) 5 c) 2
5
d) 52
e) 602) A área da coroa limitada pelas circunferências
inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é:
a) 2,25π b) 5π c) 4π d) 2π e) 8π
Tarefa Mínima
01) ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a
figura, é: 120° A B C 4 3 a)
3
b) 23
c) 3 d) 43
e) 602) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular inscrito
numa circunferência de raio
2
é igual a: a) 33
cm2 b) 32
cm2 c) 23
cm2 d) 22
cm2
e) n.d.a.
03) ( UFSC ) O triângulo ABC está inscrito em uma
circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é:
04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por 12m está dividido
em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C.
A
B C
Com base nessas informações, é correto afirmar: 01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2. 02. A área de A é 1/6 da área de C. 04. A área de A é 24m2.
08. Um dos lados de A mede 2m. 16. Um dos lados de C mede 8m.
05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de
16 π cm2
. Sabendo-se que a diferença entre os dois raios é 2cm, determine o valor numérico do produto desses raios.
Tarefa Complementar
06) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB = 20cm,
BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango de área 8cm2 A B C M N P
A medida, em graus, do ângulo BNP é:
a) 15 b) 30 c) 45 c) 60 d) 75
07) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S é
aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:
a) 1,04 S b) 1,02 S c) S d) 0,98 S e) 0,96 S
08) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é um
retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é:
A B C E F G D a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/9 e) 1/10
09) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita
e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é igual a:
A
B C
O
10) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio 1, a
área do setor assinalado é: 9 8π e) 9 5π d) 18 5π c) 18 7π b) 9 7π a)
11) ( UEM ) Considere o triângulo ABC, com base BC
medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?
12) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso num cercado de
pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando π = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado.
a) 1244 b) 1256
c) 1422 d) 1424
e) 1444
13) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua
área cresce:
a) 14% b) 14,4% c) 40% d) 44% e) 144%
14) ( UFSC ) Considere as circunferências C1 de raio r e
C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados, calcule em cm2, a área do círculo limitado pela circunferência C2.
15) ( FUVEST-2003 ) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.
AULAS 06
GEOMETRIA ESPACIAL
POLIEDROS
Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos.
Relação de Euler: V + F = A + 2
Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2) onde “v” é o número de vértices.
Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais?
Poliedros Regulares
Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais.
Exercícios de Sala
01) Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces
quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vértices.
02) Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces
quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices.
03) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular
de aresta l
Tarefa Mínima
01) (FISS – RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces
triangulares. O número de vértices desse poliedro é:
02) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces
triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:
a) 3240º b) 3640º c) 3840º d) 4000º e) 4060º
03) (PUC –PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e
algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?
a) 6 b) 4 c) 5
d) 3 e) 8
04) (PUC – PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8
faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro?
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
05) (PUCCAMP – SP) Sobre as sentenças:
I . Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que apenas:
a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras.
Tarefa Complementar
06) Some as alternativas corretas:
01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices.
02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas.
04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15 arestas.
08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices pentaédricos possui 12 faces.
16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui um número par de arestas.
07) (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente
faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais?
08) (CESGRANRIO – RJ) Considere o poliedro regular, de faces
triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:
a) 180 b) 360 c) 540
d) 720 e) 900
09) (UFRGS) Um octaedro regular possui:
a) mais diagonais do que vértices; b) mais faces que arestas; c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces;
e) igual número de vértices e de arestas.
10) (PUC – PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4
AULAS 07
PRISMAS
1. Definição
Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases e as demais faces em forma de paralelogramos.
2. Elementos
BASES: são os polígonos A´B´C´D´E´ e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´;
BCB´C; CDC´D´; ……
ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB´; CC´; DD´
e EE´
ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada
altura do Prisma
ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; C´D´ ;
D´E´ e E´A´
3. Nomenclatura
O nome do prisma dá-se através da figura da base.
•
Prisma Triangular: As bases são triangulares.•
Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros.•
Prisma Hexagonal: As bases são hexágonosObservação: Se o polígono da base for
regular, o prisma também será chamados de Regular.
4. Classificação
De acordo com sua inclinação um prisma pode ser: Reto: quando as arestas
laterais são perpendiculares aos planos da base.
Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base.
4. Fórmulas
Considere um prisma reto regular com n lados da base.
Exercícios de Sala
01) Dado um Prisma triangular regular com
aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a 2cm. Determine:
a) a área total do prisma b) o volume do prisma
02) ( UFSC ) O volume de um prisma hexagonal regular
de 2cm de aresta da base é 42
3
cm3. A medida, em cm2, da área lateral desse prisma é:Tarefa Mínima
01) ( ACAFE ) Um prisma de 8dm de altura tem por base
um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é:
02) ( UFSC ) Um prisma triangular regular tem uma área
total de ( 96 + 2
3
) cm2. Sabe-se que a aresta da base mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do prisma é:03) ( PUC-PR ) O volume do prisma reto de
3
m de altura, cuja base é um hexágono de2
m de lado, é: a)3
m3 b) 33
m3c) 9 m3 d) 3 m3 e) 8
3
m304) ( Mack-SP ) Num prisma de base triangular, a altura é
6
e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em cm3:Tarefa Complementar
05) ( PUC-SP ) Se a área da base de um prisma diminui
10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: a) aumenta 8% b) aumenta 15% c) aumenta 108% d) diminui 8% e) não se altera
06) ( UFCE ) Um prisma reto tem por base um losango
cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse prisma, em cm3, é:
07) ( ITA-SP ) Considere P um prisma reto de base
quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de 80m2. O lado dessa base quadrada mede:
08) ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto
de base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, a área total desse prisma, em cm2, é:
a) 1852 b) 1016
c) 926 d) 680
e) 508
09) ( UFSC-2005 ) Na figura a seguir, o segmento de reta
AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm3) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios.
AULAS 08
TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS
Paralelepípedo reto retângulo
Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são
Possui três dimensões:
•
comprimento (a)•
largura (b)•
altura (c) FórmulasÁrea Total: ST = 2(ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c
Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2
RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST
Cubo – Hexaedro Regular
Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais.
Todas as faces são quadrados
Fórmulas
Área Total: ST = 6
2 Volume: V =
3Diagonais: d =
2
D = 3
Exercícios de Sala
01) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é
24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são
proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo.
02) No cubo da figura, área da secção o ABCD é
8
cm2. Calcule o volume do cubo.
Tarefa Mínima
01) ( UFSC ) Na figura abaixo, que representa um cubo, o
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 +
2
) cm. Calcule o volume do cubo em cm3.
02) ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um
paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm2, a área total desse paralelepípedo.
03) ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em quanto deve ser aumentada a sua aresta em metros, para que seu volume se torne igual a 216 m3?
04) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de
dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é:
05) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das
arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 132 cm2, é:
Tarefa Complementar
06) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é
de 376 m2 e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo.
Depois, passe o resultado para o cartão resposta.
07) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um paralelepípedo
retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm3, então a soma das áreas de suas faces é:
a) 292cm2 b) 298cm2 c) 296cm2 d) 294cm2 e) 290cm2
08) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm
agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto.
01. A área do triângulo ABC é 2 dm2. 02. AD = 2
6
dm.04. O triângulo ABC é retângulo isósceles.
08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm3
16. O perímetro do triângulo BCD vale 4
2
dm.09) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por
base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é:
10) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de uma
caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm. a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa b) calcule sua capacidade em litros
AULA 09
PIRÂMIDES
1. Definição
Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares.
Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular
2. Nomenclatura
Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. Observe alguns exemplos.
•
Pirâmide Triangular → a base é um triângulo•
Pirâmide quadrangular → a base é um quadrado•
Pirâmide Pentagonal → a base é um pentágono3. Pirâmides Regulares
Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, a pirâmide é regular. Elementos e Formulário • aresta da base - ℓ • aresta lateral -aℓ • altura – h • apótema da base – ab • apótema da pirâmide – ap
• Raio da circunferência circunscrita – R Para uma pirâmide de regular com n lados da base vale as seguintes relações:
Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base
Área Lateral : SL = n.
.ap
2
Área Total: ST = SB + SL
Volume V =3
.h
SB
Relações Auxiliares na Pirâmide
• ap2 = H2 + ab2 • a
2 = ap2 +
2
2
• a
2 = H2 + R2Exercícios de Sala
01) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a
aresta da base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide.
02) Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja
altura mede
3
3
m e o perímetro da base mede 12 m?03) ( UFSC-2006 ) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2
de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da
pirâmide?
Tarefa Mínima
01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta
da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm3, o volume dessa pirâmide.
02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular
regular mede 4cm e sua altura mede 2
3
cm. Determine a área total, em cm2, dessa pirâmide.03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta
lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, é:
04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura, tendo
como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é:
a) 240cm2 b) 260cm2 c) 340cm2 d) 400cm2 e) n.d.a.
05) ( Osec-SP ) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas
medindo 2. Então, a sua altura mede: a) 1 b)
2
c) 3 d) 4 e) n.d.a.Tarefa Complementar
06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 4
3
cm de altura. Qual a medida da aresta da base?07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é
igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é:
08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro
da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m2 por dez )
09) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de
aresta igual a 4 cm.
a) 4
3
cm2 b) 83
cm2 c) 123
cm2 d) 163
cm2 e) 243
cm210) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação
de um sólido. O volume desse sólido é de:
a) 1152cm3 b) 1440cm3
c) 384cm3 d) 1200cm3
e) 240cm3
11) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de
madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:
a)
1
V
b) V
3
c) V
2
d) V
5
e) V
3
2
4
3
6
8
12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de
aresta igual a 4 cm.
a) 4
3
cm2 b) 83
cm2 c) 123
cm2 d) 163
cm2
e) 24
3
cm213) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal
regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m2.
a) 6.10-4 b) 6.10-2 c) 12.10-4 d) 12.10-2 e) 15.10-4
14) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem 225 cm2
de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm2 de área. A altura da pirâmide é:
a) 4,5 cm b) 7,5 cm c) 1,5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm
AULAS 10
CILINDRO, CONE e ESFERA
1. Cilindro de Revolução
Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta, uma região retangular. Também é chamado de cilindro circular.
Elementos
Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h
Fórmulas
Considere um cilindro reto.
Área da Base: SB = πr2 Área Lateral: SL = 2πrh Área Total: ST = 2SB + SL Volume: V = πr2 h
Secção Meridiana:
A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a secção é um quadrado temos um cilindro eqüilátero
(g = h = 2r)
2R
2. Cone de Revolução
Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é a altura do cone o outro é o raio do cone, e a hipotenusa é a geratriz do cone.
Fórmulas
Área da Base: SB = πr2
Área Lateral: SL = πrg
Área Total: ST = SB + SL Volume: V =
3 h πr2 Relação auxiliar: g2 = h2 + r2
Secção Meridiana
No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero teremos um cone eqüilátero ( G = 2R )
h g
2R
3. Esfera
Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo em torno de um de seus diâmetros.
Secção de uma esfera
Qualquer plano α que secciona uma esfera de raio R determina como secção plana um círculo de raio r.
d é a distância entre o plano α e o centro da esfera. R é o raio da esfera. r é o raio da secção. Relação: R2 = r2 + d2 Fórmulas da esfera superfície esférica: As = 4πR2 volume: V = πR3 3 4
Exercícios de Sala
01) ( ACAFE-SC ) O volume de um cone circular reto é de 27π
dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm
02) ( UFSC ) Determinar
1
π
do volume em m3 de um cone derevolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área lateral, 20π m2
.
03) ( UFES ) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20cm e
raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: a) 102
π
3
cm 3 b) 80π
3
cm 3 c) 40 π cm3 d) 160 cm3 e) 80 π cm3Tarefa Mínima
01) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de 36πm2.
O valor, em m3, de
1
π
do volume desse cilindro é:02) ( UFSC ) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de
9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, de
15
π
cm de altura e 12 cm de raio da base. O volume, emcm3, de ferro que sobrou após a modelagem, é:
03) UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem 1,5 m de
diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é:
a) 3,2 m b) 3,6 m
c) 4,0 m d) 4,8 m
04) ( SUPRA ) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e
10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água:
a) ultrapassa o meio do cano b) transborda
c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda
05) ( FUVEST ) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada
por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência, em cm, é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Tarefa Complementar
06) ( UFSC ) Um cilindro reto tem 63πcm3 de volume. Sabendo
que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura.
07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de
20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de:
a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) n.d.a.
08) ( PUC-PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa
3
2
cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado?a) 3
2
cm3 b) 9 π cm3 c) 18 π cm3d) 27 π cm3
e) 1/3 π cm3
09) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante
5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção. a)
39
b) 36 c) 32d) 65 e) n.d.a.
10) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua área total
é 2. O valor de
1
3
π
do volume da esfera, inscrita nesse cubo, é:11) ( UFSC ) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16π cm2
de superfície é:
12) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se um cone e uma esfera têm o
mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é:
a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 d) 2/3 e) 1
13) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de um cone eqüilátero
mede 6
3
cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em cm3, é:a) 144π b) 152π c) 192π d) 288π e) 302π
14) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está
completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a massa é:
a) 300 b) 250 c) 200 d) 150 e) 100
15) ( UFSC ) A geratriz de um cone eqüilátero mede
2
3
cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, multiplique o resultado por3
e assinale o valor obtido no cartão-resposta.AULA 11
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
1. Conceitos Iniciais
Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1, sendo n
inteiro positivo. Temos:
a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante.
(4, 7, 10, 13, ...)
Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor mantém-se igual a 3. Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas.
2. Definição
Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a partir do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da P.A. e é indicada por r.
Veja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é necessário
que:
a2− a1 = a3− a2 = ... an − an−1 = ... = r
Veja os exemplos:
a) a seqüência (2, 5, 8, ...) é uma P.A., pois 5 – 2 = 8 – 5 = ... Sua razão é igual a 3. b) a seqüência (1, 4, 5, ...) não é P.A., pois 4 – 1 ≠ 5 – 4.
3. Classificação da P.A.
Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão. Observe o quadro abaixo:
r > 0 ⇔ P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 r < 0 ⇔ P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 r = 0 ⇔ P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0
4. Fórmula do Termo Geral da P.A.
Considere a seqüência (a1, a2, a3...an). Partindo da definição
temos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r . . an = a1 + (n – 1).r Importante:
Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da fórmula do
termo geral temos: an = a1 + (n – 1)r (1)
ak = a1 + (k – 1)r (2)
Subtraindo-se (1) de (2) vem: an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r
Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos escrever:
an = ak + (n – k).r
Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r
Representações Especiais
Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios:
• Três termos em P.A. : x – r . x . x + r • Quatro termos em P.A : x – 3r . x – r . x + r . x + 3r • Cinco termos em P.A. : x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r
Propriedades da P.A.
Dada um Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades:
• Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior
2
n
1
a
1
n
a
n
a
=
−
+
+
Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23)2
14
8
11
=
+
• Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos.
Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos
extremos tem-se:
p + q = n + 1
Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não.
Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a16 e a35 são
eqüidistantes dos extremos, pois 16 + 35 = 50 + 1.
3. Interpolação Aritmética
Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com
m + 2 elementos.
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.A.
4. Soma dos Termos da P.A.
.n
2
n
a
1
a
n
S
+
=
Exercícios de Sala
01) A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos
consecutivos de uma P.A. Então o valor de x é:
02) Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcular a razão da P.A.
03) ( UFSC ) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição
correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1e1995, é 01. 198.000 02. 19.950 04. 199.000 08. 1.991.010 16. 19.900
Tarefa Mínima
01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as
seqüências representem três números consecutivos em P.A. a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 )
b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1) c) (x + 4)2, (x – 1)2 , (x + 2)2
02) ( FGV-SP ) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma progressão aritmética. Sua razão é:
03) ( PUC-SP ) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são
respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é:
04) Calcular a razão de uma P.A sabendo que a soma do terceiro
termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo segundo é 110.
05) ( LONDRINA ) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os
números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo quinto termo vale:
06) ( PUC-SP ) Três números positivos estão em PA. A soma
deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é:
07) ( U.F OURO PRETO ) A soma dos n primeiros números
naturais ímpares é dada por:
a) n2 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n3
08) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os
formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é:
a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840
Tarefa Complementar
09) ( UFSC ) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma dos
termos extremos é 92, e a diferença entre os dois primeiros termos é − 5. O valor do 1º termo é:
10) O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e
11) ( U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 – 3x, x
– 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 – 3x, x + 7, ….) é:
a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56
12) ( PUC ) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a
área de um quadrado estão em P.A, nessa orden. O lado do quadrado mede:
a)
2
b) 22
- 1 c) 1 +2
d) 4 e)2
13) ( CEFET-PR ) O número de inteiros compreendidos entre
200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por 15, é:
a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80
14) ( POLI ) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45,
qual é o sexto termo da P.A.
15) ( Unicamp-SP ) Os lados de um triângulo retângulo estão em
progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo.
16) ( UFSC ) As medidas dos lados de um triângulo são números
inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 291 decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado desse triângulo.
17) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão
aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
18) ( UFSC ) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo
primeiro termo e último termos são respectivamente, −7 e 17 é:
19) ( UFSC ) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., na
qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18 é:
20) ( UFSC ) Qual deve ser o número mínimo de termos da
seqüência (−133, −126, −119, −112...) para que a soma de seus termos seja positiva.
AULA 12
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1. Definição
É uma seqüência de números não nulos em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da PG.
Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an onde a1 é o primeiro termo a2 é o segundo termo a3 é o terceiro termo
an é o enésimo ou último termo n é o número de termos q é a razão da P.G.
q
a
a
a
a
a
a
a
a
n n=
=
=
=
− 2 1 3 2 4 3 12. Classificação da P.G.
1º caso: a1 > 0 Se q > 0 → P.G. crescente → ( 2, 6, 18, 54,...) Se q = 1 → P.G. constante → ( 5, 5, 5, 5,...) Se 0 < q < 1 → P.G. decrescente → ( 256, 64, 16,...) 2º caso: a1 < 0 Se q > 0 → P.G. decrescente →(-2, -10, -50,..) Se q = 1 → P.G. constante → ( -3, -3, -3,...) Se 0 < q < 1 → P.G. crescente → ( -40, -20, -10,...)Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que
cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando q < 0.
3. Termo Geral
Considere a seqüência (a1, a2, a3, ..., an). Partindo da definição
temos: a2 = a1.q a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q 2 a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 . . an = a1.qn - 1
Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. am e ak,
podemos dizer que:
am = ak.qm - k
1. Representação de três termos em
P.G.
x
x
x q
q
,
,
⋅
2. Propriedades
1ª Propriedade:
Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), podemos
dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a1) e o seu posterior (a3), ou seja:
a2 2 = a1.a3 ou an 2 = an - 1.an + 1
2ª Propriedade
Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos.
Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ). Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128
3. Interpolação Geométrica
Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + 2 elementos.
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.G.
3. Soma dos termos de uma P.G. finita.
A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão: 1 1
1
1
1
n na q
a
a q
Sn
q
q
.
(
−
)
−
=
=
−
−
Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos
uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G será dada por: Sn = n. a1
4. Soma dos termos de uma P.G. infinita.
Dada uma P.G. com: n → ∞ e a
n→ 0, sua soma pode
ser calculada pela expressão:
q
a
S
−
=
1
10 < |q| < 1
5. Produto dos termos de uma P.G. finita
O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão: |Pn | = n
)
.
n 1a
( a
Exercícios de Sala
01) ( UEL-PR ) A seqüência (2x + 5, x + 1,
2 x, ....) é uma
progressão geométrica de termos positivos. O décimo
terceiro termo dessa seqüência é:
a) 2
b) 3
-10c) 3
d) 3
10e) 3
1202) ( MACK-SP ) Em uma progressão geométrica o
primeiro termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo
dessa P.G. é:
a) 62
b) 68
c) 162 d) 168 e) 486
03) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S
10= 3069 e que
a razão vale 2, o valor do quinto termo é:
a) 46
b) 47
c) 48
d) 24
e) 56
04) A solução da equação:
x
+ + +
x
x
x
+. =
3
9
27
..
15
é:
Tarefa Mínima
01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as
seqüências representem três números consecutivos em P.G. a) (x + 1; x + 4; x + 10)
b) (4x, 2x + 1, x – 1)
02) Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último é
486. Calcular a razão dessa P.G.
03) ( Fuvest-SP ) Numa P.G. de quatro termos positivos, a soma
dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
04) ( UFES-ES ) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde a
soma de seus termos é 14 e o produto 64?
a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1
05) ( UFCE ) A solução da equação
x+x+x+ x +. = 3 9 27 .. 60 é:
a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51
06) A soma dos termos da P.G. (2, 6, ..., 486) é:
a) 567 b) 670 c) 728 d) 120 e) n.d.a.
Tarefa Complementar
07) ( UFPA ) A seqüência (a, ab, 3a), com a ≠ 0, é uma P.G.
Então, o número b é:
a) o triplo de a. b) a terça parte de a. c) racional d) irracional e) n.d.a.
08) ( UFPA ) A razão da P.G. obtida ao somarmos um mesmo
número a 1,3 e 2, nessa ordem é
a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3
09) ( FGV-SP ) Em um triângulo, a medida da base, a medida da
altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então a medida da base vale:
10) ( UFSC ) Em uma progressão geométrica o 3º termo é
16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo.
11) ( UFSC ) Na progressão geométrica
( 10, 2, 2 5 , 2 25 , ... ), a posição do termo 2 625 é:
12) Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é aumentado,
mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma progressão: a) aritmética de razão 12 b) aritmética de razão 0,12 c) geométrica de razão 12 d) geométrica de razão 1,12 e) geométrica de razão 0,12
13) ( UFSC ) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º
termo com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo. Obs.: Considere a P.G. de termos positivos.
14) ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8
e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º termo dessa seqüência.
15) ( UFSC ) Sejam x, 6, y uma progressão aritmética onde x e y
são dois números positivos. A sucessão x, 10, y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é:
16) ( UDESC ) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se os
meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtém-se um novo quadrado, e assim sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os quadrados obtidos.
17) ( IME ) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo,
de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso.
18) ( FGV-SP ) O conjunto solução da equação
2
1
...
27
9
3
2−
−
x
−
x
−
x
−
=
−
x
x
é: a) {2
1
, 1} b) {–2
1
, 1} c) {1, 4} d) {1, - 4} e) {1, 2} 19) Considere a expressão A = ... 81 4 27 3 9 2 3 1 + + + + em que osnumeradores formam uma P.A. e os denominadores formam uma P.G. Determine o valor de 12A
20) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 02. O valor de x que satisfaz a equação
(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155 é x = 1
04. O oitavo termo da P.G. ( 2, 2, ....) é a8 = 16.
08. A soma dos termos da P.G. 1
3 2 9 4 27 , , ,... é igual a 1.
