Exemple sur des images SAR à haute résolution

1.3. Modèle Non Gaussien sence de point de repère permettant de véritablement choisir entre différents mo- dèles. Les courbes théoriques permettent de délimiter les zones correspondant à certaines distributions (Gamma, Beta, Fisher...). Mais encore une fois, même si les moments ont été parfaitement estimés, la position à un endroit précis du plan ne permet pas à elle seule de préjuger de la nécessité d’utiliser un modèle de distribu- tion particulier. En effet l’intégralité du plan et des courbes de référence forment une figure invariante par changement d’échelle. Ainsi un point situé dans la zone des distributions de Fisher, ne garantit pas que l’utilisation d’outils déduits des distri- butions de Fisher apporte quoi que ce soit. Ce point peut être extrêmement proche d’une distribution gaussienne ! Cela ne dépendra véritablement que de l’échelle des axes de κ₂ et κ₃. Cette représentation ne permet pas de trancher sur le choix de la distribution tant qu’il n’existe pas de seuil qui nous permette rigoureusement de choisir une distribution.

−40 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

κ₃

κ 2

Gamma Gamma inverse Forêt

Piste Blé Maïs Fétuque Colza

Figure 1.6 – Illustration des estimés de paramètresκ2,κ3 sur une image haute résolution de Brétigny.

−40 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

κ₃

κ 2

Foret 1 Foret 2 Foret3 Herbe 1 Herbe 2 Herbe 3 Piste 1 Piste 2 Piste 3 Toit 1 Toit 2 Toit 3 Toit 4 Toit 5 Toit 6 Toit 7 Route 1 Route 2 Route 3 Toit 8 Toit 9 Toit 13 Herbe 4 Terre 1 Terre 2 Toit 10 Toit 11 Toit 12 Foret 4 Toit 14 Toit 15 Toit 16 Gamma Inverse Gamma

Figure 1.7 – Illustration des estimés de paramètresκ2,κ3 sur une image haute résolution de la ville de Toulouse.

1.3. Modèle Non Gaussien

Proposition de segmentation du plan κ2 / κ3.

L’idée principale proposée ici est un partitionnement de l’espaceκ2 /κ3, qui permettra de manière objective, de délimiter des zones dans lesquelles il est souhaitable d’utiliser des modèles non gaussiens. Nous illustrons cette idée d’une manière assez simple en comparant uniquement le modèle gaussien et le modèle SIRV. Évidemment l’idée peut être reprise et développée pour tester l’intégralité des modèles rencontrés dans ce plan (Gamma, Beta, etc.), proposant ainsi une segmentation complète du plan et permettant à partir de don- nées réelles (et avec toutes les précautions évoquées plus haut) de choisir immédiatement le modèle le plus adapté.

Nous ne proposons pas ici de méthode permettant d’effectuer cette partition de manière théorique. Je doute d’ailleurs que ce ne soit en pratique réalisable dans la mesure où nous nous intéressons à des performances réelles, et non asymptotiques. Nous cherchons ainsi par exemple à juger de la qualité des classifieurs basés sur deux modèles (ici pour l’exemple Gaussien et SIRV), pour différentes lois de textures, et différents paramètres de lois. La méthode que nous proposons permettra d’étudier les performances non asymptotiques mais fera alors appel à des méthodes de Monte Carlo.

Protocole. La segmentation du planκ2 /κ3 s’effectue de la manière suivante :

1. Nous choisissons un pavage régulier, ou aléatoire du plan κ2 / κ3 en choisissant di- verses lois, ainsi que différents paramètres pour ces lois. Pour chacun de ces "points", nous effectuons un tirage d’un nombre fini de données, sur lesquelles nous allons alors estimer les paramètres κⁱ₂ / κⁱ₃ qui donneront la position estimée du point dans le plan. Ce nombre fini doit être similaire à celui que nous utiliserions si nous estimions ces paramètres sur des données réelles.

2. Pour la loi et les paramètres de loi associés à cette position, nous allons effectuer un très grand nombre de tirages de groupes de données. Pour chaque groupe de données, les tests de classification ou distances statistiques issus des modèles (ici gaussien et SIRV) sont calculés, et leurs performances mesurées. Le protocole exact qui permet de calculer la probabilité de détection pour une fausse alarme donnée est décrit en détail plus loin dans le manuscrit. Le nombre de tirages de groupe de données est alors suffisamment important pour déterminer quel outil propose dans ces conditions non asymptotiques (nombre d’échantillons limités), les meilleures per- formances (probabilité de bonne classification/segmentation). Ici, nous comparons uniquement deux modèles, mais il serait tout à fait possible de tester tous les modèles et d’enregistrer lequel propose, en cette position du plan, les meilleurs performances.

3. Nous disposons alors d’un nuage de points qui recouvrent une bonne partie du plan κ₂ / κ₃ (figure 1.8). Pour chacun de ces points nous connaissons le modèle qui permettra d’obtenir les meilleures performances, dans ces conditions non asympto- tiques. Il reste alors uniquement à chercher là où les frontières où les performances des modèles sont similaires.

Le Coeur de Wishart

Cette frontière, qui permet de séparer les distributions SIRV et gaussiennes dans le planκ2 /κ3 n’a pas du tout la forme circulaire centrée en 0 que nous aurions pu attendre.

Figure 1.8 – Illustration des estimés de paramètresκ2,κ3 sur une image haute résolution de la ville de Toulouse. En haut à gauche, les tirages associés à une distribution de Fisher, en haut à droite dans le cas d’une distribution de type Beta (et inverse). En bas, l’ensemble des tirages. Nous ne présentons ici qu’un nombre de tirage restreint.

1.3. Modèle Non Gaussien Cette frontière a une forme générale de coeur (figure 1.9). Elle n’est pas vraiment bien définie au niveau inférieur car en tirant aléatoirement des paramètres de lois Bêta ou Fisher, peu de tirages aboutissent à des log moments situés dans cette zone. On peut toutefois noter que le modèle gaussien reste plus performant que le modèle SIRV jusqu’à des valeurs assez importantes de ces logs-moments κ2 = 3, κ3 =−3.

Figure1.9 – Illustration des frontières dans le planκ2,κ3 sur une image haute résolution de la ville de Toulouse.

La frontière montrée ici est très approximative, et nécessiterait un nombre bien plus important de tirages. Ces résultats ne sont qu’un avant-goût d’un projet de segmentation complet du plan en sections correspondant à des outils génériques (SIRV), ou dédiées à des distributions particulières (Fisher, Beta, Gamma). Nous pouvons toutefois conclure, en observant la position des points obtenus sur les données réelles de l’image de Toulouse et de Brétigny, qu’une proportion importante des points est située à l’intérieur de la zone gaussienne, ou à la frontière des deux domaines. Nous pouvons nous attendre alors à observer des performances qui favorisent encore l’utilisation de modèles gaussiens, ou un apport faible des modèles non gaussiens. Nous aurons l’occasion de vérifier ceci dans le chapitre 2.