L'instabilité du spectre des opérateurs non-auto-adjoints est le thème central de cette thèse. Je tiens à remercier Fr´ed´eric H´erau et André Martinez d’avoir accepté le rôle de rapporteur de ma thèse.
Op´erateurs non-autoadjoints et pseudospectre
Nous verrons plus loin, dans le cas général des opérateurs non bornés, que la croissance rapide du solvant à proximité des valeurs propres reflète une autre particularité des matrices ou opérateurs non bornés. auto-adjoints : l’instabilité du spectre. Comme nous l'avons observé, ces objets, plus stables sous les perturbations des opérateurs, sont mieux adaptés à l'étude des opérateurs non auto-adjoints que le spectre seul.
Pseudospectre et stabilit´e dans les probl`emes d’´evolution
A l’inverse, tout opérateur fermé n’est pas le générateur infinitésimal d’un semigroupe de contraction. Théorème 1.2.1 L'opérateur A génère un semi-groupe de contraction si et seulement s'il est accrétif au maximum.
Pseudospectre et indices d’instabilit´e
Une des raisons qui va nous amener à étudier les indices d'instabilité liés aux valeurs propres d'un opérateur est que leur valeur est liée à la taille du pseudospectre autour de la valeur propre correspondante. Dans les chapitres 2 et 3 nous étudions les indices d'instabilité associés aux valeurs propres λn des opérateurs de Schr¨odinger non auto-adjoints, à solvant compact, en dimension 1.
Mod`eles non-autoadjoints en dimension 1 : oscillateurs anhar-
L’op´erateur d’Airy complexe
Dans cette sous-section, nous rappelons les principales propriétés de l’opérateur complexe d’Airy. Rappels sur l'opérateur complexe d'Airy sur R. Dans cette section nous rappelons quelques résultats de [76] et [101].
L’op´erateur de Davies et les oscillateurs anharmoniques
En fait, nous obtiendrons des informations plus précises sur les indices d'instabilité de ces opérateurs lorsque n→+∞, puisque nous en définirons un développement asymptotique avec n'importe quel ordre de puissance den−1 . Notez que la méthode utilisée au chapitre 2 pour prouver le théorème 1.4.4 peut être utilisée pour obtenir un équivalent du premier ordre lorsque n→+∞deκn(m, θ) pour tout m ∈[1,+∞[ , sans être limité à casm= 1 du complexe d'opérateurs Airy ompair du théorème précédent.
Op´erateurs PT -sym´etriques
C'est l'opérateur défini dans L2(R) par. 1.4.26) Il est clair que Aα est PT-symétrique lorsque α est réel. Le théorème 1.4.11 et la proposition 1.3.3 permettent de récupérer l'absence d'opérateur métrique inverse borné dans le cas α≥0.
Aper¸cu des r´esultats g´en´eraux sur l’instabilit´e spectrale
INTRODUCTION sous la forme de la condition parenthèse de Poisson sur le symbole de l'opérateur. Ces résultats sont ensuite appliqués au cas de l'opérateur Kramers-Fokker-Planck.
Probl`emes non-autoadjoints en supraconductivit´e : le syst`eme de
Motivations
Dans ce contexte, le système Ginzburg-Landau dépendant du temps est le suivant. Dans cette thèse, nous considérons comme dans [7] le cas où le système ne comporte pas de champ magnétique.
Pr´esentation des r´esultats
Ces résultats nous permettront de déterminer le comportement des solutions au problème d'évolution associé à Ah. En fait, en utilisant une version raffinée du théorème de Gearhardt-Prüss (Théorème 1.2.2) établi dans [83], nous obtiendrons le résultat suivant.
Op´erateurs non-autoadjoints dans des probl`emes de contrˆole
Dans le cas du système dégénéré (1.7.1) considéré ici, nous verrons que la vitesse de propagation dépend de la vitesse de transport vγ dans la variable x. Dans le chapitre 5 [15] nous tentons de comprendre si le système (1.7.2) est observable dans une bande horizontale ou verticale, en fonction de la valeur de l'exposant γ.
Plan de la th`ese
En particulier, à l'instar des résultats du chapitre 4, nous déterminons la limite de la plus petite partie réelle des valeurs propres de ces opérateurs. Dans la section D.1 nous vérifions que les indices d'instabilité de ces opérateurs permettent les mêmes développements asymptotiques lorsqu'ils sont définis sur l'espace Lp(R) , p∈]1, +∞[.
L’op´erateur d’Airy complexe
D´ecomposition sur la demi-droite
Considérons maintenant les restrictions deuP et uI sur R+, toujours notées de la même manière, et soit AD(1, θ) et AN(1, θ) les réalisations de Dirichlet et Neumann sur R+ de l'opérateur Airy−dxd22 +eiθx . Notre étude s’appuiera en grande partie sur les propriétés de la fonction Airy.
La fonction d’Airy
Le cas de AN(1, θ) est analogue en substituant ce qui précède les zéros µn.
Indices d’instabilit´e
Il suffit de vérifier que la fonction ϕθ admet un unique point critique non dégénéré θ dans l'intervalle [ε,+∞[ et que ϕ′′θ(sθ)>0 , c' soit sθ est un point minimum pour ϕθ. On commence par se réduire à une intégrale sur l'axe réel grâce à l'holomorphie de la fonction Airy et sa diminution à l'infini dans le secteur.
Comportement des fonctions propres des oscillateurs anharmoniques
- Estimations WKB
- Lignes de Stokes du probl`eme autoadjoint
- Une nouvelle expression des indices d’instabilit´e
- Estimation de la norme des fonctions propres
L'objectif de la sous-section suivante est de vérifier que les hypothèses du théorème s'appliquent dans le cas de l'opérateur Ph(2k) de (2.3.1), c'est-à-dire avec f(x) =x2k−1, dans une région du complexe plan à définir, contenant le secteur Sθ/(2k+2). Une partie de ce travail repose sur l'étude des raies de niveau ReS, où S est la fonction définie par (2.3.4), appelées raies de Stokes de l'opérateur.
Construction d’un quasimode pour le probl`eme autoadjoint
Solution asymptotique pour un potentiel en puits simple . 76
Pour prouver ce théorème, nous procédons en trois étapes : construire une solution asymptotique u− et, de manière analogue, une solution asymptotique u+ au voisinage des points α(E) et β(E), respectivement ; étendre cette construction dans toute la partie classiquement autorisée [α(E), β(E)] ; et enfin recomposer ces solutions en une solution globale en utilisant la formule (2.4.2). Pour prouver l’existence de la fonction ψ de l’énoncé, nous utilisons le théorème des fonctions implicites. pour obtenir une fonction qui satisfait aux conditions souhaitées.
Dans la r´egion classiquement autoris´ee
Indices d’instabilit´e des oscillateurs anharmoniques pairs
- Une cons´equence du th´eor`eme spectral
- Raccordement des solutions
- Norme des solutions sur l’axe r´eel
- Conclusion : preuve du Th´eor`eme 2.1.2
La distance a(hn) séparant 1 de la valeur propre la plus proche est de l'ordre de. INDICATEURS D'INSTABILITÉ 87 La méthode des phases stationnaires (voir par exemple [74]) donne donc une séquence de fonctions (mj(ξ))j≥1 telle que.
Densit´e des fonctions propres dans L 2 (R)
Classes de Schatten
Les classes d'estimation Cp(H), 0< p < +∞, d'opérateurs bornés agissant sur H permettent une classification intermédiaire entre opérateurs de rang fini et opérateurs compacts. Si A ∈ K(H) est un opérateur compact agissant sur l'espace de Hilbert H, alors l'opérateur A∗A est compact et positivement auto-adjoint.
Estimation de la r´esolvante
Preuve du Th´eor`eme 2.1.4
Pour montrer que F est nul, on commence par noter que l’image numérique de A(2k, θ) est contenue dans le secteur fermé.
Propri´et´es des semi-groupes
D´ecomposition spectrale et estimation du reste
Si nous montrons que la même estimation est valable à l'intérieur du secteur Sθε, après que F soit un nombre entier, elle sera égale à zéro d'après le théorème de Liouville. Pour montrer que la série Σm,θ(t) converge réellement vers e−tA(m,θ), on utilise la densité de la famille bi-orthogonale (un,u¯n)n≥1 (voir [41]), où pour simplifier, on suppose que les fonctions propres sun sont normalisées par la condition hun,u¯ni= 1.
Remarque sur le th´eor`eme de Gearhardt-Pr¨ uss
Il s'agit notamment de savoir si l'opérateur Aα partage, outre le fait que ses valeurs propres sont réelles pour α ≥ 0, certaines propriétés observées dans le cas des opérateurs auto-adjoints. De plus, on ne pourra pas faire référence à un opérateur auto-adjoint associé comme dans le cas des oscillateurs anharmoniques.
Premi`eres propri´et´es concernant l’oscillateur cubique complexe . 98
- Changement d’´echelle
- Comportement des fonctions propres loin des points tour-
- Comportement des fonctions propres au voisinage d’un
- Raccordement
Pour déterminer la forme des solutions (3.3.2), comme dans la sous-section 2.3.2, il est utile d'étudier la géométrie des courbes de niveau (lignes de Stokes) de la fonction. Alors γh est l'image réciproque d'un rayon de la forme [−c,+∞[ avec la fonction ζ( , h) , qui est holomorphe à D(δ, η) pour δ suffisamment petit.
Estimation des indices d’instabilit´e
IfV is a Morse function with critical points in Ω, the behavior of the operator near the critical points prevails, and the model operator is a complex harmonic oscillator. SEMICLASSICAL SCR ¨ODINGER OPERATORS The aim of this paper is to understand the behavior as →0 of the smallest real part of λ(h), for λ(h)∈σ(Ah).
Simplified models
- Whole space model, and particular half-space models
- General current in the half-space
- Uniform resolvent estimate with respect to the angle
- Quadratic potential in the whole space
Since we are interested in the spectrum of A+, a question to consider would be the nature of the spectrum. However, we prove in the following lemma that we can control kukH2(Rn+) and kℓukL2(Rn+) separately, which gives a good description of the domain.
Local coordinates near the boundary
LOCAL COORDINATES NEAR THE BORDER We want to define the spectrum of the headquarters and control its resolution in a uniform way. LOCAL COORDINATES NEAR THE BORDER 141 where Ωij = −∂iϕ·∂j~ν are the coefficients of the second fundamental form of.
Lower bound for a potential without critical point
So far, we have checked each term appearing on the right-hand side of (4.4.17) separately. By definition of the functions χj,h, for everyj0∈Jint(h) , we have Suppχj0,h∩Supp χk,h =∅ except for a finite number (uniformly bounded with respect to hand j0) of indexsk, which we shall denote by {k1(j0), .
Lower bound for a Morse potential
LOWER BOUND FOR A MORSE POTENTIAL 151 According to subsection 4.2.1, we can assume after a rotation that Aj,h has the form. It remains to estimate the terms of the two last sums in the right-hand side of (4.5.8).
Upper bound for a potential without critical point in dimension 1 153
Restating the argument given at the end of the previous section, it is enough to prove the following.
Semigroups estimates
Application to the stability of the normal state in superconductivity159
- Stability of the normal state
- Origin of the problem
- Main results
- Bibliographical comments
- Structure of the paper
In particular, when β = 1/2, the diffusion in the variable v is strong enough to make System (5.1.3) observable in a horizontal bandω = Ω1×(a, b), but there is a finite information propagation speed from the observation location ω to the degeneracy set{v= 0}. The zero-controllability of parabolic equations degenerating at the boundary of the domain in one space dimension is well understood, but much less is known.
Nonobservability when γ > 3
Nonobservability on a vertical strip
Accurate spectral analysis
The purpose of this subsection is the proof of the second statements of Theorems 5.1.6 and 5.1.7, by applying the results of the previous subsection.
Semi classical analysis of the complex Airy operator (γ = 1)174
PARABOLIC OPERATORS WITH GCC We now control the various expressions on the right-hand side. The terms involving commutators can be evaluated as in step 1, thanks to (5.3.2), and we obtain.
Well posedness and Fourier decomposition
CONSERVATION AND FOURIER BOND 185Thus, for each k∈N∗,. 5.5.1) In what follows, with a slight misuse of vocabulary, this decomposition is called.
Observability on a horizontal strip
Global Carleman estimate
In this proposal, the weight β is common to Carleman estimates for the 1D heat equations; since its explicit expression will not be used in this article, we do not specify its properties. In particular, if we treat the term iλvγg as a lower-order term, to implement the Carleman estimate for the operator (∂t−∂v2), then, we can obtain a less sharp dependence M = O(λ2/3 ), which is not enough in this article.
Dissipation of Fourier components
The proof of this Carleman estimate is carried out in [13, Appendix], by revisiting the usual proof.
Proof of the positive statements of Theorems 5.1.6 and 5.1.7189
Trefet donne ensuite une description approximative du pseudospectre d'une matrice à valeurs propres distinctes, sans bloc de Jordan. Proposition A.1.2 Soit A un opérateur fermé dont le spectre est constitué de valeurs propres isolées simples et sans bloc de Jordan.
Premier terme du d´eveloppement des valeurs propres perturb´ees 192
La suite de la preuve en dimension infinie consiste à vérifier que le reste OB(t2) est uniforme par rapport à l'opérateur B choisi dans la perturbation. On recherche les zéros zB(t) de la fonction EB−+(t,·) comme points fixes de la fonction.
Preuve
Exemple mod`ele
Produit tensoriel d’op´erateurs autoadjoints ou sectoriels
Op´erateurs autoadjoints
Op´erateurs sectoriels
Perturbations PT -sym´etriques d’op´erateurs autoadjoints
Indices d’instabilit´e avec des vitesses de croissance variables
L’op´erateur d’Airy complexe
Construction de quasimode
Localisation exponentielle des valeurs propres
L’oscillateur harmonique complexe
