III.4 Extraction en présence de bruit
III.4.3 Application des trois méthodes sur une réponse bruitée
Dans la partie précédente, nous avons montré la robustesse des trois méthodes d’extraction en présence de bruit. Pour cela, nous avons utilisé la procédure d’extraction définie sans bruit sur les réponses bruitées pour différents SNR. Puis les pôles ont été sélectionnés en fonction de leur côté physique, c’est-à-dire s’ils étaient proches des pôles définis pour cet exemple.
Seulement, en pratique, les pôles physiques ne sont pas connus à l’avance et il est donc nécessaire de pouvoir déterminer si un pôle est physique lorsqu’il est extrait à partir d’une réponse bruitée.
Nous choisissons d’appliquer les trois méthodes d’extraction sur la réponse temporelle théorique bruitée avec un RSB de 20 dB et sur sa FFT pour la méthode de Cauchy. La réponse bruitée est présentée dans les domaines temporel et fréquentiel sur la figure III.4.8.
0 1 2 3 4 5
−100
−80
−60
−40
−20 0 20 40
Temps (ns)
Amplitude
(a) Réponse temporelle bruitée
0 5 10 15
−10
−5 0 5 10
Fréquence (GHz)
Amplitude
Module Partie Réelle Partie Imaginaire
(b) Réponse fréquentielle bruitée
Figure III.4.8: Réponse didactique bruitée avec un SNR de 20 dB
III.4.3.1 La méthode de Prony
La méthode de Prony est dans un premier temps appliquée sur une fenêtre glissante de 120 échantillons soit une durée de 1.2 ns. Les résultats sont présentés pourM = 12 etM = 50 sur les figures III.4.9 et III.4.10.
Ces résultats permettent de distinguer quelques fréquences de résonance reliées à des pôles physiques (autour de 2, 5 et 7 GHz) mais leurs coefficients d’amortissement ne sont pas extraits correctement. Nous proposons d’appliquer la méthode de Prony sur une fenêtre qui commence toujours au tempst= 0 mais dont la fin et donc la taille varie. Nous appellerons cette approche la fenêtre croissante et les résultats sont présentés pour M = 12 et M = 50 sur les figures
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0
2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (ns)
(a) Fréquences de résonance
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (ns)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.9: La méthode de Prony sur une fenêtre glissante, M = 12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (ns)
(a) Fréquences de résonance
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (ns)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.10: La méthode de Prony sur une fenêtre glissante, M = 50
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Fin de la fenêtre (ns)
(a) Fréquences de résonance
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Fin de la fenêtre (ns)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.11: Application de la méthode de Prony sur une fenêtre croissante,M = 12
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0
2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Fin de la fenêtre (ns)
(a) Fréquences de résonance
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Fin de la fenêtre (ns)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.12: Application de la méthode de Prony sur une fenêtre croissante,M = 50 Avec cette nouvelle approche fondée sur une fenêtre croissante, il est possible d’extraire de façon stable des pôles de résonance en termes de fréquence de résonance et de coefficient d’amortissement.
III.4.3.2 La méthode Matrix Pencil
Nous appliquons la méthode MP sur une fenêtre glissante de 120 échantillons soit une durée de 1.2 ns et les résultats sont présentés sur les figures III.4.13 et III.4.14 pour M = 12 et M = 50.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (ns)
(a) Fréquences de résonance
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (ns)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.13: Application de MP sur une fenêtre glissante, M = 12
Comme précédemment, l’application sur une fenêtre glissante ne permet pas d’extraire de façon stable les coefficients d’amortissements. Nous appliquons donc MP sur une fenêtre crois- sante avecM = 12 etM = 50. Les résultats sont présentés sur les figures III.4.15 et III.4.16.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0
2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (ns)
(a) Fréquences de résonance
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (ns)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.14: Application de MP sur une fenêtre glissante, M = 50
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Fin de la fenêtre (ns)
(a) Fréquences de résonance
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Fin de la fenêtre (ns)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.15: Application de MP sur une fenêtre croissante, M = 12
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Fin de la fenêtre (ns)
(a) Fréquences de résonance
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Fin de la fenêtre (ns)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.16: Application de MP sur une fenêtre croissante, M = 50
Avec M = 12, les résultats sont facilement lisibles et trois paires de pôles se distinguent.
Augmenter la valeur deM permet de déterminer d’autres fréquences de résonance stables mais leurs coefficients d’amortissement associés varient trop fortement. Les résultats sur une fenêtre croissante sont donc pertinents comparés aux résultats de la fenêtre glissante. Cela améliore notamment la stabilité des coefficients d’amortissement.
III.4.3.3 La méthode de Cauchy
L’application directe de la méthode ne permettant pas l’obtention des pôles de résonance de départ, nous appliquons directement la méthode de Cauchy sur des fenêtres glissantes de 300 et 150 échantillons. Les résultats sont présentés sur les figures III.4.17 et III.4.18
0 1 2 3 4 5
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (GHz)
(a) Fréquences de résonance
0 1 2 3 4 5
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (GHz)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.17: Application de la méthode de Cauchy sur une fenêtre glissante de 300 échantillons,P = 8
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (GHz)
(a) Fréquences de résonance
0 2 4 6 8 10
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (GHz)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.4.18: Application de la méthode de Cauchy sur une fenêtre glissante de 150
Grâce à cette approche, il est possible de distinguer quelques pôles stables avec la méthode de Cauchy, notamment les pôles autour de 2, 5 et 11 GHz.