Modelagem Matemática I

(1)

Introdu¸c˜

ao `

a Otimiza¸c˜

ao Combinat´

oria

Modelagem Matem´atica I

Professora:

Rosiane de Freitas (rosiane@icomp.ufam.edu.br)

Colaborador Bruno Raphael Cardoso Dias (bruno.dias@icomp.ufam.edu.br)

Universidade Federal do Amazonas - UFAM Instituto de Computa¸c˜ao - IComp

Manaus-AM, Brasil Abril de 2015

(2)

Roteiro

1 Programa¸c˜ao Linear

Modelagem Matem´atica Problema da Mochila 0 − 1 Problema da Mochila Inteira Problema da Mochila Fracion´aria

Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Cont´ınua

(3)

Programa¸c˜ao Linear Modelagem Matem´atica

Modelagem Matem´atica

Na área de Pesquisa Operacional os problemas são representados por modelos matemáticos.

Um modelo matemático é uma representa¸cão simplificada de uma situa¸cão da vida real, formalizado com s´ımbolos e expressões matemáticas.

(4)

Na área de Pesquisa Operacional os problemas são representados por modelos matemáticos.

Um modelo matemático é uma representa¸cão simplificada de uma situa¸cão da vida real, formalizado com s´ımbolos e expressões matemáticas.

(5)

Tipos de Modelos Matem´aticos de Otimiza¸c˜ao:

1 _Programa¸_c˜_{ao Linear}

Cont´ınua Inteira

(6)

Cont´ınua Inteira

(7)

Cont´ınua Inteira

(8)

Programa¸c˜

ao Linear Cont´ınua

Programa¸c˜ao Linear Cont´ınua

Um caso particular dos modelos de programa¸cão linear em que as variáveis são cont´ınuas e apresentam comportamento linear, tanto em rela¸cão às restri¸cões como à fun¸cão objetivo.

Os problemas de Programa¸c˜ao Linear determinam um planejamento ´

otimo das atividades, que representa a melhor solu¸c˜ao entre todas as solu¸c˜oes poss´ıveis.

Exemplos:

Maximizar z = c · x

Sujeito a A · x = b

(9)

Programa¸c˜

ao Linear Cont´ınua

Exemplos:

(10)

Programa¸c˜

ao Linear Cont´ınua

Exemplos:

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Programa¸c˜

ao Linear Inteira

Programa¸c˜ao Linear Inteira

Um modelo de otimiza¸cão constitui um problema de Programa¸cão Inteira se qualquer variável não puder assumir valores cont´ınuos, ficando condicionada a assumir valores discretos.

Exemplos:

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Programa¸c˜

ao Linear Inteira

Programa¸c˜ao Linear Inteira

Um modelo de otimiza¸cão constitui um problema de Programa¸cão Inteira se qualquer variável não puder assumir valores cont´ınuos, ficando condicionada a assumir valores discretos.

Exemplos:

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Programa¸c˜

ao N˜

ao-linear

Programa¸c˜ao N˜ao-linear

Um modelo de otimiza¸cão constitui um problema de Programa¸cão Não-linear se exibir qualquer tipo de não-linearidade, seja na fun¸cão objetivo ou em qualquer de suas restri¸cões.

Exemplos:

xn para n 6= 1 n2

(14)

Programa¸c˜

ao N˜

ao-linear

Programa¸c˜ao N˜ao-linear

Um modelo de otimiza¸cão constitui um problema de Programa¸cão Não-linear se exibir qualquer tipo de não-linearidade, seja na fun¸cão objetivo ou em qualquer de suas restri¸cões.

Exemplos:

xn para n 6= 1 n2

(15)

Problemas de Programa¸cão Matemática e Problemas de Otimiza¸cão

O que s˜ao problemas de Otimiza¸c˜ao?

Os problemas de Otimiza¸cão são problemas de maximiza¸cão ou minimiza¸cão de fun¸cões de variáveis, num determinado dom´ınio, normalmente definido por um conjunto de restri¸cões nas variáveis.

O que são problemas de programa¸cão matemática?

Os problemas de Programa¸cão Matemática são uma classe particular de Problemas de Otimiza¸cão, aplicados inicialmente nos campos da organiza¸cão e da gestão econômica, em que o objetivo e as restri¸cões são dadas como fun¸cões matemáticas e rela¸cões funcionais.

A terminologia Programa¸cão Matemática tem sua origem na rela¸cão: Programa¸cão ⇔ planejamento de atividades.

Matemática ⇔ o problema é representado por um modelo matemático composto de fun¸cões objetivo(s) e restri¸cões dependentes das variáveis de decisão.

(16)

(17)

(18)

Programa¸c˜ao Linear Problema da Mochila 0 − 1

Problema da Mochila 0 − 1

Problema da Mochila 0 − 1 (Knapsack Problem)

Um excursionista planeja fazer uma viagem acampando. H´a 5 itens que ele deseja levar consigo, mas estes, juntos, excedem o limite de 60 quilos que ele sup˜oe ser capaz de carregar.

Para otimizar o processo de sele¸c˜ao dos objetos, ele atribui valores, por ordem crescente de importˆancia a cada um dos itens conforme a tabela a seguir.

(19)

Problema da Mochila 0 − 1

Problema da Mochila 0 − 1 Knapsack Problem

Supondo a existência de uma unidade de cada item, fa¸ca um modelo de programa¸cão inteira que maximize o valor total sem exceder as restri¸cões de peso.

Item 1 2 3 4 5

Peso (kg) 52 23 35 15 7

(20)

Problema da Mochila 0 − 1

Vari´aveis de decis˜ao

São incógnitas a serem determinadas pela solu¸cão do modelo.

1 Solu¸c˜ao:

Escolha da vari´avel de decis˜ao:

xj =

1, se o item j for colocado na mochila 0, caso contr´ario

(21)

Problema da Mochila 0 − 1

Vari´aveis de decis˜ao

São incógnitas a serem determinadas pela solu¸cão do modelo.

1 Solu¸c˜ao:

xj =

1, se o item j for colocado na mochila 0, caso contr´ario

(22)

Problema da Mochila 0 − 1

Fun¸c˜ao Objetivo

´

E uma fun¸cão matemática que define a qualidade da solu¸cão em fun¸cão das variáveis de decisão.

Item 1 2 3 4 5

Peso (kg) 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 8

1 Solu¸c˜ao:

Elabora¸c˜ao da Fun¸c˜ao Objetivo:

(23)

Problema da Mochila 0 − 1

Fun¸c˜ao Objetivo

´

E uma fun¸cão matemática que define a qualidade da solu¸cão em fun¸cão das variáveis de decisão.

Item 1 2 3 4 5

Peso (kg) 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 8

1 Solu¸c˜ao:

Elabora¸c˜ao da Fun¸c˜ao Objetivo:

(24)

Problema da Mochila 0 − 1

Restri¸c˜oes

Leva em conta as limita¸cões f´ısicas do sistema, o modelo deve incluir restri¸cões que limitam as variáveis de decisão a seus valores poss´ıveis (ou viáveis).

Item 1 2 3 4 5

Peso (kg) 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 8

1 Solu¸c˜ao:

Restri¸c˜oes do Problema: Limite de peso:

52x1 + 23x2+ 35x3+ 15x4+ 7x5 ≤ 60

(Pode-se carregar 60kg, no m´aximo).

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Problema da Mochila 0 − 1

Restri¸c˜oes

Item 1 2 3 4 5

Peso (kg) 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 8

1 Solu¸c˜ao:

Restri¸c˜oes do Problema:

Limite de peso:

52x1 + 23x2+ 35x3+ 15x4+ 7x5 ≤ 60

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Problema da Mochila 0 − 1

Restri¸c˜oes

Item 1 2 3 4 5

Peso (kg) 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 8

1 Solu¸c˜ao:

52x1+ 23x2+ 35x3+ 15x4+ 7x5 ≤ 60

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Problema da Mochila 0 − 1

Restri¸c˜oes

Item 1 2 3 4 5

Peso (kg) 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 8

1 Solu¸c˜ao:

52x1+ 23x2+ 35x3+ 15x4+ 7x5 ≤ 60

(28)

Problema da Mochila 0 − 1

Problema completo: Maximizar z = 100x1+ 60x2 + 70x3+ 15x4+ 8x5 Sujeito a 52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60 x1, x2, x3, x4, x5 ∈ {0, 1}

O problema da mochila pode ser formulado como: Maximizar P

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

j ∈itenswjxj ≤ Cap

(29)

Problema da Mochila 0 − 1

Problema completo: Maximizar z = 100x1+ 60x2+ 70x3+ 15x4+ 8x5 Sujeito a 52x1 + 23x2 + 35x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60 x1, x2, x3, x4, x5 ∈ {0, 1}

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

(30)

Problema da Mochila 0 − 1

O problema da mochila pode ser formulado como:

Maximizar P

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

(31)

Problema da Mochila 0 − 1

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

(32)

Problema da Mochila 0 − 1

O problema da mochila pode ser formulado como:

Maximizar P

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens

Considerando a nota¸c˜ao a seguir:

itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}. Cap: Capacidade da mochila.

wj : Peso relativo ao item j .

(33)

Problema da Mochila 0 − 1

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens

(34)

Problema da Mochila 0 − 1

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens

(35)

Problema da Mochila 0 − 1

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens

itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}.

Cap: Capacidade da mochila. wj : Peso relativo ao item j .

(36)

Problema da Mochila 0 − 1

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens

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Problema da Mochila 0 − 1

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens

(38)

Problema da Mochila 0 − 1

j ∈itenspjxj

Sujeito a P

xj ∈ {0, 1}∀j ∈ itens

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Programa¸c˜ao Linear Problema da Mochila Inteira

Problema da Mochila Inteira

Trata-se de uma extens˜ao do problema anterior, na qual para cada item j existem uj unidades dispon´ıveis.

A modelagem de programa¸c˜ao inteira deste problema ´e:

Maximizar P j ∈itenspjxj Sujeito a P j ∈itenswjxj ≤ Cap xj ≤ uj ∀j ∈ itens xj ∈ Z+ ∀j ∈ itens

em que a variável de decisão xj indica o número de unidades do item j

(40)

Programa¸c˜ao Linear Problema da Mochila Fracion´aria

Problema da Mochila Fracion´

aria

Problema da Mochila Fracion´aria (Knapsack Problem)

Um ladr˜ao entra em uma loja para roubar e encontra n itens, onde cada item i vale vi reais e wi quilos, sendo vi e wi inteiros.

O ladr˜ao deseja levar a carga mais valiosa poss´ıvel mas, no entanto, consegue carregar apenas 50 quilos na sua mochila.

(41)

Problema da Mochila Fracion´

aria

Problema da Mochila Fracion´aria (Knapsack Problem)

Se fosse no problema da mochila 0 − 1, as restri¸cões seriam que o ladrão deveria levar os itens inteiros (isto é, xi assume apenas valor

inteiro: 0 ou 1), e pode levar um item apenas uma vez.

Para o problema da mochila fracionária, o ladrão pode levar fra¸cões de um item, e desta forma xi pode assumir valores tal que 0 ≤ xi ≤ 1.

Seja os itens que o ladr˜ao deseja levar com a seguinte configura¸c˜ao:

Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg

1 60 10 6

2 100 20 5

(42)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

Escolha da vari´avel de decis˜ao: 0 ≤ xi ≤ 1

Observa¸c˜ao:

Como candidatos temos os diferentes objetos e a solu¸cão é dada por um vetor {x1, ..., xn} que indica que fra¸cão de cada

(43)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

Observa¸c˜ao:

(44)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

Observa¸c˜ao:

(45)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

Elabora¸c˜ao da Fun¸c˜ao Objetivo: max z = 60x1 + 100x2+ 120x3

(46)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

Elabora¸c˜ao da Fun¸c˜ao Objetivo: max z = 60x1+ 100x2+ 120x3

(47)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

10x1 + 20x2+ 30x3 ≤ 50

(Pode-se carregar 50kg, no m´aximo). Tipo de vari´aveis: 0 ≤ xi ≤ 1

(48)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

Restri¸c˜oes do Problema:

Limite de peso:

10x1 + 20x2+ 30x3 ≤ 50

(49)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

10x1+ 20x2+ 30x3 ≤ 50

(50)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

1 60 10 6

2 100 20 5

3 120 30 4

1 Solu¸c˜ao:

10x1+ 20x2+ 30x3 ≤ 50

(51)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

Problema completo:

Maximizar z = 60x1+ 100x2+ 120x3

Sujeito a 10x1 + 20x2 + 30x3 ≤ 50

0 ≤ xi ≤ 1

O problema da mochila fracion´aria pode ser formulado como:

Maximizar

P

n i =1

v

i

x

i

Sujeito a

P

n i =1

w

i

x

i

≤

Cap

0 ≤ x

i

≤ 1

(52)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

Problema completo:

Sujeito a 10x1 + 20x2 + 30x3 ≤ 50

0 ≤ xi ≤ 1

Maximizar

P

n i =1

v

i

x

i

Sujeito a

P

n i =1

w

i

x

i

≤

Cap

0 ≤ x

i

≤ 1

(53)

Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

Problema completo:

Sujeito a 10x1 + 20x2 + 30x3 ≤ 50

0 ≤ xi ≤ 1

Maximizar

P

n i =1

v

i

x

i

Sujeito a

P

n i =1

w

i

x

i

≤

Cap

0 ≤ x

i

≤ 1

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Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

Problema completo:

Sujeito a 10x1 + 20x2 + 30x3 ≤ 50

0 ≤ xi ≤ 1

Maximizar

P

n i =1

v

i

x

i

Sujeito a

P

n i =1

w

i

x

i

≤

Cap

0 ≤ x

i

≤ 1

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Problema da Mochila Fracion´

aria (Knapsack Problem)

O problema da mochila fracion´aria pode ser formulado como: Maximizar Pn i =1vixi Sujeito a Pn i =1wixi ≤ Cap 0 ≤ xi ≤ 1

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Programa¸c˜ao Linear Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Cont´ınua

O Problema da Dieta

Exerc´ıcio:

O Problema da Dieta

Suponha que para participar dos jogos universitários deste ano, todo aluno deve ’estar em forma’. Assim, assuma que você precise perder peso para atender a este requisito exigido pela comissão organizadora do evento.

Mas, para isso, você precisa entrar em uma dieta de redu¸cão calórica, reduzindo a quantidade de certos alimentos que deverão ser ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos nutricionais sejam satisfeitos a custo m´ınimo.

Suponha que, por motivos justific´aveis, uma certa dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de peixe e uma salada com uma composi¸c˜ao bem conhecida.

(57)

O Problema da Dieta

Exerc´ıcio:

O Problema da Dieta

(58)

O Problema da Dieta

Exerc´ıcio:

O Problema da Dieta

(59)

O Problema da Dieta

Exerc´ıcio:

O Problema da Dieta

Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitaminas A, C e D e controlados por suas quantidades m´ınimas (em miligramas), uma vez que são indispensáveis à preserva¸cão da saúde da pessoa que estará se submetendo à dieta.

A Tabela a seguir resume a quantidade de cada vitamina em disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade di´aria para a boa sa´ude de uma pessoa.

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O Problema da Dieta

Exerc´ıcio:

O Problema da Dieta

Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitaminas A, C e D e controlados por suas quantidades m´ınimas (em miligramas), uma vez que são indispensáveis à preserva¸cão da saúde da pessoa que estará se submetendo à dieta.

A Tabela a seguir resume a quantidade de cada vitamina em disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade di´aria para a boa sa´ude de uma pessoa.

(61)

O Problema da Dieta

Restri¸c˜oes e custos do problema:

Tabela : Restri¸c˜oes de nutrientes na dieta alimentar.

Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Requisito nutricional m´ınimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg

(62)

O Problema da Dieta

Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real

1 Solu¸c˜ao:

xi ≡ quantidade de alimento do tipo i=(l=leite, c-carne,

p=peixe, s-salada) a ser utilizada na dieta escolhida.

Elabora¸c˜ao da Fun¸c˜ao objetivo:

z = Minimizar {f (x ) = 2xl + 4xc+ 1, 5xp+ xs}

(63)

O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

(64)

O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

(65)

O Problema da Dieta

Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Req. nutr. m´ınimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg

1 Solu¸c˜ao:

Formula¸cão das restri¸cões tecnológicas: a) Restri¸cão associada à demanda de vitamina A: 2xl+ 2xc+ 10xp+ 20xs ≥ 11

b) Restri¸c˜ao associada `a demanda de vitamina C: 50xl+ 20xc+ 10xp+ 30xs ≥ 70

c) Restri¸c˜ao associada `a demanda de vitamina D: 80xl+ 70xc+ 10xp+ 80xs ≥ 250

(66)

O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

Formula¸cão das restri¸cões tecnológicas:

a) Restri¸c˜ao associada `a demanda de vitamina A: 2xl+ 2xc+ 10xp+ 20xs ≥ 11

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O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

(68)

O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

(69)

O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

(70)

O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

Restri¸c˜oes de n˜ao negatividade: xl ≥ 0, xc ≥ 0, xp ≥ 0, xs ≥ 0

Chegando finalmente ao problema completo: Minimizar z = 2xl+ 4xc+ 1, 5xp+ xs sujeito a: 2xl + 2xc+ 10xp+ 20xs ≥ 11 50xl + 20xc+ 10xp+ 30xs ≥ 70 80xl + 70xc+ 10xp+ 80xs ≥ 250 xl ≥ 0, xc ≥ 0, xp ≥ 0, xs ≥ 0

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O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

Chegando finalmente ao problema completo: Minimizar z = 2xl+ 4xc+ 1, 5xp+ xs sujeito a: 2xl + 2xc+ 10xp+ 20xs ≥ 11 50xl + 20xc+ 10xp+ 30xs ≥ 70 80xl + 70xc+ 10xp+ 80xs ≥ 250 xl ≥ 0, xc ≥ 0, xp ≥ 0, xs ≥ 0

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O Problema da Dieta

1 Solu¸c˜ao:

Chegando finalmente ao problema completo: Minimizar z = 2xl + 4xc+ 1, 5xp+ xs sujeito a: 2xl + 2xc+ 10xp+ 20xs ≥ 11 50xl + 20xc+ 10xp+ 30xs ≥ 70 80xl + 70xc+ 10xp+ 80xs ≥ 250 xl ≥ 0, xc ≥ 0, xp ≥ 0, xs ≥ 0

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O Problema do S´ıtio

Exerc´ıcio:

O Problema do S´ıtio

Um sitiante está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano. Por informa¸cões obtidas nos órgão governamentais, sabe-se que a culturas de trigo, arroz e milho serão as mais rentáveis na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas

(74)

O Problema do S´ıtio

Restri¸c˜oes e custos do problema:

Tabela : Restri¸c˜oes do problema do plantio.

Cultura Produtividade em kg por

m2 _(experiˆ_encia)

Lucro por kg de

Produ¸c˜ao (informa¸c˜oes do goverto)

Trigo 0,2 10,8 centavos

Arroz 0,3 4,2 entavos

Milho 0,4 2,03 centavos

O Problema do S´ıtio (cont.)

Por falta de um local de armazenamento próprio, a produ¸cão máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do s´ıtio é de 200.000m2. Para atender às demandas de seu próprio s´ıtio, é imperativo que se plante 400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.

(75)

O Problema do S´ıtio

Cultura Produtividade em kg

por m2 (experiˆencia)

Lucro por kg de

Produ¸c˜ao

(in-forma¸c˜oes do goverto)

1 Solu¸c˜ao:

Neste exemplo as variáveis de decisão a serem utilizadas serão referentes a quantidade de quilos produzidos em cada área a ser plantada.

xi ≡ ´area em m2 a ser plantada da cultura do tipo i=(T=trigo, A-arroz, M=Milho).

(76)

O Problema do S´ıtio

Lucro por kg de

Produ¸c˜ao

1 Solu¸c˜ao:

Neste exemplo as variáveis de decisão a serem utilizadas serão referentes a quantidade de quilos produzidos em cada área a ser plantada.

xi ≡ ´area em m2 a ser plantada da cultura do tipo i=(T=trigo, A-arroz, M=Milho).

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O Problema do S´ıtio

Lucro por kg de

Produ¸c˜ao

1 Solu¸c˜ao:

os coeficientes da fun¸cão deverão ser calculados multiplicando-se a produtividade por quilo pelo lucro previsto para cada quilo. O resultado será a unidade monetária, no caso o centavo.

z = Minimizar {f (x ) = 2, 16xT + 1, 26xA+ 0, 812xM}. Lucro em centavos.

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O Problema do S´ıtio

Lucro por kg de

Produ¸c˜ao

1 Solu¸c˜ao:

os coeficientes da fun¸cão deverão ser calculados multiplicando-se a produtividade por quilo pelo lucro previsto para cada quilo. O resultado será a unidade monetária, no caso o centavo.

z = Minimizar {f (x ) = 2, 16xT + 1, 26xA+ 0, 812xM}. Lucro em centavos.

(79)

O Problema do S´ıtio

Por falta de um local de armazenamento próprio, a produ¸cão máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do s´ıtio é de 200.000m2_.

Para atender às demandas de seu próprio s´ıtio, é imperativo que se plante 400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.

1 Solu¸c˜ao:

a) Restri¸cões associadas à demanda do s´ıtio (em unidade de área - m2_):

xT ≥ 400

xA ≥ 800

(80)

O Problema do S´ıtio

Por falta de um local de armazenamento próprio, a produ¸cão máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do s´ıtio é de 200.000m2_.

Para atender às demandas de seu próprio s´ıtio, é imperativo que se plante 400m2 de trigo, 800m2 de arroz e 10.000m2 de milho.

1 Solu¸c˜ao:

a) Restri¸cões associadas à demanda do s´ıtio (em unidade de área - m2_):

xT ≥ 400

xA ≥ 800

(81)

O Problema do S´ıtio

Por falta de um local de armazenamento próprio, a produ¸cão máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do s´ıtio é de 200.000m2. Para atender às demandas de seu próprio s´ıtio, é imperativo que se plante 400m2 _{de trigo, 800m}2 _{de arroz e 10.000m}2 _{de milho.}

1 Solu¸c˜ao:

b) Restri¸c˜ao associada a ´area total dispon´ıvel: xT + xA+ xM ≤ 200.000

c) Restri¸c˜ao associada ao armazenamento (em quilos): Utilizam-se os coeficientes da produtividade por unidade de ´

area obter um valor final em quilos: 0, 2xT + 0, 3xA + 0, 4xM ≤ 60.000

(82)

O Problema do S´ıtio

1 Solu¸c˜ao:

area obter um valor final em quilos: 0, 2xT + 0, 3xA + 0, 4xM ≤ 60.000

(83)

O Problema do S´ıtio

1 Solu¸c˜ao:

area obter um valor final em quilos: 0, 2x + 0, 3x + 0, 4x ≤ 60.000

(84)

O Problema do S´ıtio

1 Solu¸c˜ao:

Restri¸c˜oes de n˜ao negatividade: xT ≥ 0, xA ≥ 0, xM ≥ 0

Chegando finalmente ao problema completo: Minimizar z = 2, 16xT + 1, 26xA+ 0, 812xM sujeito a: xT ≥ 400 xA ≥ 800 xM ≥ 10.000 xT + xA+ xM ≤ 200.000 0, 2xT + 0, 3xA + 0, 4xM ≤ 60.000 xT ≥ 0, xA ≥ 0, xM ≥ 0

(85)

O Problema do S´ıtio

1 Solu¸c˜ao:

(86)

O Problema do S´ıtio

1 Solu¸c˜ao:

(87)

Referˆencias

Modelagem Matem´

atica

1 Referˆencias

BREGALDA, Paulo F., OLIVEIRA, Antˆonio. A. F.,

BORNSTEIN, Cláudio T.. Introdu¸cão à Programa¸cão Linear, 3a Edi¸cão, Editora Campus, 1988.

GOLDBARG, M. C. e LUNA, H. P.. Otimiza¸cão Combinatória e Programa¸cão Linear, 2a Edi¸cão, Editora Campus, 2005.

LAWLER, Eugene. Combinatorial Optimization: Networks and Matroids, 1a Edi¸c˜ao, 1975.

MACULAN, Nelson e FAMPA Marcia H. C.. Otimiza¸c˜ao Linear, 1a Edi¸c˜ao, Editora UNB, 2006.