Estimation des indices d’instabilit´e - Ecole Doctorale de Math´ ematiques de la R´ egion Paris

118 CHAPITRE 3. L’OSCILLATEUR CUBIQUE COMPLEXE On en d´eduit finalement la relation suivante :

ψ^α₋(x, hn) =(−1)ⁿ⁻¹i

2√π h^1/6_n ψ^α₁(x, hn)(1 +O(hn)), n→+∞. (3.3.54) De la mˆeme fa¸con, en comparant les comportements asymptotiques de ψ^α₁ et ψ^α₊ quand|x| →+∞le long de ˜ℓ^α₊(hn), on trouve

ψ^α₊(x, hn) = 1

2√πh^1/6_n ψ^α₁(x, hn). (3.3.55) Ces relations vont nous permettre d’intégrer le carré de la solutionψ₁^α(x, hn) le long de la courbe homotope à R, constituée de la réunion des trois lignes ℓ˜^α₋(hn),ℓ^α_f(hn) et ˜ℓ^α₊(hn). On notera donc

L^α(hn) = ˜ℓ^α₋(hn)∪ℓ^α_f(hn)∪ℓ˜^α₊(hn), (3.3.56) et par extensionL^α(hn) désignera également un chemin régulier (voir le Lemme 3.3.5) d’imageL^α(hn) .

Soitδ >0 la constante du Lemme 3.3.8, etη >0 tel queη <|x⁰₊(0)−x⁰₋(0)|, et η suffisamment grand pour que ℓ⁰_f,δ ⊂ D⁺(δ, η)∪ D−(δ, η) . On choisit enfin η^′ < |x⁰₊(0)−x⁰₋(0)|/2 et δ^′ ∈]0, δ[ . Il existe alors une partition de l’unit´e (χ₋, χ+) telle que, pour touth∈]0, h3] et toutx∈ L^α(h) ,χ₋(x) +χ+(x) = 1 , et telle queχ_±(x) = 1 pourx∈ D±(δ^′, η^′), et Suppχ_± ⊂ D±(δ, η) .

On a alors, d’apr`es (3.3.54) et (3.3.55), pour toutx∈ L^α(hn) ,

ψ^α₁(x, hn)²= 4πh⁻_n^1/3(ψ^α₊(x, hn)²χ+(x)−ψ₋^α(x, hn)²χ₋(x))(1 +O(hn)), (3.3.57) quandn→+∞.

Ainsi, d’après (3.3.48) et en vérifiant grâce à l’expression (3.3.46) que cα:=c^α₊+c^α₋6= 0,

on obtient

Lemme 3.3.10 Pour toutα∈R, il existecα6= 0 tel que Z

L^α(hn)

ψ^α₁(x, hn)²dx=cα(1 +o(1)), (3.3.58) quandn→+∞.

Nous allons maintenant rassembler les résultats de cette section pour démontrer le Théorème 3.1.1.

3.4. ESTIMATION DES INDICES D’INSTABILIT´E 119 (i) Πλ est de rang1 si et seulement si huλ, u^∗_λi 6= 0.

(ii) Dans ce cas, on a

κ(λ) :=kΠλk=kuλkku^∗_λk

|huλ, u^∗_λi| . (3.4.1) On rappelle (voir la sous-section 3.3.1) que les fonctions propresu^α_nassoci´ees

a lan-`eme valeur propreλn(α)∈RdeA^α s’´ecrivent

u^α_n(x) =ψα(h^2/5_n x, hn), (3.4.2) o`u

hn =λn(α)⁻^5/6, (3.4.3)

et o`uψα(·, hn)∈L²(R) est solution deA^α(hn)ψα(·, hn) = 0 . On normaliseu^α_n de sorte que

u^α_n(x) =ψ^α₁(h^2/5_n x, hn), (3.4.4) o`u ψ₁^αest la solution introduite dans le Corollaire 3.3.2.

La proposition suivante permet d’affirmer que l’expression (3.4.1) est valable pour les grandes valeurs propres deA^α, et donne le comportement asymptotique de son dénominateur. On retrouve ainsi, pournsuffisamment grand, le résultat du Théorème 3.2.4, (iii).

Proposition 3.4.2 Soitα≥0. Il existe N ≥1 tel que, pour toutn ≥N, le projecteur spectralΠn(α)deA^αassocié àλn(α)est de rang1. De plus, il existe kα>0 tel que, pour tout n≥N, len-ème indice d’instabilité s’écrit

κn(α) =kαkψ^α₁(·, hn)k^L²⁽^R⁾(1 +o(1)), n→+∞. (3.4.5) Preuve : On remarque d’abord que A^∗αΓ = ΓA^α, o`u Γ :u(x)7→u(x). Par cons´equent, on a

(u^α_n)^∗(x) =u^α_n(x),

avec les notations de la Proposition 3.4.1. D’apr`es (3.4.4), on a alors hu^α_n,(u^α_n)^∗i =

ψ^α₁(h^2/5_n x, hn)²dx

= h⁻_n^2/5 Z

ψ^α₁(x, hn)²dx . (3.4.6) Pour estimer l’intégrale du membre de droite de (3.4.6), on va commencer par déformer le chemin d’intégration pour atteindre les points tournantsx^α_±(h) de l’opérateurA^α(h), qui sont les points critiques de la phaseRx

x^α₊(h)

pVα(z, h)dz apparaissant dans les estimations WKB deψ^α₁ (voir la sous-section 3.3.2). Soit R >0 etγ_h,R^α : [−R:R]→Cun chemin tel que

γ^α_h,R([−R, R]) =L^α(h)∩ {|z| ≤R},

oùL^α(h) est défini par (3.3.56). D’après le Lemme 3.3.5, quitte à reparamétrer γ^α_h,R, on peut supposer qu’il s’agit d’un chemin de classe C¹. On note θ^α_h,R =

−argγ_h,R^α (R), etCh,^α±R les arcs de cercles paramétrés par Ch,+R^α : [0,1]∋t7→ Reî(t⁻^1)θ^α^h,R, Ch,^α−R: [0,1]∋t7→ −Reîtθ^α^h,R.

120 CHAPITRE 3. L’OSCILLATEUR CUBIQUE COMPLEXE Si ˜γ_h,R^α d´esigne la r´eunion de ces trois chemins,

γ_h,R^α =Ch,^α−R∨γ_h,R^α ∨ Ch,+R^α , alors par holomorphie de la fonctionψ₁^α(·, h)², on a

[−R,R]

ψ^α₁(x, h)²dx= Z

˜ γ^α_h,R

ψ^α₁(x, h)²dx .

Or, puisqueθ_h,R^α <3π/10 , l’´equivalent (3.3.11) entraˆıne, pour tout n≥1 , Z

C^α_hn,±R

ψ₁^α(x, hn)²dx−→0, quandR→+∞.

On obtient donc Z

ψ^α₁(x, hn)²dx= Z

Lα(hn)

ψ₁^α(x, hn)²dx , (3.4.7) et d’apr`es le Lemme 3.3.10 et (3.4.6), on a, pournassez grand,

hu^α_n,(u^α_n)^∗i=cαh⁻_n^2/5 1 +o(1)

. (3.4.8)

Ainsi, pour n suffisamment grand,|hu^α_n,(u^α_n)^∗i| >0 , d’où le résultat souhaité sur le rang de Πn(α) d’après le point (i) de la Proposition 3.4.1.

(3.4.5) découle alors de (3.4.8), du Lemme 3.3.10 et du point (ii) de la Propo- sition 3.4.1, après le changement de variablex7→h^2/5n x. Il reste enfin à déterminer un équivalent du numérateur de (3.4.5), à l’aide du développement (3.3.12). Ce dernier étant uniforme par rapport àx∈R, on peut passer à l’intégrale, ce qui donne en se limitant au premier ordre :

kψ₁^α(·, hn)k²L²(R)= (1 +o(1)) Z

a(x)e⁻^ϕ^α^(x,hⁿ⁾dx , (3.4.9) quandn→+∞, avec

a(x) = 1

V0(x)^1/4 et ϕα(x, h) = 2 hRe

Z x x^α₊(h)

pVα(z, h)dz .

Proposition 3.4.3 Siα≥0, on a, quandn→+∞, kψ^α₁(·, hn)k²L²(R)=

√2

2 Γ(1/4)h^1/4_n (1 +o(1)) exp C

+ αr h^1/5n

, (3.4.10) o`u

C= Z 1

p1−t³ dt >0 et r= 1 2

Z 1 0

√ t

1−t³ dt . Preuve :

Supposons d’abordα >0 . Nous allons appliquer une variante de la méthode de Laplace pour déterminer le comportement de l’intégrale

Iα(h) = Z +∞

a(x)e⁻^ϕ^α^(x,h)dx ,

3.4. ESTIMATION DES INDICES D’INSTABILITÉ 121 quand h → 0. En suivant les notations du Théorème B.1.1, on a ϕα(x, h) =

hΨα(x, ε(h)) avecε(h) =h^4/5 et Ψα(x, ε) = 2Re

Z x

˜ x^α₊(ε)

qV˜α(z, ε)dz ,

o`u on a not´e ˜x^α₊(ε) =x^α₊(ε^5/4) et ˜Vα(x, ε) =Vα(x, ε^5/4) =ix³+iαεx−1 . La fonction Ψα est de classeC^∞ pour x∈Ret ε suffisamment petit. De plus, Ψα(·,0) admet un unique point critique enx= 0 . En effet,

∂xΨα(x,0) = 2Rep

ix³−1 = 0,

si et seulement si arg(ix³−1) =π, ou encore Im (ix³−1) = 0, d’o`u x= 0 . Il s’agit d’un minimum strict. En effet, on a

∂_x²Ψα(0,0) = Re 3ix²

√ix³−1

x=0

= 0,

∂_x³Ψα(0,0) = Re

6ix

√ix³−1+9 2

x⁴ (ix³−1)^3/2

|x=0

= 0,

∂_x⁴Ψα(0,0) = 6, d’o`u

Ψα(x,0) = Ψα(0,0) +x⁴

4 +O(x⁵). (3.4.11) Il reste à déterminer les différentes constantes apparaissant dans le Théorème B.1.1. On a ε(h)² = h^8/5 = o(h) , c’est-à-dire N = 1 . D’autre part, (3.4.11) entraˆıneλ0= 4 .

Par ailleurs, on a

∂εΨα(x, ε) = 2Re −(˜x^α₊)^′(ε)

qV˜α(˜x^α₊(ε), ε) + Z x

˜ x^α₊(ε)

∂ε

qV˜α(z, ε)dz

= 2Re Z x

˜ x^α₊(ε)

∂ε

qV˜α(z, ε)dz ,

ce qui donne

∂εΨα(0,0) = Reiα Z 0

˜ x⁰₊(0)

√ x

ix³−1 dx . (3.4.12) On v´erifie ´egalement que

∂x∂εΨα(0,0) = 0, et

∂_x²∂εΨα(0,0) =α , d’o`uλ1= 2 d`es queα6= 0.

Le Th´eor`eme B.1.1 s’applique donc avecJ = ˜J ={0}, et (B.1.4) donne kψ₁^α(·, hn)k²L²(R)=

√2

2 Γ(1/4)h^1/4_n (1 +o(1)) exp

− 1

hnΨα(0,0)

122 CHAPITRE 3. L’OSCILLATEUR CUBIQUE COMPLEXE (ici,K =R+∞

0 e⁻^x⁴dx= 1/4Γ(1/4)). Pour obtenir le r´esultat souhait´e, il suffit donc de constater que

exp

−1

hΨα(0, ε(h))

= exp C

h + αr h^1/5

(1 +o(1)), (3.4.13) oùC etrsont les constantes de l’énoncé. En effet,

Ψα(0, ε(h)) = Ψα(0,0) +h^4/5∂εΨα(0,0) +O(h^8/5), (3.4.14) or

Ψα(0,0) = 2Re Z 0

e^−iπ/6

pix³−1dx=− Z 1

p1−t³ dx ,

et d’apr`es (3.4.12),

∂εΨα(0,0) =−α 2

Z 1 0

√ t

1−t³dt .

Dans le cas α = 0, on vérifie de la même fa¸con que la méthode de Laplace s’applique (voir par exemple [57]) et aboutit au même résultat.

Pour conclure la preuve du Théorème 3.1.1, on utilise enfin la règle de Bohr- Sommerfeld (3.3.49), qui permet d’affirmer quehn est de l’ordre den⁻¹quand n → +∞. Cette loi de quantification permet d’exprimer hn en fonction de n sous forme d’un développement asymptotique. Nous en calculons maintenant les premiers termes. En développant le membre de gauche de (3.3.49) de la même fa¸con que pour Ψα(0, h^4/5) dans la preuve de la Proposition 3.4.3 (voir (3.4.14)), on obtient

√3(C−αrh^4/5_n ) =π

n+1 2

hn+O(h^8/5_n ), o`uC etrsont les constantes de la Proposition 3.4.3. Ainsi,

hn=

√3C

π n+¹₂− 3^9/10αrC^4/5

π^9/5 n+¹₂9/5 +O((n+ 1/2)⁻^13/5). (3.4.15) Le d´eveloppement (3.4.15) permet de reformuler le terme exponentiel de (3.4.10) en fonction den:

C hn

+ αr h^1/5n

= π

√3(n+ 1/2) + 2αr π

√3C ^1/5

(n+ 1/2)^1/5+O((n+ 1/2)⁻^3/5). Or les constantesC etrs’expriment explicitement,

C= 2√

3π^3/2

15Γ(2/3)Γ(5/6) et r=Γ(2/3)Γ(5/6) 2√π , ce qui donne

2r π

√3C 1/5

= (5/2)^1/5π⁻^3/5Γ(2/3)^6/5Γ(5/6)^6/5.

En rassemblant (3.4.5) et (3.4.10), on obtient finalement le th´eor`eme suivant :

3.4. ESTIMATION DES INDICES D’INSTABILIT´E 123

Th´eor`eme 3.4.4 Pour tout α≥0, il existe une constanteKα>0 telle que κn(α) = Kα

n^1/4(1 +o(1)) exp π

√3n+αcn^1/5

, (3.4.16)

quandn→+∞, o`u

c= (5/2)^1/5π⁻^3/5Γ(2/3)^6/5Γ(5/6)^6/5. Le Théorème 3.1.1 en découle immédiatement.

Chapitre 4

On the semiclassical

analysis of Schr¨ odinger operators with purely imaginary electric

potentials in a bounded domain

In this chapter, we describe the leftmost eigenvalue of the non-selfadjoint operatorA^h=−h²∆ +iV(x) with Dirichlet boundary conditions on a smooth bounded domain Ω⊂Rⁿ, ash→0 .V is assumed to be a Morse function without critical point at the boundary of Ω . More precisely, we compare inf Reσ(A^h) with the minimum of the spectrum’s real part for some model operator. In the case whereV has no critical point, the spectrum is determined by the boundary points where∇V is orthogonal, and the model operator involves a 1-dimensional complex Airy operator in R⁺. IfV is a Morse function with critical points in Ω , the behavior of the operator near the critical points prevails, and the model operator is a complex harmonic oscillator.

This question is related to the decay of associated semigroups. In particular, it allows to recover, in a simplified setting, some stability results of [7] in superconductivity theory.

4.1 Introduction

Letn≥1,h0>0, and Ω⊂Rⁿ be a smooth bounded domain. We consider, forh∈(0, h0), the operator

A^h=−h²∆ +iV(x), D(A^h) =H₀¹(Ω;C)∩H²(Ω;C), (4.1.1) whereV ∈ C^∞(Ω ;R) is a smooth potential.

Under these conditionsA^hhas compact resolvent, hence discrete spectrum and 125

126 CHAPITRE 4. SEMICLASSICAL SCHR ¨ODINGER OPERATORS the purpose of this paper is to understand the behavior ash→0 of the smallest real part of λ(h), for λ(h)∈σ(A^h) . We are also looking for uniform resolvent estimates in any half-plane free of eigenvalues.

One of the main difficulties of this task is that, due to possible pseudospectral effects, a quasimode construction may not be sufficient to locate an eigenvalue.

The question considered here is related to stability problems for equations of the form





∂tψR−∆ψR+iRV(x/R)ψR=λRψR, (t, x)∈(0,+∞)×ΩR, ψR(t, x) = 0, (t, x)∈(0,+∞)×∂ΩR, ψR(0, x) =ψ⁰_R(x), x∈ΩR,

(4.1.2)

where ΩR ={Rx: x∈Ω}, in the large domain limitR →+∞. This system can be interpreted as a linearization of the time-dependent Ginzburg-Landau system in superconductivity, without magnetic field and in a large smooth domain. From this point of view, the following results should be compared with those of [7, 8, 9, 10, 11].

Similar questions have also been considered in [15] in a 1-dimensional setting to understand the controllability of some degenerate parabolic equations.

In addition to these applications, the results stated in this paper might have some independent, theoretical interest in the growing field of non-selfadjoint spectral theory.

We shall first focus on the case where the potential V has no critical point.

Here again, this assumption makes sense in the framework of superconductivity, see [7] and Section 4.9. More precisely, we will prove the following :

Theorem 4.1.1 Let n ≥1 and V ∈ C^∞( ¯Ω;R) be such that, for every x∈Ω,¯

∇V(x)6= 0. Let

∂Ω_⊥={x∈∂Ω :∇V(x)×~n(x) = 0}, (4.1.3) where~n(x)denotes the outward normal on∂Ωatx.

(i) Assume that ∂Ω_⊥ 6= ∅. Let µ1 < 0 be the rightmost zero of the Airy function Ai, and let

Jm= min

x∈∂Ω_⊥|∇V(x)|. (4.1.4) Then we have

lim

h→0

h^2/3inf Reσ(A^h)≥|µ1|

2 J_m^2/3, (4.1.5) whereA^h is the operator defined by (4.1.1) .

Moreover, for everyε >0, there existshε∈(0, h0)andCε>0 such that

∀h∈(0, hε), sup

γ≤ |µ1|J2/3 m /2, ν∈R

k(A^h−(γ−ε)h^2/3−iν)⁻¹k ≤ Cε

h^2/3. (4.1.6)

(ii) Assume that∂Ω_⊥=∅, then

hlim→0

h^2/3inf Reσ(A^h) = +∞,

4.1. INTRODUCTION 127

and for allω∈R, there existshω>0andC_ω^′ >0such that

∀h∈(0, hω), sup

γ≤ω, ν∈R

k(A^h−γh^2/3−iν)⁻¹k ≤ C_ω^′

h^2/3. (4.1.7) This result is essentially a reformulation of those stated in [7], but the proof presented here, based on locally approximating models, gives a good overview of the underlying phenomena involved and might be more convenient for possible generalizations of this statement.

As we shall see in the proof of this first statement, we will not be able to prove that ^|^µ₂¹^|Jm^2/3is the exact limit forh⁻^2/3inf Reσ(A^h) ash→0 . This is because we will have to approximateA^hin the neighborhood of∂Ω_⊥by operators whose resolvents are not compact forn≥2. However, this result can still be used to obtain some decay estimates for equations of the form (4.1.2), see Corollary 4.1.4 and Sections 4.8 and 4.9.

In dimension 1, obviously, this problem of non-compact resolvent will not ap- pear, hence we can state a more accurate result :

Theorem 4.1.2 Let h0 > 0, a, b ∈ R, a < b, and V ∈ C^∞((a, b);R). For h∈(0, h0), let

A^h=−h² d²

dx² +iV(x), D(A^h) =H₀¹(a, b)∩H²(a, b). Assume that, for everyx∈(a, b),V^′(x)6= 0. Then,

hlim→0

h^2/3inf Reσ(A^h) = |µ1|

2 J^2/3, (4.1.8)

where J = min(|V^′(a)|,|V^′(b)|) and µ1 denotes the rightmost zero of the Airy function Ai.

The problem of optimality in (4.1.5), in the general, n-dimensional setting, is left for future considerations.

In the case where the potential V has critical points in Ω, the spectrum of A^h is expected to behave differently. The following statement shows that the quantity inf Reσ(A^h) is no longer determined by the behavior at the boundary, but by the shape of the potential near the critical points.

Theorem 4.1.3 LetV be a Morse function onΩ¯, without critical point in∂Ω and with at least one critical point inΩ. Letx^c₁, . . . , x^c_p,p∈N^∗, denote those critical points, and fork= 1, . . . , p, let

κk = Xn j=1

q|λ^k_j|, (4.1.9)

where{λ^k_j}^j=1,...,n=σ(HessV(x^c_k)). Let

κ= min

k=1,...,pκk,

128 CHAPITRE 4. SEMICLASSICAL SCHR ¨ODINGER OPERATORS and assume that, ifκk=κ, then for any ℓ6=k,

V(x^c_k)6=V(x^c_ℓ). (4.1.10) Then,

tlim→0

hinf Reσ(A^h) = κ

2. (4.1.11)

Moreover, for every ε >0, there existshε∈(0, h0)andCε>0 such that

∀h∈(0, hε), sup

γ≤κ/2, ν∈R

k(A^h−(γ−ε)h−iν)⁻¹k ≤ Cε

h . (4.1.12) The assumption (4.1.10) is meant to avoid any resonance phenomenon between two wells. Note that, unlike in Theorem 4.1.1, here we give the exact limit for h⁻¹inf Reσ(A^h) .

As mentioned above, the previous theorems enable us to state some decay estimates for the semigroup associated withA^h.

Corollary 4.1.4 For allε >0, there existshε∈(0, h0)andMε>0such that : (i) Under the assumptions of Theorem 4.1.1,

∀h∈(0, hε), ∀t >0, ke⁻^t^A^hkL(L²(Ω))≤Mεexp(−(|µ1|J_m^2/3/2−ε)h^2/3t). (4.1.13) (ii) Under the assumptions of Theorem 4.1.3,

∀h∈(0, hε), ∀t >0, ke⁻^t^A^hkL(L²(Ω))≤Mεexp(−(κ/2−ε)ht). (4.1.14) (iii) Under the assumptions of Theorem 4.1.2, the constant |µ1|Jm^2/3/2is optimal in (4.1.13), as well as the exponent ofh. Similarly, under the assumptions of Theorem 4.1.3, the constantκ/2 is optimal in (4.1.14), as well as the exponent ofh.

This corollary will follow easily from Theorems 4.1.1, 4.1.2 and 4.1.3, by using a refined, quantitative version of the Gearhardt-Pr¨uss Theorem, see [83].

Many interesting questions, which arise naturally in superconductivity theory, are left aside from this paper and should be investigated in future research.

First of all, as recalled in Section 4.9, the time-dependent Ginzburg-Landau equations involve a non-linear term of the form (1− |ψ|²)ψ, which shall not be considered in this work. The recent work of Y. Almog and B. Helffer [8] includes the analysis of this non-linearity in the presence of a magnetic field, but as far as we know, this non-linear problem has not been considered yet in the simpler case where the magnetic field is neglected.

Secondly, here we only consider the case of a smooth domain Ω. As explained in [7], most physically relevant domains would instead contain some singularities, such as corners with right-angles. However, since Y. Almog [7] has already considered this feature under the assumption of a potential without critical point, and since the case of a Morse potential is outside the scope of superconductivity theory, this question shall not be considered here. Nevertheless, our guess is that

4.2. SIMPLIFIED MODELS 129

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