A.1.d) Intégration réduite

Introduction générale

I. A.1.d) Intégration réduite

En analysant le tableau I.6, on constate que les résultats obtenus par la combinaison de la méthode d’intégration complète (pour la membrane et la flexion) et la méthode de champ assumé de déformations (pour le cisaillement transversal) sont bien meilleurs comparés aux autres méthodes d’intégrations à savoir l’intégration sélective et l’intégration complète sans champ assumé de cisaillement.

Mais la contrepartie de ces bons résultats est lourde en termes de temps de calcul. Ceci est lié aux 2x2 points d’intégration de Gauss dans le plan moyen de l’élément en intégration complète, il faut proposer mieux.

Il n’y a que l’intégration réduite – exposée dans le paragraphe ci-après - qui n’a qu’un seul point d’intégration au centre du plan de l’élément pour pallier ce problème de temps de calcul élevé en intégration complète.

Membrane Flexion Cisaillement Figure I.4 Modes à énergie nulle dus à l’intégration réduite

La plupart des logiciels spécialisés dans le domaine de l'emboutissage utilisent la méthode d’intégration réduite en un seul point et contrôle les modes "sabliers"

("Hourglass control") principalement pour un gain de temps de calcul [4].

(2) Matrices gradient de déformations de membrane et de flexion Dans cette présentation, on rappelle juste l’essentiel puisque tous les autres détails peuvent être trouvés dans le Complément III.

On a donc, dans l’ordre, les matrices gradient de membrane et de flexion (bending en anglais) hors stabilisation dans lesquelles les vecteurs <bx> et <by> sont les dérivées par rapport à x et y des fonctions d’interpolation d’un quadrangle (voir Equation I.3) calculées en ξ=0 et η=0 dans le repère local :

[ ]















x y

y x m

b b

B ;

[ ]

















−

y x y

x b

b b b

B (I.25)

Et pour assurer la stabilisation respectivement des effets de membrane et de flexion puisque l’intégration réduite introduit des modes ‘sabliers’, on dispose des opérateurs gradients suivants :

[ ]





 



= 

m γ

Bs ;

[ ]





 



=

b γ

Bs (I.26)

Le vecteur ‘gamma’

{ }

γ =¹₄⁽

{ }

^h −⁽^h^.

{ }

^C^e_x ⁾

{ }

^b_x −⁽^h^.

{ }

^C^e_y ⁾

{ }

^b_y ⁾ est explicité dans le même Complément III.

(3) Matrices de raideur de membrane et de flexion

Les matrices de raideur élémentaires stabilisées de membrane et de flexion sont calculées à partir de Principe des Travaux Virtuels et se résument à :

Pour la membrane :

[ ] [ ] [ ]

^ms m

0 m

e K K

K = + (I.27)

[ ] [ ] [ ][ ]

^m0 ^A T m

m 0 m

0 = B .D .B ⋅

K , matrice de raideur en membrane non stabilisée ;

[ ] [ ] [ ][ ]

^ms T s

m s m

s B .D .B

K = , matrice pour la stabilisation en membrane ;

[ ]

^h²

[ ]

^dz

2 h

m D.

∫

−

= , matrice de comportement pour la membrane ;

[ ]













+ +

= + _m

33 xx m 22 yy m 33 xy m 12 xy

m 33 xy m 12 xy m 33 yy m 11 s xx

D H D H D H D H

. .

D . si D13 = D23 = 0 , matrice utile à la

stabilisation en membrane dont les termes sont explicités dans le Complément III.

Pour la flexion:

[ ] [ ] [ ]

^bs b

0 b

e K K

K = + (I.28)

[ ] [ ] [ ][ ]

^b0 ^A T b

b 0 b

0 B .D .B

K = , matrice de raideur de flexion « non stabilisée » ;

[ ] [ ] [ ][ ]

^bs T s

b s b

s B .D .B

K = , matrice de raideur pour la stabilisation en flexion ;

[ ]

^h ²

^{[ ]}

^z² ^dz

2 h

b D. .

−

∫

= , matrice de comportement de flexion ;

[ ]













−

= + _b

33 yy b 11 xx b

33 xy b 12 xy

b 33 xy b 12 xy b

33 xx b 22 s yy

D H D H D

H D H

D H D H D

H D H

. .

D . si D13 = D23 = 0, matrice de

comportement pour la stabilisation en flexion plus détaillée dans AI-2.

Où [D] est la matrice constitutive élastique isotrope et A est l’aire de l’élément.

(4) Matrices gradient de déformations de cisaillement transversal La relation de déformations de cisaillement transversal en champ assumé (I.24) est ici calculée en ξ=0 et η=0 (I.29) puisque nous sommes en intégration réduite. Elle peut être développée en fonction des termes de l’inverse du Jacobien (I.30), puis arrangée et mise sous une forme facile à interpréter (I.31) :

{ } [ ( ) ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

{ }

e 1

yz xz

xy U

1 1

1 0 1

2 0 1 2

2 ~

B B B B

J J J J ,

ct d ct c ct b ct a

d c b a

⋅



















 





− ξ

η + η

⋅ −

=





 ε

= ε

γ ⁻ (I.29)

[ ]





 



=

−

22 21

12 11 1

J J

J 0 J

0, ) (

J (I.30)

{ } [ [ ]

[ ]

] { }

U~e

Β B

B +η⋅ +ξ⋅ ⋅

=





 ε

= ε

γ _C

yz xz

xy 2

2 (I.31)

où:

{ }

_e ^T = U~_e = θx1 θx2 θx3 θx4 θy1 θy2 θy3 θy4 w1 w2 w3 w4

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]















⋅



 



⋅

ct d ct c ct b ct a

d c b a

B B B B

J J J J B

22 21

12 11

J J

1 (I.32)

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]















⋅



 





−

⋅ −

ct d ct c ct b ct a

d c b a

B B B B

J J J J B

21 21

11 11

J J

1 (I.33)

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]















⋅



 





−

⋅ −

ct d ct c ct b ct a

d c b a

B B B B

J J J J B

22 22

12 12

2 J J

J J

1 (I.34)

Dans les trois opérateurs gradient (relations I.32, I.33 et I.34) les termes (J₁₁,J₁₂,J₂₁,J₂₂) sont les composantes de l’inverse de la matrice jacobienne et la barre au dessus de la lettre J remplace le (-1) habituellement trouvé sur ces termes.

La première de ces trois matrices, [BC0], représente la matrice gradient pour la raideur hors stabilisation.

Multipliée par la fonction poids de Reissner g(ζ)=5/4.(1-ζ²), cette matrice des effets de cisaillement (non stabilisée) [BC0] est utilisée pour le calcul de la matrice de raideur utile tandis que les matrices [BC1] et [BC2] permettent quant à elles d’éviter les modes à énergie nulle introduits.

(5) Matrices de raideur de cisaillement transversal

Les matrices de raideur, correspondant à la stabilisation (s en exposant) du cisaillement transversal de cet élément coque, se calculent grâce aux formules :

[ ]

⁼

_∫∫∫ ^{[ ]}

^⋅

[ ]

^⋅

^{[ ]}

^⋅^η

ct _C1 dv

C1 S

C1 B D B

K (I.35)

[ ]

⁼

_∫∫∫ ^{[ ]}

^⋅

[ ]

^⋅

^{[ ]}

^⋅^ξ

2 2 ct 2 T

2 _C _C dv

C B D B

K (I.36)

Les résultats du calcul des intégrales suivantes, extraites des expressions des matrices de raideur de stabilisation (relations I.35 et I.36) où ds est un élément de surface et A l’aire complète du quadrangle permettent d’écrire (I.39) et (I.40) :

∫∫

^ξ^²^⋅^ds ⁼ ^A₃ ^(I.37)

∫∫

^η^².^ds⁼ ^A₃ ^(I.38)

[ ] ^{[ ]} [ ] ^{[ ]} ^{[ ]} [ ] ^{[ ]}

3 V 3

dz A ^ct

2 h

ct ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅

∫

−

C1 C1

T C1

C1 S T

C1 B D B B D B

K (I.39)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

3 V 3

dz A

2 h

T ⋅ ct ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

∫

−

C2 C C2 C2

C2 S

C2 B D B B D B

K (I.40)

On rappelle ici la matrice de comportement relative au cisaillement transversal :

[ ] ₍ ₎

_



 



 ν

= +

6 5 6 5 1

ct E

D / (I.41)

En sommant les deux matrices de raideur de stabilisation, on obtient la matrice élémentaire de raideur pour la stabilisation de cisaillement transversal :

[ ] [ ] [ ]

^SC2 S

S K K

K_ct = ₁ + (I.42)

(6) Exemple de la plaque encastrée

Après cette présentation assez sommaire de l’intégration réduite, il convient de revenir sur l’exemple de la plaque encastrée (Figure I.2) utilisé auparavant dans l’intégration complète en maintenant les mêmes données et appliquer cette fois-ci la méthode d’intégration réduite.

Les résultats de cette méthode sont regroupés dans le tableau I.7 ci-après et comparés à ceux de l’intégration complète et de la théorie de Mindlin :

Epaisseur : h (mm) 0,1 1 5 10 15 20 25 Pression: p (N/mm²) 1.172E-5 0.01172 1.4652 11.720 39.555 93.772 183.125 Intégration complète 0.00102 0.01007 0.2047 0.5274 0.7698 0.9543 1.1174 Intégration sélective 0.89003 0.90760 0.9847 1.0319 1.0924 1.1739 1.2774 Intégration complète

+Champ γ "imposé" 0.98907 0.98951 1.0005 1.0346 1.0917 1.1718 1.2745 Intégration réduite

+Champ γ "assumé" 0.99452 0.99499 1.0063 1.0410 1.0980 1.1772 1.27862 Théorie (Mindlin) 1.0000 1.0005 1.0110 1.0457 1.1029 1.1829 1.2857

Tableau I.7 Déplacements du nœud 1 par intégration réduite

En faisant l’analyse de ce tableau I.7, on peut dire que les calculs effectués en intégration réduite couplée à la méthode de champ assumé pour le cisaillement transversal donnent des résultats satisfaisants.

Par rapport aux autres méthodes, les valeurs obtenues avec cette technique sont proches de celles de la théorie de Mindlin. Elle est adoptée pour la suite des calculs

La méthode d’intégration réduite est adoptée pour la suite parce qu’elle est bénéfique en termes de temps de calcul. Néanmoins, des soins sont à prendre pour la gestion des modes à énergie nulle comme cela a été évoqué auparavant. Le verrouillage en cisaillement transversal peut être géré par la méthode de champ assumé de cisaillement transversal.

L’élément coque Q4γ24, en intégration réduite pour les effets de membrane, de flexion et pour le cisaillement (en champ assumé), est un élément classique pour la mise en forme mais son utilisation exclusive en état plan des contraintes limite son champ d’emploi.

Par contre, en modifiant cet élément coque Q4γ24 pour avoir l’élément coque- solide Q5γ26, décrit dans le paragraphe qui suit, la loi constitutive complète 3D peut être utilisée permettant ainsi de calculer une vraie contrainte normale lors d’un amincissement volontairement provoqué de l’épaisseur, par exemple.

I.A.2. Elément de type coque-solide à 5 nœuds : Q5γ26

No documento l’emboutissage et du retour élastique (páginas 36-41)

Introduction générale

I. A.1.d) Intégration réduite

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ]

[ ]

∫

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ]

[ ]

∫

[ ]

{ } [ ( ) ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

{ }

[ ]

{ } [ [ ]

[ ]

[ ]

] { }

{ }

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

∫∫∫ [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

∫∫∫ [ ]

[ ]

[ ]

∫∫

∫∫

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

∫

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

∫

[ ] ( )

[ ] [ ] [ ]

^{[ ]}

_∫∫∫ ^{[ ]}

^{[ ]}

_∫∫∫ ^{[ ]}

^{[ ]}

[ ] ^{[ ]} [ ] ^{[ ]} ^{[ ]} [ ] ^{[ ]}

[ ] ₍ ₎