La schéma d’intégration du modèle avec désactivation des dommages (avec une fonction seuil fonction de dact) est globalement équivalent à celui qui vient d’être présenté. Les seules modifications qui sont apportées le sont au niveau :
- de la fonction critère qui devient :
f =bεn+1−κ−1(dact n) avec dact =max(εDDD:hεεεi+
I)
- de la loi d’évolution de l’endommagement que l’on écrit sans le carré : D˙ =λ˙hεεεi+→DDDn+1=DDDn+∆λhεεεn+1i
avec la nouvelle expression du multiplicateur d’endommagement :
∆λ=dact n+1∗ −dact n bεεε2n+1
où dact n+1est calculé parκ−1(bεεεn+1).
1.3 Modification de la gestion de la rupture
1.3.1 Gestion initiale de la rupture
L’endommagement est physiquement défini sur [0 ;1], avec pour D (ou Di dans la cas tensoriel) = 1, un matériau considéré comme rompu (ou rompu dans la direction i). Il est donc nécessaire à l’intérieur du schéma numérique d’introduire une borne sur l’endommagement.
Remarquons également que numériquement, la valeur D (ou Di) = 1 n’est acceptable que si l’on évite dans le calcul de travailler avec HHH = (1−DDD)−1/2 (qui conduit à diviser par 0).
L’endommagement sera en fait borné à une valeur critique, notée Dc, inférieure à 1, pour éviter des problèmes de distorsion d’éléments qui seront détaillés par la suite. Notons au passage que les éléments finis étendus de type X-FEM permettent de lever cette difficulté [MDB99].
Dans le cas tensoriel, cela conduit à borner chacune des valeurs propres de DDD à Dc. Le schéma numérique précédent est modifié pour intégrer cette procédure dite de gestion de la rupture au niveau de l’étape numéro 5 :
5) Mise à jour du tenseur d’endommagement :
a) DDDn+1=DDDn+∆λhεεεiα+ avecα= 1 ou 2 suivant le modèle considéré (avec ou sans désacti- vation des dommages).
b) Calcul des valeurs propres et vecteurs propres de DDDn+1, avec Dn+1 I>Dn+1 II >Dn+1 III et PPP la matrice de passage rendant le tenseur d’endommagement diagonal.
c) Test sur DI,
Si DI <Dc, on ne modifie pas DDDn+1et on passe à l’étape 6, Si DI >Dc, on fixe DI =Dcet on réitère l’opération sur DII.
d) On repasse le tenseur diagonal DDDdiagn+1ainsi borné dans la base initiale par DDDn+1=PPPDDDdiagn+1PPP−1. Cette procédure de gestion de la rupture comporte deux inconvénients. D’un point de vue numérique, cette procédure est assez longue puisque elle nécessite de tester une par une les valeurs propres de DDD, ce qui implique un certain nombre de tests dans le programme.
Cette méthode fixe a priori le plan (puis direction) d’endommagement une fois que Dc est atteint dans une (puis deux) direction(s). La direction où Dcest atteint est conservée pour le pas de temps suivant au cours duquel l’endommagement ne pourra évoluer que dans le plan normal à cette direction, même si par exemple les directions de chargement tournent. Cela nécessite de conserver d’un pas de temps à l’autre la matrice de passage PPP
On propose une nouvelle procédure de gestion de la rupture pour palier les problèmes de la procédure initiale.
1.3.2 Nouvelle procédure "sans base propre fixée"
On introduit dans le schéma numérique une nouvelle variable DDD∗, le tenseur d’endommage- ment non tronqué, et on reprend le schéma d’intégration précédent :
1) Prévision élastique : calcul de la fonction critère f =bεn+1−κ(trDDDn),
2) Test sur la fonction critère
3) Discrétisation temporelle de l’endommagement DDD∗n+1=DDDn+∆DDD=DDDn+∆λhεεεn+1iα+
4) Si f >0, on calcule le multiplicateur d’endommagement∆λ f =0→trDDD∗n+1=κ−1(bεn+1)
∆λ=trDDD∗n+1−trDDDn
bεεε2 5) Mise à jour du tenseur d’endommagement
a) DDD∗n+1=DDDn+∆λhεεεi2+.
b) Calcul des valeurs propres et vecteurs propres de DDD∗n+1et PPP la matrice de passage.
c) On définit DDDdiagn+1 par : DDDdiagn+1=
<D∗I,n+1−Dc>−+Dc 0 0
0 <D∗II,n+1−Dc>−+Dc 0
0 0 <D∗III,n+1−Dc>−+Dc
d) On effectue un changement de base pour ramener DDDdiagn+1 dans la base initiale de DDD∗n+1 par DDDn+1=PPPDDDdiagn+1PPP−1.
Cette nouvelle procédure permet donc de ne pas fixer a priori la base propre de DDDn+1puisque celle-ci est recalculée à chaque pas de temps sans qu’aucune des directions ne soit fixée par avance. L’opération qui conduit à limiter les DI à Dcse fait sans boucles et enfin, on ne conserve à la fin du pas de temps qu’une seule variable scalaire trDDD∗ contre 9 précédemment (les 9 composantes de PPP).
On compare sur un cas simple (cube à 8 points de Gauss en compression simple piloté en déplacements imposés) le temps CPU d’un même calcul avec la procédure de gestion de la rupture initiale et la procédure modifiée. On introduit RCPU le rapport suivant :
RCPU = Temps CPU avec la procédure modifiée Temps CPU avec la procédure initiale
La figure 1.3.2 montre l’évolution de ce rapport en fonction du nombre de pas imposé pour atteindre la déformation imposée maximale. On constate effectivement une réduction du temps de calcul lié à la procédure de gestion de la rupture.
2 Calcul de la dissipation intrinsèque
La connaissance de la dissipation intrinsèque due à l’endommagement est une donnée supplémentaire dans la compréhension et l’analyse des résultats numériques de calculs de
FIG. 2.1: Influence de la procédure de gestion de la rupture sur le temps de calcul
structures [Jir97].
Le modèle d’endommagement présenté est écrit dans un cadre de la thermodynamique des processus irréversibles qui n’est pas celui des matériaux standards généralisés défini par Halphen et Nguyen [HN75]. Hors de ce cadre, la positivité de la dissipation n’est pas intrin- sèquement assurée. Desmorat a montré que pour une certaine classe de modèles anisotropes (dont font partie les précédents) développés dans le cadre défini par Ladevèze [Lad83] la condition pour assurer la positivité de la dissipation était seulement d’assurer la condition naturelle ˙DDD>0 [Des06].
Sachant que la dissipation est positive, on s’intéresse ici à la calculer. C’est une donnée qui peut avoir son intérêt si on la rapporte par exemple à l’énergie apportée au système ou à l’énergie de fracturation du béton pour évaluer l’état de dégradation provoqué par un chargement donné.
Plusieurs méthodes et algorithmes sont étudiés pour le calcul de la dissipation. Leur com- paraison permet d’une part de s’assurer de la justesse du calcul et d’autre part de choisir la méthode la plus efficace en terme de temps de calcul.
La dissipation est calculée à chacun des points de Gauss des éléments de la structure, ce qui permet de tracer des cartes de dissipation intrinsèque. En intégrant la dissipation sur l’ensemble de la structure, on peut connaître l’énergie totale dissipée par l’endommagement. Sous certaines hypothèses, on peut évaluer l’augmentation de température (faible, on le verra) à partir de la connaissance de l’énergie dissipée par endommagement.