Comme on l’a vu au chapitre 1, la prise en compte de l’ensemble des phénomènes non- linéaires observés ne peut se faire qu’avec un modèle couplant plasticité et endommagement.
L’extension de ce type de modèle à la dynamique nécessite d’introduire un effet de vitesse pour la plasticité et pour l’endommagement. On présente ici un modèle visco-plastique, visco- endommageable développé par [Gat99, FG02]. Les résultats obtenus avec ce modèle seront utilisés par la suite comme base de comparaison pour les résultats du modèle d’endommagement anisotrope. On pourra ainsi estimer la perte d’information due à la non prise en compte des déformations irreversibles.
La loi d’élasticité de ce modèle fait intervenir un endommagement scalaire :
σσσ=E(1−D):εεεe (3.13)
oùεεεe=εεε−εεεpest la déformation élastique,εεεla déformation totale etεεεpla déformation plastique.
2.5.1 Modèle visco-endommageable
Le modèle d’endommagement utilisé découle du modèle de Mazars décrit au 1.2.2.2. Les surfaces seuil d’endommagement ont été écrites en fonction des déformations élastiquesεεεe (au lieu des déformations totales). :
fDt ou c(bεe) =bεe−κ0− 1 At ou c
Dt ou c 1−Dt ou c
1/Bt ou c
(3.14) bεe=
qΣhεeIi (3.15)
La loi d’évolution de l’endommagement est une loi visqueuse (qui autorise les états de contraintes à l’extérieur de la surface de charge) du type de celle de Norton-Perzyna :
Dtv = mDtD˙
1
tnDt
Dcv = mDcD˙
1
cnDc (3.16)
Comme pour le modèle de Mazars, on définit deux endommagements : un en compression Dc et un en traction Dt. L’endommagement D est alors défini comme une combinaison linéaire de ces deux termes :
D=αcDc+αtDt (3.17)
avecαcetαt fonctions du type de sollicitation comme pour le modèle de Mazars.
Il existe dans ce modèle deux fonctions seuils qui diffèrent uniquement par les valeurs des paramètres matériaux : Ac et Bcen compression et At et Bt en traction. Il en est de même pour la loi d’évolution avec les paramètres mD et nD qui prennent des valeurs différentes suivant que l’on est en traction ou en compression. On introduit pour le modèle d’endommagement 9 paramètres en plus de ceux d’élasticité (contre 5 pour le modèle anisotrope). L’influence de ces paramètres est décrite dans [Gat07].
2.5.2 Modèle visco-plastique (décrit ici sans endommagement)
Le partie visco-plastique du modèle doit servir à reproduire les phénomènes observés sous un chargement sphérique (déformations permanentes notamment). Les résultats expérimentaux montrent que sous ce type de sollicitations le comportement est sensible à la vitesse.
La surface seuil utilisée est le critère de Gurson modifiée par [NT84] qui s’écrit en fonction des invariants J2=12σσσD:σσσDet I1=trσσσ:
FNT(σσσ,f∗) =3J2
σ2M +2q1f∗cosh
q2 I1 2σm
−(1+ (q3f∗)2) =0 (3.18) f∗correspond à la porosité du béton,σM est la contrainte limite d’élasticité (incluant l’écrouis- sage) dans une matrice fictive sans vides et q1,q2, q3sont des paramètres du critère. L’influence de ces différents paramètres, est développée dans [Bur97], et rappelée dans [Gat99].
On lui associe le modèle de comportement suivant :
σσσ=KtrεεεeI+2GεεεDe (3.19) Les scalaires G et K, respectivement modules de cisaillement et de compressibilité tiennent compte de la variation de la porosité via la méthode d’homogénéisation de Mori Takana.
La loi de viscoplasticité est une loi de type Norton-Perzyna : εεε˙vp=λ˙∂FNT
∂σσσ (3.20)
L’évolution des déformations plastiques équivalentes a la forme visco-plastique écrite par [CS96]. Le multiplicateur plastique prend en compte l’endommagement D en considérant que l’endommagement correpond à la création des vides, leur augmentation et leur coalescence, et donc à la porosité du matériau f∗que l’on définit par f∗=2−1D. L’expression du multiplicateur d’endommagement, exprimée en fonction de la porosité a pour expression :
λ˙ = f∗
1−f∗ < ∂FNT
mvp >nvp (3.21)
Lorsque f∗est nulle, ce qui correpond physiquement au cas où la porosité est entièrement refermée, on retrouve le comportement élastique.
La diminution de la porosité est controlée par l’écoulement plastique. L’évolution des micro- vides au sein de la matrice est supposée liée à la déformation volumique irreversible.
Pour un béton standard la porosité initiale f0∗ est d’environ 0,3, elle diminue lorsque la trace des déformations plastiques augmentent pour progressivement retrouver le comportement élastique
2.5.3 Couplage avec l’endommagement
Le couplage des deux modèles décrits précédemment conduit à la relation suivante :
σσσ= (1−D)[Ktrεεεe1+2GεεεeD] (3.22) où les modules de cisaillement et de compressibilité sont définis par homogénéisation de Mori Tanaka et peuvent être affectés par l’endommagement.
FIG. 3.10: Surfaces seuils du modèle de Gatuingt dans l’espace de contraintes, d’après [HGI05]
En traction, seule la surface seuil de Mazars est activée puisque celle-ci est atteinte beaucoup plus rapidement que celle de Gurson. Dans ce cas il n’y a pas de couplage entre la visco- plasticité et le visco-endommagement.
En compression simple, les deux surfaces entrent en compétition et c’est la valeur des différents paramètres qui déterminera laquelle sera activée. Par exemple si σM est suffisament grand on activera uniquement la surface de Mazars, dans le cas contraire, on activera d’abord celle de Gurson puis celle de Mazars. Dans la plupart des cas statiques le comportement sera découplé, on peut néanmoins avoir un comportement couplé en dynamique si les paramètres de viscosité le permettent.
Lorsque les déformations restent constamment négatives (compression hydrostatique), on retrouve le modèle visco-plastique seul.
L’organigramme de calcul est donné en annexe A et la surface seuil dans l’espace des contraintes est représentée figure 3.10
2.5.4 Synthèse des équations du modèle
- Elasticité couplé à la porosité et à l’endommagement :
σσσ= (1−D)[KtrεεεeI+2GεεεeD] (3.23) - Module de compressibilité et de cisaillement :
K(f∗) = 4KMGM(1−f∗)
4GM+3KMf∗ G(f∗) = GM(1−f∗)
1+6K9KMM+12G+8GMM f∗ (3.24)
avec KM et GM respectivement les modules de compressibilité et de cisaillement de la matrice sans vides.
Modèle visco-endommageable :
Endommagement de traction et de compression :
D=αcDc+αtDt (3.25)
Déformation élastique équivalente de Mazars : bε=
qΣhεIi2 (3.26)
Fonctions seuils :
FDt ou c(bεe) = (bεe)−κ0− 1 At ou c
Dt ou c 1−Dt ou c
1/Bt ou c
(3.27) Evolution de l’endommagement (vitesse d’endommagement) :
D˙t = FDt
mDt nDt
D˙c= FDc
mDc nDc
(3.28) Modèle visco-plastique :
Surface seuil de Gurson : FNT(σσσ,σM,f∗) = 3J2
σ2M +2q1f∗cosh
q−2 I1 2σm
−(1+ (q3f∗)2) =0 (3.29) Déformation visco-plastique
εεε˙vp=λ˙∂FNT
∂σσσ (3.30)
Multiplicateur plastique :
λ˙ = f∗
1−f∗ < ∂FNT
mvp
>nvp (3.31)