FUV2009-3-AULA5

Prof. Dr. Reinaldo Luiz Cavasso Filho

Centro de Ciências Naturais e Humanas

Universidade Federal do ABC

Aula 5 –

Aula 5 –

13/10/2009

13/10/2009

Derivada

Derivada

5.1 Taxas de Variação e Retas Tangentes

5.1 Taxas de Variação e Retas Tangentes

5.2 A Derivada

5.2 A Derivada

5.3 Diferenciabilidade

5.3 Diferenciabilidade

5.4 Regras de Derivação

5.4 Regras de Derivação

A maioria dos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam no tempo.

A derivada é uma ferramenta matemática utilizada para estudar as taxas nas quais variam as grandezas.

Exemplo: Movimento Retilínio Uniforme

y(t) = y

₀

+ v t

t (h)

y

(K

m

)

t

₂

t

₁

y

₂

y

₁

Taxa de Variação?

Qual a variação que ocorre em

y,

y

, ao ocorrer uma variação

de

t

em t ?

t (h)

y

(K

m

)

t

₂

t

₁

y

₂

y

₁



t



y

t

y

m







Taxa de Variação

1 2 1 2

t

t

y

y

m







1 2 1 2

)

(

)

(

t

t

t

y

t

y

m







y(t) = y

₀

+ v t

1 2 1 0 2 0

(

)

t

t

t

v

y

t

v

y

m











v

m



No MRU a taxa de variação da

posição

com o tempo é

Dependência Linear:

f(x) = a x + b

A taxa de variação de f em relação a x é uma constante,

m = a

x

x

2

x

₁

y

₂

= f (x

₂

)



x



y

y

y

₁

= f (x

₁

)

Dependência Qualquer f(x) ???

x₀ x₁ f(x₀) f(x₁) P Q y=f(x) f(x₁) - f(x₀) x₁ - x₀ reta secante x y 0 1 0 1 sec

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

m







Inclinação da Reta Secante:

Reta Tangente

x₀ x₁ f(x₀) f(x₁) P Q y=f(x) f(x₁) - f(x₀) x₁ - x₀ reta secante x y reta tangente 0 1 0 1 sec

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

m







Inclinação da Reta Secante:

0 1 0 1

)

(

)

(

lim

0 1

x

x

x

f

x

f

m

x x tg

_







Inclinação da Reta Tangente:

Há distinção entre taxa média de variação, representada

pela inclinação da reta secante, e taxa instantânea de

variação, representada pela inclinação da reta tangente.

DEFINIÇÃO. Se y=f(x), então a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x₀, x₁] é a inclinação m_sec da reta secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x₀, f(x₀)) e (x₁, f(x₁)), isto é: 0 1 0 1 sec ) ( ) ( x x x f x f m   

DEFINIÇÃO. Se y=f(x), então a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x₀ é a inclinação m_tg da reta tangente ao gráfico de f no ponto x₀, isto é:

0 1 0 1 0 1 tg ) ( ) ( lim x x x f x f m x x    

Em outras palavras...

EXEMPLO 1

Considerando a dependência funcional

y = f(x) = x

2

_+1.

(a) Achar a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [3,5].

(b) Achar a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x=– 4.

(c) Achar a taxa de variação instantânea de y em relação a x em um ponto genérico x=x₀.

Solução : (a)

f(x)= x

2

₊₁

x

₀

=3

x

₁

=5

taxa de variação média inclinação da reta secante

0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Y x

Interpretação do resultado: no intervalo [3, 5], para cada unidade de aumento de x a variável y aumenta 8 unidades. Então: 8 3 5 10 26 3 5 ) 1 3 ( ) 1 5 ( 3 5 ) 3 ( ) 5 ( ) ( ) ( 2 2 0 1 0 1 sec _               f f x x x f x f m

Solução (b)

f(x)= x2_{+1 x}

0= – 4

taxa de variação instantânea inclinação da reta tangente ) 4 ( ) 1 ) 4 (( ) 1 ( lim ) ( ) ( lim 1 2 2 1 4 1 0 1 0 1 0 1 tg _{ }            x x x x x f x f m x x x 4 ) 4 )( 4 ( lim 4 16 lim 4 17 ) 1 ( lim 1 1 1 4 1 1 2 1 4 1 1 2 1 4 1 tg _                 x x x x x x x m x x x 8 ) 4 ( lim ₁ 4 1 tg  _ x    m x Interpretação do resultado: como a taxa de variação

instantânea é negativa, y é

decrescente no ponto x=– 4 a uma taxa de 8 unidades por unidade de acréscimo em x. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 Y x

Solução (c)

taxa de variação instantânea inclinação da reta tangente 0 1 2 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 tg ) 1 ( ) 1 ( lim ) ( ) ( lim x x x x x x x f x f m x x x x           0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 2 1 0 1 tg lim ( ) 2 ) )( ( lim lim x x x x x x x x x x x x x m x x x x x x              Interpretação do resultado:

a taxa de variação instantânea de y em relação a x em x=x₀ é 2x₀.

O resultado encontrado em (b) pode ser obtido a partir deste resultado mais geral, fazendo-se x₀= – 4.

Na seção precedente, mostrou-se informalmente que a inclinação da reta tangente ao gráfico y=f(x) no ponto x₀ é dada por: 0 1 0 1 0 1 tg ) ( ) ( lim x x x f x f m x x    

Segue agora uma definição formal de reta tangente.

DEFINIÇÃO. Se P(x₀, y₀) é um ponto no gráfico de uma função f, então a reta tangente ao gráfico de f em P, também chamada a reta tangente ao gráfico de f em x₀, é definida como sendo a reta que passa por P com

inclinação: h x f h x f m h ) ( ) ( lim 0 0 0 tg    

onde x₁=x₀+h e contanto que este limite exista.

Caso o limite não exista, então conclui-se que não há nenhuma reta que seja tangente ao gráfico em P.

EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE

EXEMPLO 2

Achar a equação da reta tangente ao gráfico y=x2+1 no ponto x

0 = 2. Solução Seja: f(x)= x2+1 x 0= 2 y0=5 Então: h h h f h f h x f h x f m h h h ) 1 2 ( ) 1 ) 2 (( lim ) 2 ( ) 2 ( lim ) ( ) ( lim 2 2 0 0 0 0 0 tg               4 ) 4 ( lim ) 4 ( lim 4 lim 4 ) 4 2 ( lim 0 0 2 0 2 2 0 tg                h h h h h h h h h h m h h h h

A equação da reta tangente a curva é determinada pelo ponto de intersecção (x₀, y₀) e pela sua inclinação m_tg

)

(

₀

0

m

x

x

y

Assim, a equação da reta tangente é dada por:

)

(

₀ 0

m

x

x

y

y





_tg



)

2

(

4

5







x

y

ou: ou, finalmente:

3

4



 x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y y = x2 _{+ 1} y = 4x - 3

A inclinação de uma reta tangente a uma curva y=f(x) depende do ponto x no qual a inclinação está sendo calculada; logo a inclinação é uma função de x.

De acordo com a Solução (c) do EXERCÍCIO 01 – utilizando agora a DEFINIÇÃO formal de reta tangente – e para um ponto qualquer arbitrário x₀=x (ou seja, para qualquer ponto genérico x₀), tem-se que: h x h x h x f h x f m h h ) 1 ( ) 1 ) (( lim ) ( ) ( lim 2 2 0 0 tg           x h x h h x h m h h lim(2 ) 2 ) 2 ( lim 0 0 tg       

Este resultado pode ser utilizado para calcular a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva y=x2_+1.

DEFINIÇÃO. A função f’ definida pela fórmula:

é chamada de derivada de f em relação a x. O domínio de f’ consiste de todo x para o qual o limite existe.

h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0     Solução (a) EXEMPLO 3

(a) Achar a derivada em relação a x de f(x) = x3 _{– x.}

(b) Fazer os gráficos de f e f’ juntos e discutir a relação entre ambos.

Para encontrar a derivada será utilizada a equação apresentada na definição. Mais adiante serão desenvolvidos métodos mais eficientes para tal.

h x x h x h x h x f h x f x f h h ) ( )) ( ) (( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 3 3 0 0            Assim,           h x x h x h xh h x x x f h 3 3 2 2 3 0 3 3 lim ) ( ' ) 1 3 3 ( lim ) 1 3 3 ( lim ) ( ' 2 2 0 2 2 0           h x xh h h xh x h x f h h 1 3 1 ) 0 ( ) 0 ( 3 3 ) ( ' x  x2  x  2   x2  f Solução (b)

Conforme visto anteriormente, a função f’(x) representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto x.

Assim, a derivada f’(x) é positiva onde a reta tangente tem inclinação positiva, é negativa onde a reta tangente tem inclinação é negativa, e é zero onde a reta tangente é horizontal.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y e y´ f’(x) f(x)

Da DEFINIÇÃO de derivada, tem-se que a derivada de uma função f é definida naqueles pontos onde o limite existe.

Esses pontos são chamados pontos de diferenciabilidade

para f.

Os pontos onde este limite não existe são chamados pontos de não-diferenciabilidade para f.

Geometricamente,

os pontos de diferenciabilidade de f são aqueles onde a curva y=f(x) tem uma reta tangente,

os pontos de não-diferenciabilidade são aqueles onde a curva não tem reta tangente.

Relação entre Diferenciabilidade e Continuidade

TEOREMA. Se f é diferenciável no ponto x₀, então f é também contínua em x₀.

O inverso é falso, ou seja, uma função pode ser contínua em um ponto, sem ser diferenciável neste ponto.

De fato, isso pode acontecer em todo ponto onde a função é contínua e tem um “bico”.

Isso ocorre com a função f(x)=|x|, conforme anteriormente visto. Esta função é contínua em x=0, mas não é

EXEMPLO 4

(a) Mostrar que f(x)=|x| não é diferenciável em x=0. (b) Achar f’(x).

Solução (a)

Caso f’(0) existisse, seria dado por:

h h h h h f h f h f h f f h h h h 0 0 0 lim0 0 lim ) 0 ( ) ( lim ) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( '             Mas:         0 1 0 1 h h h h Portanto:

1 lim 0     h h h 1 lim 0    h h h Logo: h h f h 0lim ) 0 ( '  

não existe porque os limites laterais não são iguais. Conseqüentemente, f(x)=|x| não é diferenciável em x=0. Solução (b)

A derivada de f(x)=|x| pode ser obtida escrevendo-se |x| por partes e tratando separadamente os casos x>0 e x<0.

Se x>0, então f(x) = x e f’(x)=1; e se x<0, então f(x)= – x e f’(x)= – 1.

Logo:         0 1 0 1 ) ( ' x x x f

f’(x) não é uma função contínua.

Este exemplo mostra que a derivada de um função contínua não

precisa ser contínua !!!

x y 0 f(x)=|x| x y 0 1 -1         0 1 0 1 ) ( ' x x x f

Notação para Derivada

O processo de encontrar a derivada é chamado de diferenciação.

Quando a variável independente for x, a operação de diferenciação é denotada por:



f

(x

)



dx

d

e se lê “derivada de f(x) em relação a x”. Assim,



f

(

x

)



f

'

(

x

)

dx

d



Por exemplo:



x

3



x





3

x

2



1

dx

d

Para o valor da derivada em um ponto específico x₀,

escreve-se:



(

)



'

(

₀

)

0

x

f

x

f

dx

d

x x



 Por exemplo:





3

(

1

)

2

1

2

1 3

_

_

_

_

 x

x

x

dx

d

Derivadas nos Extremos de um Intervalo

Se uma função f estiver definida em um intervalo fechado [a,b], então a derivada f’(x) não está definida nos pontos extremos a e b, pois h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0    

é um limite bilateral e, nos extremos, faz sentido apenas o limite unilateral.

Para contornar este problema define-se derivadas à esquerda e à direita.

Estas derivadas são definidas por:

h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 ' _      h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 ' _      e

Nos pontos onde existe ou diz-se que a função f é diferenciável à esquerda ou à direita, respectivamente.

) (

' _x

f_ f_' (x)

Se uma função for diferenciável à esquerda ou à direita, então ela será contínua à esquerda ou à direita, respectivamente. Uma função f é diferenciável em intervalos da forma [a,b], [a, ], ( ,b], [a,b) ou (a,b] se for diferenciável nos pontos internos do intervalo e nos extremos à esquerda ou à direita, conforme apropriado.



5.4.1 – Derivada de uma Constante

TEOREMA. A derivada de uma função constante é 0, isto é, se c for um número real qualquer,

então:

0

]

[

c



dx

d

O gráfico de uma função constante f(x) = c é a reta horizontal y=c, logo a reta tangente a este gráfico tem inclinação 0 em todo ponto x.

EXEMPLO 5 Achar a derivada de f(x)=5. Solução 0 ] 5 [ )] ( [   dx d x f dx d

5.4.2 – Derivada de Potência de x

TEOREMA. Se n for um número inteiro positivo ou negativo, então:

 

_x

n

_

_nx

n1

dx

d

EXEMPLO 6 Achar a derivada de f(x)=x5 _{e de f(x)=x.} Solução

 

5 ₅ 4 )] ( [ x x dx d x f dx d  

 

1 1 )] ( [  x  x0  dx d x f dx d

5.4.3 – Derivada de uma Constante vezes

uma Função

TEOREMA. Se f for diferenciável em x e c for um

número real qualquer, então cf também é diferenciável em x e:



(

)





f

(

x

)



dx

d

c

x

cf

dx

d

_

Ou seja, um fator constante pode sair do sinal da derivação. EXEMPLO 7 Achar a derivada de f(x)=4x8. Solução

 

₄ 8 ₄

   

8 ₄₈ 7 ₃₂ 7 )] ( [ x x x dx d x dx d x f dx d    

5.4.4 – Derivada de Somas e Diferenças

TEOREMA. Se f e g forem diferenciáveis em x, então f+g e f–g também o são e:



(

)

(

)





(

)





g

(

x

)



dx

d

x

f

dx

d

x

g

x

f

dx

d

_

_

_



(

)

(

)





(

)





g

(

x

)



dx

d

x

f

dx

d

x

g

x

f

dx

d

_

_

_

EXEMPLO 8 Achar a derivada de f(x)=x4+x2. Solução





 

 

x x x dx d x dx d x x dx d x f dx d 2 4 )] ( [  4  2  4  2  3 

5.4.5 – Derivada de um Produto

TEOREMA. Se f e g forem diferenciáveis em x, então o produto f.g também o é e:



(

)

(

)



(

)



(

)



(

)



f

(

x

)



dx

d

x

g

x

g

dx

d

x

f

x

g

x

f

dx

d

_

_

EXEMPLO 9 Achar a derivada de f(x)=(4x2_–1)(7x3_+x). Solução



 



  (4 1)(7 ) )] ( [ x2 x3 x dx d x f dx d







 







   (4 2 1) 7 3 (7 3 ) 4x2 1 dx d x x x x dx d x        (4x2 1)(21x2 1) (7x3 x)(8x 0) 1 9 140 4  2   x x

5.4.6 – Derivada de um Quociente

TEOREMA. Se f e g forem diferenciáveis em x e g(x) é diferente de 0, então f/g é diferenciável em x e:













2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

g

dx

d

x

f

x

f

dx

d

x

g

x

g

x

f

dx

d

_















Solução EXEMPLO 10 Achar a derivada de . 1 1 ) ( ₄ 2    x x x h















₄



2 4 2 2 4 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) (               x x dx d x x dx d x x g x f dx d x h dx d





2 1 2 4 2 1 4 ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 8 3 5 2 4 3 2 4            x x x x x x x x x x

5.4.7 – Derivada de um Recíproco

TEOREMA. Se a função g for diferenciável em x e g(x) é diferente de 0, então 1/g é diferenciável em x e:







₍

₎



2

)

(

)

(

1

x

g

x

g

dx

d

x

g

dx

d

_

_













Solução EXEMPLO 11 Achar a derivada de . x x f( ) 1





 

 

2 2 1 1 ) ( x x x dx d x dx d x f dx d _{   }     