Positions et diamètres du disque de Mach

La comparaison de la figure 10.3 pourP0 = 4 et6 bars et de la figure 10.4 pour P₀ = 15 bars indique que la position et le diamètre du disque de Mach augmentent avec la pression du réservoir. La plupart des auteurs expriment la position du disque de Mach en fonction du rapport de la pression du réservoir par la pression extérieure sous la forme ^x_D^M

j =CxM

qP0

Pa (section 4.4.1.1), avec CxM une constante qui varie de 0,64 à 0,8 suivant les auteurs. La figure10.5présente les positions du disque de Mach

obtenues par SP et parBOS en fonction de la racine carrée du rapport des pressions : les résultats sont d’abord comparés aux données expérimentales et numériques de la littérature 1 , puis aux lois d’évolution 2 présentées à la section 4.4.1.1.

Lois

xM/Dj

0 2 4 6 8 10

(P0/Pa)^0,5

2 4 6 8 10 12

AirMesures BOS Ashkenas (1966) Young (1975) Addy (1981) Katanoda (2000) xM/Dj=(Pj/Pa)^0,5

Hélium Mesures BOS Ashkenas (1966) Young (1975) Addy (1981) Katanoda (2000) xM/Dj=(Pj/Pa)^0,5 Pj/Pa≈2,1

Mesures

xM/Dj

0 2 4 6 8 10

(P0/Pa)^0,5

2 4 6 8 10 12

1 2

Hélium Mesures BOS Wilkes (2006) AirMesures BOS

Love (1959) Addy (1981) Ewan (1986) Lehnash (2005)

Figure 10.5 – Évolution de la position du disque de Mach en fonction de la pression du réservoir. Les essais sont référencés à l’annexe E.8

À partir des gradients de densité axiaux, l’abscisse du disque de Mach est déter- minée par la moyenne entre les distances minimale et maximale mesurées. Ainsi les résultats tiennent compte des incertitudes suivantes :

1. facteur de grossissement du dispositif (section 7.2) 2. positionnement de l’orifice sur le champ d’acquisition

3. épaisseur apparente du disque de Mach qui est liée à la moyenne des mesures (écoulement stationnaire en moyenne)

De ce fait les incertitudes de mesure augmentent avec l’éloignement de la caméra et avec l’augmentation de la pression : les oscillations du disque de Mach autour de sa position moyenne sont plus importantes (Jerónimo et al. (2002)), ce qui le fait apparaître plus épais sur le champ moyen. Ce phénomène est amplifié lorsque la

10.1 Structure des jets supersoniques

caméra est focalisée sur la région proche de l’orifice.

Les résultatBOS pour les jets d’hélium sont en très bon accord avec les résultats expérimentaux de Wilkes et al. (2006) et suivent très bien la relation de Ashkenas

& Sherman(1966). Le rapport des chaleurs spécifiques γ du gaz joue un rôle dans la détermination de la position du disque de Mach, mais les résultats vont à l’encontre des résultats analytiques deYoung(1975) ou Katanodaet al.(2000) : à pressionsP0

identiques le disque de Mach du jet d’air est plus éloigné que celui du jet d’hélium.

La position du disque de Mach dépend à la fois de γ et de P0. Ceci qui conduit à une nouvelle formulation, plus simple que les lois classiques de la littérature :

xM

Dj

= rPj

Pa

= 2

γ+ 1

_2(γ−1)^γ r P0

Pa

(10.3) Soit CxM ≈ 0,70 pour γ = 1,6 (hélium) et CxM ≈ 0,73 pour γ = 1,4 (air ou hydrogène). Cette relation s’adapte très bien à la loi de Young (1975) pour les jets d’air et se rapproche de la loiAshkenas & Sherman(1966) pour les jets d’hélium.

Tout comme la position du disque de Mach, le diamètre augmente avec la pres- sion. Comme le montre la figure 10.6, les résultats sont plus dispersés que pour la mesure de la position. Ceci vient du fait que, d’une part les limites du disque sont floutées par les gradients de densité radiaux et d’autre part, que la longueur à me- surer est plus faible que pour la position, avec le même domaine d’incertitude de mesure. Les incertitudes relatives sont donc plus importantes pour le diamètre que pour l’abscisse.

La figure10.6présente l’évolution du diamètre du disque de Mach en fonction de la racine carré du rapport de la pression du réservoir par la pression ambiante. Les mesures sont comparées aux données de la littérature 1 puis aux lois définies à la section4.4.1.2 2 . Il apparaît que la loi de Addy (1981) est celle qui se rapproche le plus des résultats expérimentaux. Toutefois le diamètre du disque de Mach semble également dépendre du rapport des chaleurs spécifiques γ du gaz. La corrélation suivante tient compte des observations expérimentales :

DM

Dj

= γ 4

r√ CdP0

Pa −2γ² (10.4)

Mesures

DM/Dj

0 2 4 6 8

(P0/Pa)^0,5

2 4 6 8 10 12

AirMesures BOS Love (1959) Addy (1981) Ewan (1986) Lehnasch (2005)

Hélium Mesures BOS Wilkes (2006)

Lois

DM/Dj

0 2 4 6 8

(P0/Pa)^0,5

2 4 6 8 10 12

1 2

Hélium Mesures BOS Antsupov (1974) Addy (1981) AirMesures BOS

Antsupov (1974) Addy (1981) Otobe (2007)

DM/Dj= γ/4 (Cd^0,5 P0/Pa - 2γ²)^0,5 AirHélium

Figure 10.6 – Évolution du diamètre du disque de Mach en fonction de la pression du réservoir. Les essais sont référencés à l’annexe E.8

Le coefficient de décharge Cd = 0,95 est présent dans la loi 10.4 pour prendre en compte la forme de l’orifice et ainsi rester en adéquation avec les observations de Addy(1981) etLehnasch(2005) : la forme de l’orifice influence fortement le diamètre du disque de Mach mais peu sa position. Pour les jets fortement sous-détendus (sec- tion 4.3), la relation 10.4 prend la valeur ^D_D^M

j ≈ CDM

qP0

Pa avec CDM = 0,35 pour l’air ou l’hydrogène et CDM = 0,39 pour l’hélium. En comparaison, Addy (1981) propose CD_M = 0,36 avec de l’air. Pour des orifices minces ou aigus, Addy (1981) trouve CDM = 0,31 ce qui correspondrait à un coefficient de décharge Cd = 0,62 avec de l’hélium. Ce coefficient est à rapprocher du coefficient de déchargeCd= 0,62 proposé par Gentilhomme (2008) pour un orifice similaire. La relation 10.4 calcule également les origines virtuelles trouvées par Addy (1981) pour des jets d’air. Ces origines virtuelles sont de la forme : ^√2γ_Cd² et conviennent également pour les jets d’hélium.

Les relations10.3et10.4sont en bon accord avec les essais expérimentaux et avec les données de la littérature. Elles présentent la nouveauté de prendre en compte la géométrie de l’orifice et le rapport des chaleurs spécifiques γ du gaz. Elles ne nécessitent par ailleurs pas de coefficient empirique pour s’accorder aux résultats expérimentaux.

10.1 Structure des jets supersoniques