Introduction générale
I. A.1.b) Intégration réduite sélective (SRI) (1) Justification
Une intégration sélective est nécessaire quand l'épaisseur de la plaque devient faible devant ses autres dimensions.
Dans ce cas, en effet, l'influence des termes de cisaillement prédomine dans la solution numérique. Peuvent alors être obtenus des résultats non réalistes dus à une raideur trop importante. Il y a "blocage" ou "verrouillage" en cisaillement ("Shear locking").
La méthode consiste à combiner astucieusement les techniques d’intégration complète et réduite (Voir Tableau I.6). On peut calculer la matrice de flexion (bending en anglais) [Kb] – ainsi que celle des effets de membrane - en considérant une intégration complète c'est à dire en 2 fois 2 points et la matrice de cisaillement transversal [Kct] avec 1 fois 1 point d'intégration.
(2) Conséquence
La matrice de raideur en flexion se calcule comme suit :
[
Hb(ξ,η)] [ ] [ ] [ ]
=T Bb ⋅Db ⋅ Bb ⋅det[ ]
J (I.13)[ ]
Kb =[
Hb(−1 3,−1 3)] [
+ Hb(1 3,−1 3)] [
+ Hb(1 3,1 3)] [
+ Hb(−1 3,1 3)]
(I.14) Et la matrice de raideur en cisaillement transversal est donc :
[
Hct(ξ,η)] [ ] [ ][ ]
= Bct T.Dct .Bct .det[ ]
J (I.15)[ ]
Kct = 2x2.[
Hct(0,0)] [
=4.Hct(0,0)]
(I.16)Les matrices de comportement [Db] pour la flexion et [Dct] pour le cisaillement transversal sont celles données dans la relation (I.12).
(3) Exemple de la plaque encastrée
Le même exemple de la plaque encastrée (I-A-1-a) en conservant les mêmes données, mais en intégration sélective, donne les résultats qui sont réunis dans le tableau I.4.
Epaisseur : h (mm) 0,1 1 5 10 15 20 25
Pression: p (N/mm²) 1.172E-5 0.01172 1.4652 11.720 39.555 93.772 183.125 Intégration complète 0.00102 0.01007 0.2047 0.5274 0.7698 0.9543 1.1174 Intégration sélective 0.89003 0.90760 0.9847 1.0319 1.0924 1.1739 1.2774 Théorie (Mindlin) 1.0000 1.0005 1.0110 1.0457 1.1029 1.1829 1.2857
Tableau I.4 Déplacements du nœud 1 par intégration sélective.
Avec la méthode d’intégration sélective, il y a une nette amélioration car les valeurs du déplacement vertical du nœud 1 ne sont pas très éloignées de celles de la théorie de Mindlin pour les différentes valeurs d’épaisseur des plaques.
Pour améliorer un peu plus ces résultats comparativement à la théorie de Mindlin, il convient de présenter la méthode de champ assumé de déformation, et particulièrement son cisaillement.
Dans le tableau I.5 ci-dessous sont regroupés différents types d’éléments quadrangulaires avec des techniques ‘classiques’ d’intégrations numériques.
Exemples Linéaire Quadratique
Lagrange Lagrange "Serendip"
Complète 2 x 2 3 x 3
Réduite 1 x 1 2 x 2
Sélective Flexion 2 x 2 3 x 3 Cisaillement 1 x 1 2 x 2
Tableau I.5 Types d’éléments et méthodes d’intégration I.A.1.c) Champ assumé de déformations de cisaillement transversal
C’est une méthode qui peut remplacer la méthode d’intégration sélective (§I-A- 1-b) ou la méthode d’intégration réduite en un point d’intégration (§I-A-1-d).
La particularité de cette méthode est de calculer le cisaillement transversal d’un quadrangle - {γ} - pas directement aux quatre points d’intégration comme pour la membrane et pour la flexion mais de les interpoler à l’aide des valeurs calculées aux quatre points (a, b, c, d), milieux des côtés du quadrilatère (voir figure I-3). Ces composantes suivant xz et yz, servent ensuite à définir un champ de déformations
"assumé" dans les directions ξ et η en un point courant.
Cette procédure a un premier avantage, entre autres, qui est celui d’éviter le phénomène de blocage en cisaillement transversal.
(1) Déformations de cisaillement transversal
Son application impose de se placer au préalable en ζ=0 et positionner ensuite les points milieux des côtés a(ξ=0, η=−1), b(ξ=1, η=0), c(ξ=0, η=1) et d(ξ=−1, η=0), afin de calculer les déformations de cisaillement transversal en partant du champ imposé suivant :
xi
yi
l
k
j i
d
c
b
a y
x
Figure I.3 L’élément coque Q4γ24 dans le repère local
( ) ( ) (
1)
da 12(
1)
bc2 1
1 2 1 1
2 1
η η
η
ξ ξ
ξ
γ ξ + +
γ ξ
−
= γ
γ η + +
γ η
−
= γ
. .
.
. (I.17)
On cherche la matrice gradient de déformation qui relie les déformations de cisaillement {γ} aux déplacements dans le repère local.
Pour cela, on commence d’abord par écrire le champ imposé en (I.17) sous la forme matricielle donnée par (I.18) :
γ γ γ γ γ γ γ γ
ξ
− ξ
+
η + η
= −
γ γ
η ξ η ξ η ξ η ξ
η ξ
d d c c b b a a
1 1
1 1
2
1 (I.18)
Afin d’avoir l’équation (I.18) dans le repère local de l’élément réel, on utilise successivement les relations (I.19) qui lient les déformations de cisaillement dans les directions ξ et η à celles définies dans le repère de l’élément réel par la matrice jacobienne en a, b, c et d et la relation (I.20) :
[ ]
( )[ ] { } [ ]
( )[ ]
b{ }
byb xb 2 x 2 b
b
a ya
xa 2 x 2 a
a
γ
=
γ
= γ
γ γ
γ
=
γ
= γ
γ γ
η ξ η ξ
J J
J J
b
a a
et
[ ]
( )[ ] { } [ ]
( )[ ]
d{ }
dyd xd 2 x 2 d
d
c c yc
xc 2 x 2 c
c
γ
=
γ
= γ
γ γ
γ
=
γ
= γ
γ γ
η ξ η ξ
J J
J J
d c
(I.19)
[ ]
( )
γ
= γ
γ γ
η
− ξ 2 x 2 1 x
x J (I.20)
{ } [ ( ) ]
[ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { }
γ γ γ γ
ξ
− ξ
+
η + η
η − ξ
=
γ
= γ
γ −
d d
c c
b b
a 1
y x
xy 1 1
1 1
2 1
J J J J ,
J
a
(I.21)
Les quatre déformations de cisaillement (relation I.22) dont les composantes sont utilisées dans la relation (I.21) sont reliées aux déplacements locaux par la même matrice [Bct] établie dans la relation (I.5) mais calculée, ici, respectivement aux points a, b, c et d milieux des côtés :
{ } [ ( ) ] { } [ ] { }
{ } [ ( ) ] { } [ ] { }
{ } [ ( ) ] { } [ ] { }
{ } [ ( ) ] { } [ ] { }e ct d e ct
e ct c e
e ct b e ct
e ct a e ct
U~ B U~ ,
B
U~ B U~ Β ,
U~ B U~ ,
B
U~ B U~ ,
B
=
−
= η
= ξ
=
γ
= γ γ
=
= η
= ξ
=
γ
= γ γ
=
= η
= ξ
=
γ
= γ γ
=
= η
−
= ξ
=
γ
= γ γ
1 0
1 0
0 1
0 1
yd xd d
ct yc
xc c
yb xb b
ya xa a
(I.22)
{ }
e T = U~e = θx1 θx2 θx3 θx4 θy1 θy2 θy3 θy4 w1 w2 w3 w4U~
(I.23) Avec la relation (I.22), on réécrit (I.21) sous la forme suivante :
{ } [ ( ) ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ }
e 1yz xz y
x
xy 1 1
1 1
2 1 2
2 U~
B B B B
J J J J ,
J
ct d ct c ct b ct a
d c b a
⋅
ξ
− ξ
+
η + η
η − ξ
=
ε
= ε
γ
= γ
γ −
(I.24) La barre sur les composantes des déformations de cisaillement (relation I.24) signifie que pour avoir les déformations réelles, il faut multiplier leurs expressions par la fonction poids de Reissner g(ζ)=5/4.(1-ζ²). Cette barre n’est pas à confondre avec celle sur les termes de l’inverse de la matrice jacobienne signifiant « moins 1 (-1)»
qu’on va rencontrer dans la lecture de ce document.
(2) Exemple de la plaque encastrée
Après ce bref aperçu sur la méthode de champ assumé de déformation, exclusivement de cisaillement transversal, l’exemple de la plaque encastrée déjà traité en intégration complète (Figure I.2) est repris ici avec les mêmes données.
Pour aller directement à l’essentiel dans cet exemple, les effets de membrane, de flexion et même de cisaillement transversal (CT) sont calculés par la méthode d’intégration complète mais les déformations de CT proviennent d’un champ assumé de déformations pour lever le blocage constaté auparavant en intégration complète.
Les résultats dans le tableau I.6 permettent de faire une comparaison entre différentes techniques et la théorie.
Epaisseur : h (mm) 0,1 1 5 10 15 20 25
Pression: p (N/mm²) 1.172E-5 0.01172 1.4652 11.720 39.555 93.772 183.125 Intégration complète 0.00102 0.01007 0.2047 0.5274 0.7698 0.9543 1.1174 Intégration sélective 0.89003 0.90760 0.9847 1.0319 1.0924 1.1739 1.2774 Intégration complète
+Champ γ "imposé" 0.98907 0.98951 1.0005 1.0346 1.0917 1.1718 1.2745 Théorie (Mindlin) 1.0000 1.0005 1.0110 1.0457 1.1029 1.1829 1.2857
Tableau I.6 Déplacements du nœud 1 par le champ assumé.
En analysant le tableau I.6, on constate que les résultats obtenus par la combinaison de la méthode d’intégration complète (pour la membrane et la flexion) et la méthode de champ assumé de déformations (pour le cisaillement transversal) sont bien meilleurs comparés aux autres méthodes d’intégrations à savoir l’intégration sélective et l’intégration complète sans champ assumé de cisaillement.
Mais la contrepartie de ces bons résultats est lourde en termes de temps de calcul. Ceci est lié aux 2x2 points d’intégration de Gauss dans le plan moyen de l’élément en intégration complète, il faut proposer mieux.
Il n’y a que l’intégration réduite – exposée dans le paragraphe ci-après - qui n’a qu’un seul point d’intégration au centre du plan de l’élément pour pallier ce problème de temps de calcul élevé en intégration complète.