III.3 Extraction en milieu non bruité
III.3.3 La méthode de Cauchy
III.3.3.4 La fenêtre glissante
L’application de la méthode de Cauchy sur plusieurs sous-bandes permet d’améliorer l’ex- traction des pôles de résonance. Cependant, il n’existe pas de règle permettant de définir précisément ces sous-bandes. De plus, dans un cas concret où les pôles ne sont pas connus à l’avance, il sera difficile de déterminer si le pôle extrait est physique ou non s’il n’est extrait que dans une certaine bande de fréquence et pour une valeur de P particulière. Nous propo- sons donc d’appliquer l’algorithme de Cauchy sur une fenêtre glissante. Contrairement à son utilisation sur une réponse temporelle, il ne sera pas possible d’extraire l’ensemble des pôles de résonance dans chaque fenêtre mais il est intéressant de regarder la stabilité des pôles autour de leurs fréquences de résonance. A notre connaissance, la méthode de Cauchy n’a jamais été appliquée de cette manière. Les deux premières fenêtres glissantes utilisées sont présentées sur la figure III.3.18. Le décalage est de 5 échantillons soit 0.15 GHz et l’ordre du modèle P est égal à 8. Les résultats sont présentés sur les figures III.3.19 et III.3.20.
0 5 10 15
−10
−5 0 5 10
Fréquence (GHz)
Champ électrique (V/m)
(a) Fenêtre de 300 échantillons soit 9 GHz
0 5 10 15
−10
−5 0 5 10
Fréquence (GHz)
Champ électrique (V/m)
(b) Fenêtre de 150 échantillons soit 4.5 GHz
Figure III.3.18: Tailles des fenêtres considérées
0 1 2 3 4 5 6
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (GHz)
(a) Fréquences de résonance
0 1 2 3 4 5 6
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (GHz)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.3.19: La méthode de Cauchy sur une fenêtre glissante de 9 GHz
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (GHz)
(a) Fréquences de résonance
0 2 4 6 8 10
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (GHz)
(b) Coefficients d’amortissement
Avec la fenêtre de 9 GHz, la paire de pôles numéro 1 est correctement extraite tant que la fenêtre utilisée contient la fréquence de résonance de ce pôle. Une paire de pôles est extraite vers 5 GHz et est liée à un coefficient d’amortissement compris entre−3.109et−4.109Neper/s, il s’agit donc du pôle 3 avec une erreur sur le coefficient d’amortissement. Cette erreur est due à la présence d’une autre paire de pôles à la même fréquence de résonance (le pôle 4) qui perturbe l’extraction et décale le coefficient d’amortissement. Une troisième paire de pôles est extraite vers 7 GHz. Son coefficient d’amortissement varie légèrement entre−4.109 et−5.109 Neper/s.
Il s’agit donc du pôle 5 avec le coefficient d’amortissement un peu plus faible à cause de la présence du pôle 6 qui a presque la même fréquence de résonance. Enfin, une quatrième paire de pôle est extraite. Sa fréquence de résonance est stable autour de 10.2 GHz et son coefficient d’amortissement l’est également pour des fenêtres commençants entre 1.5 et 3.5 GHz. Il s’agit donc du pôle 9.
En utilisant la fenêtre de 4.5 GHz, deux paires de pôles supplémentaires peuvent être dis- tinguées. Une première dont la fréquence de résonance est comprise entre 3.6 et 4 GHz et le coefficient d’amortissement est d’environ −17.109 Neper/s. Il s’agit donc de la paire de pôles 2 extraite avec une erreur. La deuxième est la paire de pôles 8. A partir de la fenêtre com- mençant à 8 GHz, la fréquence de résonance est assez stable atour de 9 GHz et le coefficient d’amortissement varie autour de−7.109 Neper/s.
Afin d’affiner ces premiers résultats, nous appliquons la méthode de Cauchy sur deux autres fenêtres glissantes de 75 et 30 échantillons, soit 2.25 et 0.9 GHz, présentées sur la figure III.3.21.
Les résultats sont présentés sur les figures III.3.22 et III.3.23. Avec la fenêtre de 75 échantillons, les six paires de pôles extraites avec la fenêtre de 150 échantillons le sont également mais la précision sur celles-ci est plus grande, notamment sur la paire de pôle 2. La précision s’amé- liore encore lorsque l’on utilise la fenêtre de 30 échantillons. Dans ce cas, les six paires de pôles peuvent être extraites avec une bonne précision sur la fréquence de résonance et la coef- ficient d’amortissement. Ces résultats valident également la possibilité de travailler en bandes fréquentielles étroites autour de la fréquence des pôles de résonance.
0 5 10 15
−10
−5 0 5 10
Fréquence (GHz)
Champ électrique (V/m)
(a) Fenêtre de 75 échantillons soit 2.25 GHz
0 5 10 15
−10
−5 0 5 10
Fréquence (GHz)
Champ électrique (V/m)
(b) Fenêtre de 30 échantillons soit 0.9 GHz
Figure III.3.21: Tailles des fenêtres glissantes considérées
En conclusion, la méthode de Cauchy ne permet pas d’extraire l’ensemble des pôles de résonance de cet exemple, contrairement aux deux autres méthodes. Cependant, les pôles do-
minants sont tout de même extraits et permettent de modéliser avec précision la réponse considérée. Deux démarches ont été proposées pour améliorer la méthode de Cauchy. La pre- mière consiste à diviser la réponse fréquentielle en sous-bandes et de regarder la stabilité des pôles en fonction deP. La deuxième démarche consiste quant à elle à utiliser une fenêtre glis- sante. Dans ce cas,P est fixe et nous regardons la stabilité des pôles en fonction de la bande de fréquence. C’est cette deuxième approche qui semble la plus pertinente et permet de plus facilement distinguer les pôles physiques.
0 2 4 6 8 10 12
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (GHz)
(a) Fréquences de résonance
0 2 4 6 8 10 12
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (GHz)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.3.22: La méthode de Cauchy sur une fenêtre glissante de 0.9 GHz
0 2 4 6 8 10 12
0 2 4 6 8 10 12
Fréquence de résonance (GHz)
Début de la fenêtre (GHz)
(a) Fréquences de résonance
0 2 4 6 8 10 12
−30
−25
−20
−15
−10
−5 0
Coefficient d’amortissement
Début de la fenêtre (GHz)
(b) Coefficients d’amortissement
Figure III.3.23: La méthode de Cauchy sur une fenêtre glissante de 0.3 GHz