94 CHAPITRE 2. OSCILLATEURS ANHARMONIQUES on a
k(A(2k, θ)−λ)−1k ≤ C
|λ|, (2.6.9)
d’o`u|F(λ)| ≤C|λ|−1.
Si on montre que la mˆeme estimation est valable `a l’int´erieur du secteur Sθε, alorsF ´etant enti`ere, elle sera identiquement nulle par le th´eor`eme de Liouville.
Tout d´ecoule du Corollaire 2.6.5 et du th´eor`eme de Phragmen-Lindel¨of : Th´eor`eme 2.6.7 (Phragmen-Lindel¨of )
SoitF une fonction enti`ere. On suppose qu’il existe deux rayons R1={reiθ1 :r≥0} et R2={reiθ2 :r≥0} formant un angle |θ1−θ2|= πa et tels que
∀λ∈ R1∪ R2,|F(λ)| ≤ C
|λ|.
Soit(rk)une suite croissante de r´eels tendant vers +∞ telle que
∀k, max
|λ|=rk|F(λ)| ≤Cerkβ, (2.6.10) avec β < a. Alors on a
|F(λ)| ≤ C
|λ| pour toutλentre les deux rayonsR1 etR2.
En effet, pourk≥2 on a
|θ|<(k+ 1)π
2k < 2kπ k+ 1.
Par cons´equent, d’apr`es (2.6.9), il existeη >0 tel que |F(λ)| ≤C|λ|−1 sur des rayons formant un angle|θ+ 2ε|= πa aveca= k+12k +η. D’apr`es le Corollaire 2.6.5, l’estimation (2.6.10) est valable pourβ= k+12k +η2. On a donc
|F(λ)| ≤ C
|λ|
pour tout λ ∈ Sθε ´egalement. Ceci conclut la preuve du Lemme 2.6.6 et du
Th´eor`eme 2.1.4. ⊟
2.7. PROPRI´ET´ES DES SEMI-GROUPES 95 avec, dans le cas m = 1 , les constantesK(1, θ) = K(θ) et c1/2(θ) = C(θ) du Th´eor`eme 2.1.1.
Ainsi, pourm= 1 et pour tout t >0 , il existeNt∈Ntel que
∀n≥Nt, e−t|λn|cos2θ3 ec1/2(θ)|λn|
3 2 ≥e
c1/2 (θ)
2 |λn|m+22m , et (2.7.1) est le terme g´en´eral d’une s´erie grossi`erement divergente.
Pourk= 1, (2.7.1) donne
ke−tλnΠnk2n ∼
→+∞
K(2, θ)
√n e(c1(θ)−tcosθ2)|λn|,
donc la s´erie Σ2,θ(t) converge normalement pourt > T et ne converge pas nor- malement pourt < T.
Enfin, sik≥2, il existeNttel que
∀n≥Nt, e−t|λn|cosk+1θ eck(θ)|λn|
k+1
2k ≤e|λn|(−t2cosk+1θ ), et (2.7.1) est major´e par le terme g´en´eral d’une s´erie convergente.
Pour montrer que la s´erie Σm,θ(t) converge bien vers e−tA(m,θ), on utilise la densit´e de la famille bi-orthogonale (un,u¯n)n≥1 (voir [41]), o`u les fonctions propresun sont suppos´ees normalis´ees par la condition hun,u¯ni= 1 pour sim- plifier.
On a
e−tA(m,θ)un=e−tλnun
d’une part, et
Σm,θ(t)un=
+∞
X
j=1
e−tλjΠjun=e−tλnun
d’autre part, o`u on a utilis´e la formule
Πjf =hf,u¯jiuj
(voir (1.3.4), [41], [12]) valable pour des projecteurs spectraux de rang 1, ainsi que la propri´et´e de bi-orthogonalit´ehuj,u¯ni=δj,n.
On en d´eduit par lin´earit´e que Σm,θ(t) ete−tA(m,θ)co¨ıncident sur Vect{un: n≥1}, et donc surD(A(m, θ)) par densit´e (voir le Th´eor`eme 2.1.4).
L’in´egalit´e sur le reste provient du fait quee−tA(m,θ)(I−Π<N) est alors ´egal au reste de rangN de la s´erie Σm(t). Dans le cask≥2, si on noteα= k+12k ∈]1,2[
etcj=cj(k, θ) ,j≥0 les constantes (voir (2.3.23)) telles que
Reλnn ∼
→+∞ +∞
X
j=0
cjnα−j,
96 CHAPITRE 2. OSCILLATEURS ANHARMONIQUES une majoration grossi`ere donne alors
ke−tA(m,θ)(I−Π<N)k ≤ 2K(m, θ)
√N
e−tReλN+ck(θ)N +e−tReλ(N+1)+ck(θ)(N+1)
+
+∞
X
n=N+2
e−tReλn+ck(θ)n
≤ 2K(m, θ)
√N
e−tReλN+ck(θ)N +e−tReλ(N+1)+ck(θ)(N+1)
+2 Z +∞
N+1
exp(−tc0xα−tc1xα−1+ck(θ)x)dx . On v´erifie alors ais´ement que l’int´egrale du dernier membre est de l’ordre de O(e−tReλN+1+ck(θ)N), d’o`u (2.1.13), et un calcul similaire donne le r´esultat an- nonc´e dans le cask= 1 ,t > T.
2.7.2 Remarque sur le th´ eor` eme de Gearhardt-Pr¨ uss
Dans [83], l’application du th´eor`eme de Gearhardt-Pr¨uss (voir Th´eor`eme 1.2.2)
`a un op´erateur restreint `a ses sous-espaces propres pris `a partir duN-`eme, donne l’estimation suivante :
∃Mω>0,∀t >0, ke−tA(I−Π<N)k ≤Mωe−ωt, (2.7.2) pourω∈]ReλN−1,ReλN[ . Elle est valable sous la condition suivante :
sup
Rez=ωk(A −z)−1k<+∞. (2.7.3) Cette hypoth`ese peut ˆetre v´erifi´ee par une m´ethode directe dans le cas de l’op´erateur d’Airy complexe−dxd22+ixsurL2(R+) et de l’oscillateur harmonique complexe−dxd22 +ix2, voir (1.4.9), (1.4.15) et [76].
Elle est ´egalement valable, de fa¸con imm´ediate, pour les op´erateurs
−dxd22 +eiθx sur R+ et −dxd22 +eiθx2k sur R, pour k ≥ 1 et |θ| < π/2 . En effet, le caract`ere sectoriel de ces op´erateurs entraˆıne que (siAd´esigne l’un de ces op´erateurs),
∀ε >0,∀ϕ∈[θ+ε,2π−ε], k(A −reiϕ)−1k=O(r−1), r→+∞. En particulier,k(A −λ)−1k →0 quandλtend vers±∞le long de toute droite parall`ele `a l’axe imaginaire, d’o`u (2.7.3).
L’estimation (2.7.2), appliqu´ee avecω= ReλN −ε, donne donc
Proposition 2.7.1 Soitk≥1,|θ| ≤π/2, etN ≥1. Pour toutε >0, il existe une constanteMε>0 telle que
∀t >0, ke−tA(2k,θ)(I−Π<N)k ≤Mεe(−ReλN+ε)t. (2.7.4) L’avantage indiscutable de (2.7.4) par rapport `a l’estimation (2.1.13) est que cette derni`ere n’est valable que pour N suffisamment grand. D’autre part, on peut retrouver (2.1.13) pour N suffisamment grand en ´ecrivant
ke−tA(2k,θ)(I−Π<N)k ≤e−tReλNκN(2k, θ) +ke−tA(2k,θ)(I−Π<N+1)k, et en appliquant respectivement (2.1.9) et (2.7.4) aux premier et second terme du second membre.
Chapitre 3
L’oscillateur cubique complexe
3.1 Introduction
On s’int´eresse dans ce chapitre aux propri´et´es de l’oscillateur cubique com- plexe
Aα=−d2
dx2 +ix3+iαx , α∈R (3.1.1) sur la droite r´eelle. L’op´erateur sera d´efini rigoureusement et son domaine d´etermin´e
`a la section 3.2. Nous v´erifierons que son spectre est constitu´e d’une suite de valeurs propres (λn(α))n≥1, avec|λn(α)| ≤ |λn+1(α)|et|λn| →+∞quandn→ +∞. Ces valeurs propres sont simples, au sens de la multiplicit´e g´eom´etrique : dim ker(Aα−λn(α)) = 1 .
Comme nous l’avons rappel´e dans la sous-section 1.4.3, le spectre de l’op´erateur Aα poss`ede la propri´et´e ´etonnante, pour un op´erateur non-autoadjoint, d’ˆetre enti`erement r´eel pour α ≥ 0 . C’est cette propri´et´e qui justifie l’int´erˆet port´e
`a l’oscillateur cubique complexe ; elle soul`eve un certain nombre de questions auxquelles nous tenterons de r´epondre dans ce chapitre. En particulier, il s’agit de savoir si l’op´erateur Aα partage, outre le fait que ses valeurs propres sont r´eelles pour α ≥ 0, certaines propri´et´es observ´ees dans le cas des op´erateurs autoadjoints :
– Les fonctions propres constituent-elles une base ?
– Le spectre deAα est-il stable sous perturbation de l’op´erateur ? – Que peut-on dire pour des valeurs n´egatives du param`etreα?
Certaines de ces questions ont d´ej`a ´et´e r´esolues, d’autres ont ´et´e formul´ees sous forme de conjectures. L’´etat d’avancement du sujet a ´et´e r´esum´e dans la sous- section 1.4.3.
Le principal objectif de ce chapitre est d’´etablir pourAαun r´esultat similaire `a ceux des Th´eor`emes 2.1.1 et 2.1.2 concernant l’instabilit´e spectrale des valeurs propresλn(α) quandn→+∞, dans le casα≥0 . Pour cela, on d´efinit comme pr´ec´edemment les indices d’instabilit´e
κn(α) =kΠn(α)k, (3.1.2)
97
98 CHAPITRE 3. L’OSCILLATEUR CUBIQUE COMPLEXE o`u Πn(α) d´esigne le projecteur spectral deAαassoci´e `a la valeur propreλn(α).
La premi`ere question `a r´esoudre est celle de la multiplicit´e alg´ebrique des valeurs propres de Aα, c’est-`a-dire celle de l’existence ou non de blocs de Jordan as- soci´es. Nous retrouverons que les valeurs propres λn(α) sont alg´ebriquement simples pour n suffisamment grand (r´esultat d´emontr´e pour tout n ≥ 1 dans [73]). Nous pourrons d`es lors utiliser, pourn suffisamment grand, l’expression (1.3.5). Cette expression nous permettra de d´eterminer comme pr´ecedemment un ´equivalent deκn(α) quandn→+∞.
Nous ´enon¸cons maintenant le r´esultat principal de ce chapitre. Il indique que les indices d’instabilit´e (3.1.2) deAα, pourα≥0 , ont un comportement `a l’infini semblable `a ceux des op´erateursA(1, θ) etA(2k, θ) du chapitre pr´ec´edent.
Th´eor`eme 3.1.1 Pour toutα≥0, on a
n→lim+∞
1
nlogκn(α) = π
√3. (3.1.3)
La preuve de ce r´esultat repose sur des techniques similaires `a celles employ´ees pour traiter le cas des oscillateurs anharmoniques pairs, notamment des estima- tions WKB des fonctions propres dans le plan complexe. La pr´esence du terme iαx nous obligera n´eanmoins `a ´etudier une ´equation dont le potentiel d´epend du param`etre semi-classiqueh. Par ailleurs, nous ne pourrons nous r´eferer `a un op´erateur autoadjoint associ´e comme nous l’avions fait dans le cas des oscilla- teurs anharmoniques.
Comme nous l’avions signal´e dans le chapitre pr´ec´edent, cette croissance rapide de la suite (κn(α))n≥1est incompatible avec l’existence d’une base de Riesz de fonctions propres deAα, voir la section 1.3.
La suite est organis´ee de la fa¸con suivante. La section 3.2 contient des g´en´eralit´es et des r´esultats d´ej`a ´etablis sur l’oscillateur cubique complexe. La section 3.3 est consacr´ee aux estimations de fonctions propres et aux r´esultats pr´eliminaires utilis´es pour prouver le Th´eor`eme 3.1.1. Enfin, la d´emonstration proprement dite est l’objet de la section 3.4.