3.1 G´ en´ eralit´ es sur le code Symphonie
Le code ´el´ement finis Symphonie poss`ede une large biblioth`eque d’´el´ements uni, bi et tridimensionnels pour la r´esolution des probl`emes de m´ecanique statique et dy- namique, de thermique stationnaire et transitoire et de probl`emes coupl´es thermo- hygro-m´ecanique pour des milieux satur´es ou non satur´es [Obeid, 1998]. Les probl`emes trait´es peuvent ˆetre lin´eaire et non lin´eaire. Le code de calcul Symphonie poss`ede une large gamme de solveurs optimis´es pour la r´esolution des grands syst`emes sym´etriques et non sym´etriques : solveur direct Bande avec algorithme d’optimisa- tion de la num´erotation, solveur direct avec stockage des matrice creuses (”Sparse matrix”) ainsi que des solveurs sparses it´eratifs bas´es sur la m´ethode du gradient conjugu´e pour la r´esolution des tr`es grands syst`emes. Enfin des outils de pr´e et post processeur graphique Visual-Sym permettent une visualisation performante des r´esultats. On trouvera une description d´etaill´ee des fonctionnalit´es de Symphonie dans [Mounajed, 1991]. Nous nous int´eressons ici sp´ecifiquement `a deux modules de ce code, d´edi´e aux mat´eriaux cimentaires le mod`ele B´eton Num´erique [Mounajed, 2001], [Mounajed, 2002], puis le mod`ele d’endommagement MODEV [Mounajed et al., 2003], [Ung Quoc, 2003], [Ung Quoc and Mounajed, 2005].
Figure 3.1 —Composition Multi-phasique du B´eton Num´erique.
Les fractions volumiques de ces diff´erentes phases et leurs tailles peuvent ˆetre choi- sies par l’utilisateur en s’appuyant sur la granulom´etrie r´eelle du b´eton ´etudi´e.
3.2.2 Approche ´ el´ ements finis et algorithme propos´ e
Un algorithme sp´ecifique a ´et´e d´evelopp´e pour permettre de g´en´erer ce VER en effectuant une distribution spatiale et al´eatoire des phases ´el´ementaires sur un maillage r´egulier sous forme de grille. La m´ethode propos´ee consiste `a affecter dans un premier temps les caract´eristiques du squelette de base qui repr´esente la pˆate de ciment `a tous les ´el´ements du maillage. Puis les diff´erentes phases vont ˆetre positionn´ees progressive- ment sur la grille par un algorithme sp´ecifique en respectant les volume unitaires des diff´erentes phases et leur pourcentage. L’algorithme de g´en´eration permet de prendre en compte les aspects suivants :
1. aspect al´eatoire de la distribution des phases : deux g´en´erations successives du VER conduisent `a des distributions diff´erentes des phases,
2. aspect multi-phasique avec la prise en compte de mani`ere simultan´ee de plusieurs phases de tailles et de natures diff´erentes simulant les pores, les grains de sable et les granulats, . . .
L’introduction des phases se fait en pratique elon les ´etapes suivantes :
Dans un premier temps, le nombre d’inclusions de typei est calcul´e relativement `a son volume unitaire V Ui dans le VER par les relations :
en 3D V Ui = 4 3π
µDi
2
¶3
(3.1a) en 2D V Ui = π
µDi
2
¶2
(3.1b) o`uDi repr´esente le diam`etre de l’inclusion de type i. Le nombre d’inclusions de type i est alors donn´e par :
Ni = V T E V Ui
(3.2)
o`u V T E d´esigne le volume total des ´el´ements Vi du VER avec V T E =PN elements
i Vi.
La seconde ´etape consiste `a positionner les inclusions sur la grille du VER. Un centre de gravit´e est affect´e de fa¸con al´eatoire `a chaque inclusion. Un test de validit´e est effectu´e afin de v´erifier que le centre de gravit´e choisi se trouve effectivement dans le domaine du VER du B´eton Num´erique. Ce test est en particulier n´ecessaire par le fait que le module permet de g´en´erer des assemblages de domaines, dont certains peuvent ˆetre homog`enes et d’autres h´et´erog`enes au sens du b´eton num´erique. Dans le mˆeme temps, afin de s’assurer qu’il n’y a pas inter-p´en´etrabilit´e entre les inclusions, un test est effectu´e sur la position de ces inclusions. Ce test consiste `a v´erifier si la distance entre la position du centre de gravit´e d’une nouvelle inclusion et celle d’une inclusion d´ej`a valid´ee est sup´erieure `a une distance dmin, d´efinie comme ´etant la moyenne entre les deux rayons des inclusions : dmin = (Ri1+Ri2)/2. L’algorithme est donc optimis´e en testant selon un crit`ere multiple la validit´e des positions al´eatoires des granulats candidats et en ´evitant l’interp´en´etration des phases tout en garantissant le pourcentage des phases selon la granulom´etrie r´eelle.
Enfin, dans une troisi`eme ´etape, les ´el´ements de la grille sont affect´es des propri´et´es mat´eriaux de la phase qu’ils repr´esentent. Pour cela, un test est effectu´e pour v´erifier si le centre d’un ´el´ement se trouve dans la zone d’influence d’une inclusion, c’est-`a-dire si la distance entre le centre de gravit´e de l’´el´ement et le centre de l’inclusion est inf´erieure au rayon de cette mˆeme inclusion. Si c’est le cas, les caract´eristiques m´ecaniques de l’inclusion sont affect´ees `a l’´el´ement. Des exemples de maillage du Volume El´ementaire Repr´esentatif sont pr´esent´es `a la´ Figure 3.2 en bidimensionnel et tridi- mensionnel. A la fin de la g´en´eration des inclusions, les caract´eristiques de la matrice, initialement affect´ees `a tous les ´el´ements, ne concernent donc plus que le squelette seul.
Cet algorithme peut ˆetre ´egalement utilis´e pour g´en´erer num´eriquement une pˆate de ciment. Dans ce cas, la grille initiale repr´esente le r´eseau capillaire de la pˆate contenant des particules ultra-fines de ciment suppos´e homog`ene. Puis les particules solides de ciment, de tailles comprises entre 4 et 73 µm, sont g´en´er´ees sur cette grille selon le principe d´ecrit pr´ec´edemment.
Ce mod`ele B´eton Num´erique a ´et´e coupl´e dans ce travail `a une approche d’ho- mog´en´eisation. Il permet de caract´eriser le comportement thermo-hygro-m´ecanique
´equivalent des mat´eriaux cimentaires et d’analyser les champs locaux de d´eformations et contraintes qui r`egnent au sein de la microstructure. Le couplage du B´eton Num´erique a ´et´e ´egalement fait dans cette ´etude avec un mod`ele d’endommagement du b´eton d´evelopp´e initialement pour des ´etudes `a l’´echelle macroscopique et implant´e dans le code Symphonie.
Figure 3.2 —Maillage en 2D (gauche) et en 3D (droite) d’un Volume ´El´ementaire Repr´esentatif de b´eton par le mod`ele B´eton Num´erique.