4.2 Application au comportement d’une pˆate de ciment
4.2.3 Caract´eristiques m´ecaniques des phases
Les valeurs des modules ´elastiques intrins`eques des diff´erents constituants solides de la pˆate de ciment sont issus de travaux exp´erimentaux [Bernard et al., 2003]. Les
Figure 4.3 — Maillages des Volume El´ementaire Repr´esentatif des pˆates de ci- ment de rapport E/C = 0.3,E/C = 0.4 et E/C = 0.5 avec les distributions granu-
lom´etriques des particules de ciment donn´ees auTableau 4.3.
plages de grandeurs pour ces modules sont donn´ees au Tableau 4.4. En pratique, on retiendra la valeur moyenne des plages comme valeur du module d’Young de chaque constituant o`u l’on distingue deux types de CSH, CSHa et CSHb, r´ev´el´es par les travaux de Constantinides et Ulm [Constantinides and Ulm, 2003].
Les fractions volumiques des constituants sont donn´ees au Tableau 4.5 pour diff´erentes pˆates de ciment `a des degr´es d’hydratation distincts. Ces fractions sont estim´ees `a partir du volume total d’hydrates (4.12a) et de la relation suivante [Powers, 1958] :
VCSH
VCH = 1.66 0.63
ainsi que de la formule (4.12) pour les produits non hydrat´es. Il est par contre difficile
Constituants Module d’Young (GP a) Coefficient de Poisson Hydrat´es
CSHa entre 18 et 24 0.24
CSHb entre 27 et 35 0.24
CH entre 33 et 48 0.305−0.325
Non hydrat´es
C3S entre 128 et 152 0.3
C2S entre 110 et 150 0.3
C3A entre 135 et 170 C4AF entre 100 et 150
Tableau 4.4 — Propri´et´es ´elastiques intrins`eques des constituants de la pˆate de ciment [Bernard et al., 2003].
d’acc´eder aux fractions volumiques de chacun des constituants hydrat´es, comme par- ailleurs `a la taille des particules de chaque constituant.
E/C 0.3 0.4 0.5
αhyd 0.732 0.93 1 Vhyd (%) 80.3 87.8 82.9 VCSH (%) 58.2 63.7 60.1 VCH (%) 22.1 24.1 22.8 Vnonhyd (%) 13.8 3.1 0
Tableau 4.5 —Volumes partiels des constituants pour diff´erentes pˆates de ciment.
En cons´equence, l’approche auto-coh´erent est utilis´ee pour, d’une part calculer le comportement homog´en´eis´e des constituants non hydrat´es, et d’autre part le compor- tement homog´en´eis´e des constituants hydrat´es en consid´erant les deux phases CSH et CH avec leur volume respectif VCSH et VCH et en utilisant la formule rappel´ee au chapitre 2. Puis, `a nouveau le comportement de l’ensemble des constituants hydrat´es et non hydrat´es est homog´en´eis´e par le mod`ele auto-coh´erent. On obtient ainsi le com- portement ´equivalent pour les particules de ciment donn´e au Tableau 4.6.
E/C 0.3 0.4 0.5
αhyd 0.732 0.93 0.96
φ [%] 6 9 17
E [M P a] 32029 27625 26520 ν 0.25 0.2548 0.2565
Tableau 4.6 —Modules ´elastiques des constituants pour diff´erentes pˆates de ciment.
Toutes les particules de ciment seront donc affect´ees dans le calcul num´erique de ce comportement homog´en´eis´e et leur taille sera g´en´er´ee `a partir du Tableau 4.3.
Dans cette d´emarche, les particules ultra-fines n’ont pas ´et´e prises en compte, en partie `a cause du manque de connaissances sur leur comportement. On choisit de dire
que l’action de l’eau est pr´edominante dans le r´eseau poreux en comparaison avec celle des particules ultra-fines. Nous introduisons alors dans les calculs une pression uniforme dans les pores. Cette pression est calcul´ee `a partir de la loi de Laplace par la formule [Dullien, 1979] :
p−p0 = R.T vw
.ln(Rh) (4.17)
o`uRd´esigne la constante des gaz parfaits (R= 8.314 J.K−1.mol−1),T la temp´erature absolue mesur´ee en Kelvin pris dans les calculs suivants ´egale `a 293.15◦K, vw le volume molaire sp´ecifique de l’eau pris ici ´egal `a 1.8 10−5 m3.mol−1, p0 la pression de r´ef´erence qui est la pression atmosph´erique (0.1M P a) et o`u Rh d´esigne l’humidit´e relative prise ici ´egale `a la valeur arbitraire de 95%. Pour ce calcul, on obtient la pression de pore impos´ee de 7 M P a.
Il nous reste maintenant `a pr´eciser les valeurs des coefficients de dilatation thermique des diff´erentes phases du volume repr´esentatif, l’eau, les particules hydrat´ees et non hydrat´ees. Soient :
– le coefficient de dilatation thermique de l’eau `a l’air libre vaut 70 10−6 ◦C−1, mais dans un milieu confin´e tel que les pores, sa valeur est estim´ee par Valenza et Scherer [Valenza and Scherer, 2005] `a environ αeau = 150 10−6 ◦C−1,
– en consid´erant une pˆate compl`etement hydrat´ee, Valenza et Scherer [Valenza and Scherer, 2005] ont mesur´e pour le squelette solide constitu´e des particules hydrat´ees (CSH + CH) un coefficient de dilatation thermique de αh = 10 10−6 ◦C−1,
Par commodit´e les particulesCSH etCH sont suppos´ees avoir le mˆeme coefficient. On ne dispose pas de donn´ees exp´erimentales concernant le coefficient de dilatation ther- mique des particules non hydrat´ees. Par contre des mesures exp´erimentales de la dilata- tion thermique des pˆates de ciment donnent des valeurs comprises entre 5.5 10−6 ◦C−1 et 12 10−6 ◦C−1. C’est pourquoi nous avons choisi d’identifier par approche inverse la dilatation thermique des particules de clinker non hydrat´ees.
Ainsi, pour une pˆate de ciment de coefficient de dilatation thermique α = 5.79 10−6 ◦C−1 pour un rapport E/C = 0.3, on identifie num´eriquement par approche inverse le squelette solide de la pˆate `a la valeur αs = 6 10−6 ◦C−1, et pour un rap- port E/C = 0.4 αs = 9 10−6 ◦C−1. Ensuite, en appliquant le sch´ema auto-coh´erent, par approche inverse, le coefficient de l’ensemble des clinkers non-hydrat´es peut ˆetre identifi´e connaissant celui des hydrates (10 10−6 ◦C−1). L`a encore, l’hypoth`ese est faite que toutes les particules non hydrat´ees du clinker ont le mˆeme coefficient de dilatation thermique. On montre alors que le coefficient de dilatation thermique des particules non hydrat´ees peut ˆetre choisi ´egal `a 0. Ce r´esultat peut ˆetre valid´e en supposant que seule l’eau contenue est responsable des variations de volume du squelette solide et que les clinkers non hydrat´es ne contiennent pas d’eau.
Dans les calculs qui suivent, seuls les coefficients de dilatation thermique des particules hydrat´ees et de l’eau contenue dans les pores seront pris en compte.