2.2.1 Evolution de la force d’impact
Les forces d’impact numériques et expérimentales sont comparées pour les poutres P1 (longue avec cadres) et P3 (courte sans cadres) (fig. 6.7). La corrélation est bonne pour la poutre courte P3 à l’exception du premier pic qui est sous-évalué par le calcul. La durée du premier pic et surtout la seconde phase de l’impact, correspondant à l’ouverture du cône de cisaillement sont assez bien reproduites.
Pour la poutre longue, P1, la simulation donne des résultats moins satisfaisants. Le premier pic d’effort est cette fois largement supérieur à la réponse expérimentale et surtout la partie post-pic montre une succession de rebonds que l’on n’observe pas au cours de l’essai. L’impact n’est pas assez amorti, la dégradation du béton ne dissipe pas suffisament d’énergie. (Notons néanmoins que la valeur extrême de la force d’impact n’est représentée que par un unique point isolé qui peut être erroné. Si on ne tient pas compte de ce point, le premier pic d’impact est assez bien reproduit).
Une différence entre l’essai et le calcul est la présence de bois entre le projectile et la poutre (comme on peut le voir à la figure 6.7). Cependant, le film de l’essai montre que cette fine couche de balsa s’écrase très rapidement (moins d’une milli-seconde) et d’autre part l’évolution de la force d’impact montre aussi (au tout début) que l’énergie dissipée dans le bois est relativement faible. Cette couche de bois a pour fonction, rapellons-le, d’amortir le premier pic pour protéger le capteur d’effort placé sur le projectile. On a tenté de la modéliser grâce au modèle de bois orthotrope implanté dans Europlexus, mais les éléments sont alors tellement écrasés que le pas de temps, régi automatiquement par la condition de Courant diminue trop. Les calculs présentés sont donc sans la couche de balsa.
0 5 10 15 20 25
Temps [ms]
-200 0 200 400 600 800 1000 1200
Force d'impact [kN]
Modèle anisotrope Expérimental
(a) Poutre P1
10 15 20 25
Temps [ms]
-100 0 100 200 300 400 500 600
Force d'impact [kN]
Modèle anisotrope Expérimental
(b) Poutre P3
FIG. 6.7: Evolution de la force d’impact
La figure 6.8 représente les évolutions des forces d’impact pour les 2 poutres courtes qui ne diffèrent entre elles que par la présence ou non de cadres d’effort tranchant. Les différences sont tellement minimes qu’elles peuvent être considérées comme négligeables. Pourtant l’analyse
des contraintes dans les armatures montrent qu’elles sont sollicitées et qu’elles reprennent un effort (de l’ordre de 3kN). Les essais ont cependant montré que la présence de cadres avait une influence primordiale puisqu’ils permettaient le passage d’un mode de rupture à l’autre.
10 12 14 16 18 20 22 24
Temps [ms]
0 100 200 300 400
Force d'impact [kN]
P4 avec cadres P3 sans cadres
FIG. 6.8: Influence des cadres dans le calcul numérique, comparaison des forces d’impact pour les poutres courtes P3 (sans cadres) et P4 (avec cadres)
2.2.2 Cinématique de l’impact
0 5 10 15 20 25
Temps [ms]
-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
Déplacement [m]
Projectile Poutre
(a) Poutre P1, longue avec cadres
0 5 10 15 20 25
Temps [ms]
-0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
Déplacement [m]
Projectile Poutre
(b) Poutre P3, courte sans cadres
FIG. 6.9: Evolution des déplacements de la poutre et du projectile
La figure 6.9 compare pour les poutres P1 et P3 les déplacements de la poutre et du projectile (déplacement vertical du point au centre de la surface d’impact du projectile et son opposé au niveau de la poutre). Pour P3, la poutre (courte) et le projectile restent en contact jusqu’au rebond (les deux courbes se superposent), puis lorsque le projectile décole, la poutre se met à vibrer. Pour la poutre longue (P1), l’impact est plus long, si bien que pour une même durée de simulation, on n’atteint pas la phase vibratoire. On constate que numériquement il existe une phase où les deux solides ne sont plus en contact, ce qui s’observe également sur la force d’impact puisqu’elle passe par une phase nulle.
0 10 20 30 40 Temps [ms]
-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04
Déplacement [m]
Numérique Expérimental
FIG. 6.10: Déplacement du projectile, Poutre P1
La comparaison avec les résultats expérimentaux (fig. 6.10) montre une bonne corrélation durant tout le début de l’impact, cependant la durée calculée de l’impact est plus courte donc moins dissipant ce qui conduit à une vitesse de rebond plus importante.
2.2.3 Cartes d’endommagement et d’endommagement effectif
La figure 6.11 représente l’évolution de l’endommagement pour les poutres P1 et P3 qui rompent respectivement en flexion et par cône de cisaillement. Pour la poutre P3, on observe la succession de différents phénomènes :
•endommagement de flexion en fibre inférieure (t = 0,2 ms),
•fissures verticales en fibre supérieure (t = 1 ms),
• développement d’une large zone endommagée délimitant un cône à la base de la zone d’impact.
L’évolution de l’endommagement représente assez bien dans le cas de la rupture par cône de cisaillement les différents phénomènes observés au cours de l’essai. Comme pour la force d’impact, la présence ou non de cadres d’effort tranchant ne modifie pas la réponse.
(a) t = 0,25 ms
(b) t =0,50 ms (c) t = 1,00 ms
(d) t =1,50 ms (e) t =2,00 ms
(f) t =2,50 ms (g)
FIG. 6.11: Carte d’endommagement avec le modèle anisotrope pour la poutre courte sans cadres P3
Pour la poutre P1 les résultats sont plus difficiles à analyser dans la mesure où des zones sont successivement sollicitées en traction puis en compression (ou l’inverse) si bien que des fissures s’ouvrent puis se referment. Au début de l’impact, la fibre supérieure est tendue et la fibre inférieure (à l’exception du milieu de la poutre) est comprimée. Par la suite on retrouve un état de flexion "quasi-statique", où les fissures s’ouvrent en fibre inférieure. Si l’on représente simplement la fissuration par l’endommagement comme pour la poutre P3, les fissures dévelop- pées en début d’impact sembleraient ouvertes en même temps que celles de la fin, ce qui n’est pas réaliste puisque les premières sont refermées quand les secondes s’ouvrent (fig 6.12). Si l’on regarde la première composante principale d’endommagement, le résultat est encore moins clair, car les différents états d’endommagement se superposent (dans différentes directions) et la structure paraît complètement endommagée alors que ce n’est pas le cas.
(a) Dxx (b) Dyy (c)
(d) Dzz (e) D principal
FIG. 6.12: Carte d’endommagement avec le modèle anisotrope pour la poutre longue avec cadres P1 à t =2,5ms
On propose donc de représenter l’endommagement effectif, défini au chapitre 1 par de f f =
DDD:hεεεi
max(εI) (cf. fig. 6.13). Cette valeur scalaire ne donne pas d’informations sur la direction de l’en- dommagement. Sa valeur est comprise entre 0 (état sain) et tr DDD pour un élément complètement endommagé. On peut faire l’analyse (simplifiée) suivante des cartes d’endommagement effectif à rupture. Les zones où l’endommagement vaut 1 sont plutôt endommagées en traction, et les fissures sont ouvertes. Les zones où l’endommagement vaut 2 sont en compression (à rupture).
Les fissures de traction préalablement ouvertes dans cette zone sont alors refermées.
A t = 0,25 ms, la zone sous l’impact est comprimée et la fibre supérieure autour de la zone d’impact est tendue, les fissures s’ouvrent. Progressivement, la zone tendue autour l’impact se déplace vers les bords ouvrant progressivement des fissures en fibre supérieure et dans le même temps, la fibre inférieure s’endommage en compression. Finallement (t = 2,0ms et t = 2,5 ms) le schéma s’inverse, la fibre supérieure est comprimée et les fissures sont refermée et la fibre inférieure est tendue, les fissures sont ouvertes.
(a) t = 0,25 ms
(b) t =0,50 ms
(c) t = 1,00 ms
(d) t =1,50 ms
(e) t =2,00 ms
(f) t =2,50 ms
FIG. 6.13: Carte d’endommagement effectif avec le modèle anisotrope pour la poutre longue avec cadre P1
Une dernière possibilité de représentation consiste à ne plus tracer des cartes d’isovaleurs mais des vecteurs d’endommagement DDD~nI =DI~nI. Ces vecteurs ont pour direction celle du
vecteur propre~nI associé à la plus grande des valeurs propres et pour norme la valeur propre associée, DI. On étudie deux facteurs d’échelle différents (0,15 et 0,05). Les résultats sont présentés sur la figure 6.14.
(a) facteur d’échelle 0,15 (b)
(c) facteur d’echelle 0,05 (d)
FIG. 6.14: Représentation du plus grand vecteur propre d’endommagement, t = 2,5 ms
Sur ces cartes, surtout pour le plus petit des facteurs d’échelle, la direction de l’endommage- ment est plus simple à interpréter. On voit qu’en fibre inférieure et en dessous du projectile, les fissures sont plutôt verticales alors qu’en fibre supérieure, l’endommagement est plutôt parallèle à la longueur de la poutre (axe x). Néanmoins comme le nombre de vecteurs repr´sentés est important, on a une impression de "fouillis" si le facteur d’échelle est grand, et si on le réduit, on a davantage de mal à lire la direction.
La représentation de l’endommagement tensoriel est une grande difficulté rencontrée, surtout dans les cas où, comme ici, les directions principales tournent et les sollicitations sont alternées.