Chapitre 1 Introduction
7.2 Mesures de masse volumique via les variations d’indices de réfraction
7.2.8 Conservation du flux de masse
Pour un jet à densité variable stationnaire, la conservation du flux de masse consiste à vérifier que la quantité de gaz pur injectée à l’orifice au cours d’une durée élémentaire dt se retrouve à traverser toute section S(x) du jet de façon identique.
Dans ce qui suit, la température et la pression sont considérées invariables dans le jet. Ainsi, la conservation du flux de masse dans le jet se traduit par :
2π Z Dj2
0
ρgUjrdr = 2π
Z rmax(x) 0
ρgχ(x, r)U(x, r)rdr=cte (7.6) oùrmax(x)est le rayon maximal du jet à une abscisse x. À partir de la relation3.15, la relation 7.6 prend la forme plus classique de la conservation de la concentration explicitée par El-Amin & Kanayama(2009) telle que :
2π
Z rmax(x) 0
ρ(x, r)C(x, r)U(x, r)rdr =cte (7.7) Une méthode détaillée de l’obtention de la conservation du flux de masse est explicitée à l’annexe D. La modélisation intégrale précédente fait perdre le détail des profils radiaux de vitesse et de fraction molaire, qui sont de forme gaussienne au-delà de l’abscisse de similitude. Ainsi, pour des raisons de simplicité de calcul, l’approximation unidimentionnelle est utilisée : l’écoulement est supposé stationnaire et sans apport d’hélium depuis l’extérieur du jet, et la surface S(x) à une abscisse x est connue. Dans JetBOSsoft, cette surface est définie par la relation 7.3 pour rLSI(x) = 0 et rLII(x) =rmax(x), en fixant les valeurs χLSI = 100% et χLII = 1%.
La valeur 1% à la place de 0% permet de s’affranchir d’éventuelles erreurs d’inté- gration dues au bruit de fond.
L’approximation unidimentionnelle nécessite de faire une hypothèse sur la forme des profils radiaux de vitesse et de fraction molaire. Ainsi, des profils uniformes ou
7.2 Mesures de masse volumique via les variations d’indices de réfraction
"plats" seront utilisés : cette approche est très fréquemment adoptée dans le cadre de développements théoriques :Michaux(2007) en a fait usage dans sa thèse sous le terme de "top-hat". La shématisation de l’écoulement ainsi simplifié est représenté sur la figure7.7.
Zone de transition :
le taux de mélange augmente progressivement
Zone pleinement développée : profils radiaux en similitude, le taux de mélange est constant
Uj
Similitude
Limite supérieure du champ
χj χ(x) U(x)
S(x) χ(x) U(x)
Dj
Profil gaussien Profil plat moyen
Limite inférieure du champ
Figure 7.7 – Représentation schématique de la conservation du flux de masse
Comme le présente la figure 7.7, les profils moyens de vitesse et de masse volu- mique d’hélium sont assimilés à des profils plats représentatifs de la vitesse et de fraction molaire moyennes, tels que :
U[(x) = 2πRrmax(x)
0 U(x, r)rdr
S(x) et χ(x) =d 2πRrmax(x)
0 χ(x, r)rdr
S(x) (7.8)
Ainsi, à partir de l’équation (7.6) et en considérant l’écoulement unidimentionnel, le flux de masse d’hélium à travers toute section de contrôle S(x) se conserve si :
ρgχ(x)d [
U(x)S(x) = cte (7.9)
L’équation ci-dessus montre qu’il est nécessaire de connaître la vitesse axiale moyenne du jet pour vérifier la conservation du flux de masse d’hélium. Or un champ BOS ne contient pas d’informations sur les vitesses dans le jet. Il s’agit donc de proposer une analyse pour vérifier la conservation du flux de masse sans que la
vitesse ne rentre en compte. À l’orifice, la vitesse moyenne s’exprime par : Ub(x= 0) = Uj
πD2j 2π Z Dj2
0
rdr =Uj (7.10)
Au-delà de x > xsim, les profils de vitesse et de concentration sont en similitude et adoptent un profil gaussien de demi-largeurs respectivesLU etLC. Par définition, l’intervalle de confiance d’une gaussienne est de 99,7% pour r ≤ 3L. Le rayon du jet à une abscisse xpeut alors être approximé par r(x)≈3L, et la surface associée par S(x)≈9πL2. La relation 3.37 indique que les surfaces à une abscisse x ne sont pas les mêmes pour les vitesses et pour les concentrations : le volume de contrôle précédemment choisi est tel que S(x) = SC(x) ≈ 9πL2C, et la surface relative aux vitesses est SU(x)≈9πL2U = 9πSctL2C < SC(x). La vitesse moyenne s’exprime alors en fonction de la relation3.40 par :
U[(x)x>xsim = Uc(x) 9πLC(x)2 2π
Z ∞
0
e−Sct
r
LU
2
rdr (7.11)
soit à partir de la relation 3.37 :
U[(x)x>xsim = Uc(x) 9πLC(x)2 2π
Z ∞
0
e−
r
LC
2
rdr (7.12)
or : Z ∞
0
e−
r
LC
2
rdr =−L2C 2
Z ∞
0 −2r L2Ce−
r
LC
2
dr=−L2C 2
e−
r
LC
2∞
0
= L2C
2 (7.13) d’où, pour x > xsim :
U(x) =[ Uc(x)
9 (7.14)
En utilisant un raisonnement analogue pour la concentration d’hélium dans le jet, il vient :
C(x)[x>xsim = Cc(x) 9πLC(x)2 2π
Z ∞
0
e−Sct
r
LC
2
rdr = Cc(x) 9Sct
(7.15) À partir des relations 7.14 et 7.15, la vitesse moyenne s’exprime en fonction de la concentration moyenne pour x > xsim, par :
U(x) =[ [
C(x)Uc(x)Sct
Cc(x) (7.16)
7.2 Mesures de masse volumique via les variations d’indices de réfraction
À partir des lois de similitude classiques de Thring & Newby (1952) exprimées loin de l’orifice (x≫xc etx≫xu), le rapport de la vitesse axiale par la concentra- tion axiale s’esxprime comme :
Uc(x) Cc(x) = Kc
Ku
Uj
Cj
(7.17) Finalement, les relations 7.16 et 7.17 permettent de réécrire la conservation du flux de masse énoncée par la relation 7.9 telle que :
ρgχ(x)d [ C(x)KcUj
KuCj
SctS(x) = cte (7.18) Soit, en ne considérant que les variables :
χ(x)d [
C(x)S(x) = cte (7.19)
Ainsi, vérifier la conservation du flux de masse d’hélium revient à vérifier la relation7.19, pour x > xsim.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 10−8
Similitude
x/Dj
CSχ
Figure 7.8 – Vérification de la conservation du flux de masse d’hélium à l’aide de la loi 7.19, pour un jet subsonique d’hélium de dia- mètreDj = 2 mm
La figure 7.8 montre, grâce à la relation 7.19, que le flux de masse est conservé à partir de x ≈ 20Dj, pour un jet d’hélium subsonique de Dj = 2 mm. Cette abscisse de similitude ne correspond pas à celle trouvée parDjeridane (1994), mais elle correspond à celle trouvée par Amielh et al. (1996). La relation 7.6 permet également d’exprimer Ku en fonction de Kc. Ainsi, en partant des conditions à l’orifice, il vient :
Uj
Uc
= Sct
Cc
soit Ku =SctKc (7.20)
Cette dernière relation traduit l’évolution de Sct vers la similitude en fonction de l’abscisse, également évoquée par la relation 3.37. Les résultats obtenus pour différentes valeurs de Kc et Ku sont en accord avec les valeurs trouvées dans la littérature.