Mtrace
V. E.1. Pénalisation
Dans les paragraphes suivants, seul le contact avec l'outillage est pris en compte. Pour les liaisons "classiques", c'est à dire les suppressions de certains degrés de liberté pour assurer l'équilibre de la structure ou imposer des symétries, une méthode habituelle de pénalisation est utilisée.
En occultant ici la notion de repère local, cette pénalisation consiste, pour imposer un déplacement ∆Ui (ligne i dans la matrice-colonne des déplacements), à multiplier le terme diagonal Kii (ligne i et colonne i) de la matrice de raideur par un
"grand" coefficient (R). L'effort ∆Fi - dans le second membre - est alors considéré connu et pris égal à ∆UixR.
Dans la méthode développée ici, la géométrie de la structure (tôle) n'est pas contrainte à suivre exactement celle de l'outillage ; ce sont des efforts judicieusement calculés qui sont appliqués à cette structure pour l'empêcher de pénétrer exagérément dans l'outillage.
En fait, à l'outil - indéformable et dont la position dans l'espace à l'instant t est connue - correspondent des "ressorts" de grande raideur agissant dans des directions privilégiées ; les efforts en question sont donc caractéristiques d'une légère pénétration.
∆ n outil
tôle t
k n
(f-X-12)
H
Figure V-1 Modèle du contact entre la structure et un outil
On peut imaginer un de ces ressorts comme un élément de longueur nulle connecté à un nœud (k) de la structure d'une part et à l'outil d'autre part au point H (voir figure V-1). Le support de l'effort exercé par la tôle sur ce ressort passe par k et, en l'absence de frottement, a pour direction une normale
n à une facette de l'outil.
Dans la configuration d’une mise en forme où on suppose que l’élément maillant la structure est en contact avec un seul outil comme précisé précédemment, la loi de comportement de cet élément particulier de raideur Rn est :
n F F avec g u R
Fn n n n n n
. )
.(∆ ∆ ∆ ∆
∆ = − = (V.28)
Dans la relation (V.28), suivant la normale n
et par rapport à un repère global fixe, le déplacement de l'outil est noté ∆g nn. et le déplacement du nœud k est noté ∆u nn.. Dès que le frottement est pris en compte, toujours en 2 dimensions, la loi de comportement devient :
outil : t g n g g
tôle : t u n u avec u
g u R F
g u R F
t n
H
t n
k t
t t t
n n n
n
. .
. .
) .(
) .(
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
+
=
+
=
−
=
−
= (V.29)
Si le frottement est "glissant" (Coulomb), on a :
F F R F
t n t d
n t
=µ ⇒ = µ
. .
où dt =
∑
∆i tu −∆i tg (V.30) En trois dimensions, un repère local ( , , )x y n est utilisé tel que, par exemple, l'axe
x reste parallèle au plan ( , )
X Z du repère global fixe. Si ∆Fx, ∆Fy, ∆Fn sont les efforts exercés par le nœud (k) sur l'élément "ressort", la formulation matricielle de cet élément est:
=
+
n y x
n t t
n n
y t
x t
n y x
u u u R R R g
R g R
g R F
F F
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
. . .
(V.31)
On a donc affaire à un "élément fini" dont, après changement de base, les coefficients de la matrice carrée sont assemblés avec ceux de la matrice globale de rigidité de la tôle tandis que les composantes d'efforts Rt.∆gx, Rt.∆gy et Rn.∆gn, après changement de base, sont ajoutées au second membre de l'équation
[ ]
K.{ } { }
∆ =U ∆F .Avec ∆n n.
, la distance entre k et H en début d'incrément, ∆
gH, l'incrément de déplacement imposé pour l'outil et ∆
uk, le déplacement du nœud k calculé (connu en fin d'incrément), un critère géométrique de contact est :
−∆n+∆un−∆gn >0 (V.32) Une condition mécanique de rupture de contact est : Fn ≤0 où Fn =
∑
∆i nF V.E.2. Projection dynamiqueIl y a plusieurs techniques de gestion de contact par projection dynamique et celle qui suit est developpée dans le code explicite de l’INSA afin de traiter le contact des éléments coques (mais alors le noeud est doté d’une épaisseur) et coques- solides avec des carreaux NURBS (Non Uniform Rational Basis-Splines) générés par tout progiciel de DAO (entité 128). Cette technique est utilisée ici avec les noeuds des éléments solides-coques dotés seulement d’une masse.
∆u1
∆g1 d1
d2
d3
∆
∆
∆
∆ g2
g3 u2
u3 d g u
d g u d
d g u d
d gi ui
i
1 1 1
2 2 2 1
3 3 3 2
3
1 3
= −
= − +
= − +
= −
∑
=∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
( )
Figure V-2 Contact sur trois itérations
La "pénétration - di" d'un noeud de la structure dans l'outil après le pas i (voir figure V-2) est connue grâce à l’expression :
( )
∑
−= i i
i g u
d ∆ ∆ (V.33)
Dans (V.33), ∆gi représente le déplacement de l’outil qu’on peut qualifier de déplacement de corps rigide et ∆ui est le déplacement du nœud i de la structure déformable (tôle).
Cette "pénétration" peut donc être directement utilisée pour calculer l'effort de contact, c'est-à-dire l'effort à appliquer au nœud pour le "ramener" sur la surface de l'outil au pas suivant (i+1).
Pour y parvenir, la relation (V.25) donnée précédemment est résolue en appliquant au nœud k de l’élément (de masse m) un effort de contact de la forme Fc = m.γ où l'accélération γ est calculée en fonction de la pénétration ‘di’ pour que, dans un intervalle de temps ∆t, le nœud se déplace de cette distance ‘d’ suivant la normale sortante à l'outil considéré [11].
Il y a en fait deux méthodes qui décrivent les efforts de contact dans cette projection dynamique. La première méthode nommée « méthode initiale » donne l’effort de contact Fc recherché (cet effort est noté Fn dans le paragraphe traitant ‘la pénalisation’) à partir de l’équation (V.25) où l’effet d’amortissement n’est pas pris en compte :
F F m
t d u u
c = +i − +t t− t
∆ 2( * ∆ ) (V.34)
Dans l’expression de la relation (V.34, on peut noter le déplacement Ut à l’instant t, le déplacement Ut-∆t à l’instant t+∆t, le déplacement d* à imposer pour ramener ce nœud sur la surface à l’instant t +∆t et l’effort interne Fi.
La deuxième méthode dite « méthode modifiée » - principalement utilisée pour le contact avec le serre flan - définit un nouvel effort de contact par la relation:
F m
t d u u
c t t t
* = ( *− + − )
∆ 2 ∆ (V.35)
En effet dans (V.34), la valeur de l'effort Fc tend, au cours du temps vers celle de Fi. La valeur de d*, très petite, n'est donc pas aisément exploitable numériquement ni pour le test géométrique de contact ni pour la gestion du déplacement du serre-flan.
Si on considère un mouvement uniformément accéléré de vitesse initiale v0 alors la pénétration est décrite par la relation d= 21.γ.∆t2 +v0.∆t à partir de laquelle on calcule l’accélération γ et donc l'effort Fc en l'absence d'amortissement. L'effort F nc*. n'est effectivement appliqué au nœud que si Fc*>0.
Si, au cours de la mise en forme, l'effort total exercé sur le serre-flan - par les nœuds en contact - dépasse l'effort de retenue (pression hydraulique, etc.) déclaré, les surfaces actives du serre-flan sont déplacées jusqu'à "égalité" de ces deux efforts.
Le calcul de cette nouvelle position du serre-flan est itératif mais le déplacement initial tient compte de la profondeur moyenne de pénétration des nœuds dans cet outil.
Lors de la simulation, si des frottements doivent être considérées alors pour tout nœud en contact avec un outil, l'effort au nœud a une composante normale de contact Fn =F nc*. et une autre tangentielle Ft.
Pour calculer cette force normale, il suffit de connaître la force de contact donnée par la « méthode modifiée » (V.35). Par contre le calcul de la force tangentielle nécessite de connaître au préalable la vitesse tangentielle Vt
au nœud par rapport à l’outil.
En fait, la vitesse du nœud par rapport à l'outil, à un instant t, est décomposée en vitesses normale et tangentielle :
V/outil = V nn. +Vt (V.36)
Si Vt >ε
alors l’effort tangentiel recherché est :
t t n
t V
F V
F
. µ.
−
= (V.37)
V.E.3. Gestion de contact lors d’un amincissement de l’épaisseur Dans la thèse de Sansalone [12], la gestion de contact avec amincissement dans le cas de coques-solides à 5 nœuds a été détaillée en séparant bien le rôle du nœud central assurant l’amincissement de celui des nœuds sommets servant au repositionnement du plan moyen. Ceci ne sera pas repris ici.