Introduction générale
III. A. Rappels sur les éléments de base
Ce sont des rappels assez succincts des éléments coque DKS16 [10] et coque-solide DKS18 afin de rendre claire la formulation de l’élément « brique » de type solide-coque SB9DK25 qui utilise des caractéristiques de ces éléments quadrangulaires en théorie de Kirchhoff. Il est à rappeler que l’élément SB9γ25 (chapitre I) a été formulé en utilisant les caractéristiques des éléments quadrangles en théorie de Mindlin.
L’élément coque-solide DKS18 [11] est, en fait, l’élément coque DKS16 qui a été modifié en ajoutant un nœud-milieu (numéroté ‘9’) doté de deux degrés de liberté locaux (une translation normale w9+ à la surface supérieure et l’autre w−9 à la surface inférieure de l’élément) dans le but d’utiliser une vraie loi de comportement 3D.
III.A.1. Elément coque quadrangulaire : DKS16
Comme l’élément triangulaire DKT12 (Voir Complément IV), l’élément DKS16 a des nœuds aux sommets et des nœuds aux milieux des côtés.
Cet élément DKS16 (voir aussi Complément V) est donc un quadrilatère à huit nœuds à bords droits. Les huit nœuds sont repartis en quatre nœuds sommets munis de trois translations chacun et quatre nœuds milieux de côtés dotés chacun d’un degré de liberté en rotation dans la direction du côté correspondant.
Un point courant de cet élément dispose de trois déplacements
(
u,v,w)
dans le repère local, les deux premiers sont dans le plan moyen de l’élément et le dernier est normal à ce plan.1
2
3 4
θs5
θ θ
θ
s6 s7
s8
U U U
U U U U
U U
U U
U X3
Y3 Z3
X2 Y2 Z2 X4
Z4 Y4
X1 Y1 Z1
6 7
5 8
X Y Z
x y z
n n
n
n 1
2
3 4
5
6 7
8 8
5
6 7
8
5
6 7
θ θ
θ
θ u
v w
1 1 1
u v w
2 2 2 u
v w
4 4 4
a - Degrés de liberté dans une configuration gauchie b - Degrés de liberté dans une configuration plane
Figure III-1 Elément quadrangle DKS16
Etant donné que cet élément est destiné à des calculs non linéaires, l’intégration réduite dans le plan (x, y) est préférée pour les effets de membrane et les effets de flexion.
Pour les effets de membrane, les déplacements dans le plan de l’élément sont interpolés par les fonctions bilinéaires classiques.
La formulation de la stabilisation de ces effets est extraite des nombreux travaux de Belytschko ([1], [2], [3], [4]) sur la stabilisation des modes à énergie nulle après une
intégration en un seul point dans le plan moyen de l’élément. Et ce, avec les maintenant bien connus vecteurs γ .
Pour les effets de flexion, les fonctions d’interpolation proposées par Long [6] sont utilisées pour exprimer les angles de rotations de corps rigides θr5,θr6,θr7,θr8 (voir Figure III-2) à partir des translations w1,w2,w3,w4 normales au plan (x, y) dont l’origine est au centre de l’élément.
La différence entre ces rotations de corps rigide et les degrés de liberté en rotation donne les angles de flexion θb5,θb6,θb7,θb8 utiles à l’établissement des courbures dans la direction des côtés ; courbure désignées par :κ5,κ6,κ7,κ8.
Les autres angles θ1r,θr2,θr3,θr4 (voir Figure III-2), nécessaires à la mise en place des angles de flexion restants pour avoir les courbures « internes » notées κ1,κ2,κ3,κ4, sont développés comme dans les éléments S3 [9] et S4 [5] issus de l’élément de Morley [7] en considérant deux premiers triangles séparés par la diagonale 1-3 dans le quadrangle et deux autres triangles séparés par la diagonale 2-4 dans ce quadrangle.
1
2
3 4
n n
1 1
3
3 L
L 1
3 5
6 7
8
θr θr w
w w
w 1
2 4 3
θ6r θ7r
θ8r
θ5r
1
2 4 3
n
n 2
2 4
4
L L4
2 4
2 L
L
L L
5
6 7
8
r r
θ θ
1
3
w
w w w
= -n
= L4 4
Figure III-2. Configuration plane de l’élément quadrilatéral DKS16
De plus, en superposant les déformations dans des directions normales aux diagonales 1-3 et 2-4 (voir Figure III-2), certains modes de flexion à énergie nulle seront supprimés.
L’énergie de déformations de cisaillement transversal est négligée du fait de la théorie de Kirchhoff même si celle-ci n’est vérifiée qu’en certains points, d‘où le terme « discret » Toutes les déformations calculées permettront d’évaluer les efforts internes qui se manifestent dans la structure, mais il faut alors tenir aussi compte du fait qu’une intégration réduite est toujours accompagnée des modes à énergie nulle qu’il faudra nécessairement stabiliser. Le Complément V décrit amplement la formulation de cet élément quadrangulaire de type coque et traite quelques exemples classiques pour sa validation. Dans la référence [10] se trouve plus d’exemples traités couvrant même des situations se rapprochant de la réalité industrielle.
Il importe de rappeler les déformations de flexion de cet élément puisque c’est cette flexion qui va être utilisée pour formuler l’élément « brique » dont on parle ici :
{ }
εbe =z⋅{ }
κ avec les courbures{ } [ ] { } [ ] { }
eb e b
U θ
κ = B .U + Bθ . dont les termes sont explicités dans le sous paragraphe V.C.5.3) du Complément V.
a- Rotations de corps rigide b- Longueurs utiles des côtés et diagonales
III.A.2. Elément coque quadrangulaire à 9 nœuds : DKS18
C’est un élément qui a dix huit (18) degrés de liberté ; aux seize (16) degrés de liberté du DKS16 sont ajoutées les deux (2) translations normales w et −9 w du nœud 9 situé au +9 centre de l’élément.
La prise en compte de ces degrés de liberté supplémentaires T
{ }
We = We = w9− w+9 dans l’expression des déformations de l’élément DKS16 permet d’écrire le champ de déformations du DKS18 comme suit :[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
{ } { }
{ } [ ] { } { } { }
⋅
=
⋅
+
⋅ ζ
⋅ ζ
⋅
=
ε ε ε ε ε ε
ζ
e e e ) ' , ( e
e e
p w p
w p
u W
Θ U B
W Θ U B
B B
B B
18 x 6
0 0 b
m
zz yz xz xy yy xx
z
2 2
2 (ΙΙΙ-1)
On note dans cette relation (III.1) que z=ζh/2 pour -1<ζ<1.
Naturellement, les matrices gradient de déformations
[ ]
Bpu ,[ ]
Bpw et[ ]
Bwp sont identiques à celles donnés par les relations (I-47) à (I-49) du premier chapitre.La matrice de raideur s’obtient ensuite par une intégration dans le volume, suivant la même procédure calculatoire et les précautions à prendre pour l’assemblage, comme celle de la relation (I.53) du premier chapitre. Par ailleurs, comme il n’est point question du cisaillement transversal dans la théorie de Kirchhoff, il ne peut être question ici de la fonction de Reissner et seulement trois points d’intégration de Lobatto, dans la direction de l’épaisseur, sont suffisants pour obtenir une matrice de raideur convenable en flexion dans le cas d’une élasticité pure.
[ ] [ ] [ ] [ ]
dv A h2[ ] [ ] [ ]
dz2 h
T V
T
e =
∫∫∫
B ⋅ D ⋅ B ⋅ = ⋅∫
− B ⋅ D ⋅ B ⋅K (III-2)
où A est l’aire de l’élément
Cette modification du DKS16 en DKS18 a rigidifié légèrement l’élément qui semblait un peu souple au départ. Cette conclusion est tirée après analyse et interprétation des résultats de plusieurs exemples linéaires et non linéaires donnés dans le deuxième chapitre de la thèse de Sansalone [11]. Par conséquent, il ne sera pas traité d’exemples ici pour la validation de cet élément formulé et validé dans [11] sauf pour un test de bottoming où cet élément prend tout son sens.
De cet élément, on retient l’idée d’ajout du nœud supplémentaire afin de postuler un déplacement quadratique pour formuler, au moment venu, la « brique » de type solide coque à 9 nœuds SB9DK25