.
Dans cette section nous allons proposer une famille de détecteurs fondée sur une lo- gique géométrique inspirée des deux processus de détection que nous venons d’étudier.
L’objectif était initialement d’obtenir un compromis entre les performances sur fouillis gaussiens et non gaussiens, ainsi que d’améliorer la robustesse en fouillis non gaussien.
Les résultats dépassent nos espérances et permettent de concevoir des détecteurs robustes et plus performants que les deux méthodes pour des gammes importantes de rapport signal à bruit en fouillis non gaussien.
Notons ˆyS = (ˆs†Σ−1ˆy)/(ˆs†Σ−1ˆs) la projection de ˆy sur l’espace signal ΩS et ˆyN = ˆ
y−ˆyS la projection de ˆysur l’espace bruit. Nous définissons la famille de détecteur hy- bride D de la façon suivante :
Définition. Un détecteur appartient à la famille D si sa région de décision ΩD peut s’écrire :
ΩD ={yˆ:kˆySk
H1
≷
H0
√τDf(kˆyNk), (3.6) où τD est un seuil calculé pour assurer la fausse alarme désirée et f(x) une application de R+ dans R vérifiant les propriétés suivantes :
3.2. Les détecteurs hybrides Efficacité ∀x∈R+, df
dx(x)≥0, i.e. f(x) est croissante sur R+;
Robustesse ∃M ∈R+:∀x∈R+, f(x)≤M, i.e. f(x) est bornée sur R+.
La propriété d’eficacité et de robustesse a été choisie afin de garantir que cette classe contienne majoritairement des "bons" détecteurs. En effet une fonction f quelconque peut être utilisée, mais ne produira pas nécessairement un détecteur intéressant. Plus on s’éloigne de l’espace signal angulairement, plus l’amplitude nécessaire pour être ac- ceptée est importante. L’objectif étant d’accepter, comme le GLRT-SIRV, les mesures de faible amplitude qui sont très proches du signal, et comme le GLRT-GAUSS d’accepter les mesures plus éloignées de l’espace signal, si elles ont une amplitude suffisante.
La propriété de robustesse consiste à imposer qu’asymptotiquement, le comportement du détecteur va suivre celui du GLRT-GAUSS et va permettre ainsi une plus grande robustesse à une erreur sur le signal recherché. Il est en fait possible de démontrer le théorème suivant :
Théorème 2. (Robustesse de la famille D) Tout détecteur appartenant à la famille D est α-robuste pour tout 0≤α < π/2.
La démonstration est fournie dans [49]. Cette définition permet de regrouper ces dif- férentes approches et aussi de construire plus simplement des détecteurs encore plus ef- ficaces. Nous allons maintenant présenter les détecteurs pouvant ou non appartenir à la classe définie ci-dessus.
Exemples de détecteurs hybrides, et appartenance à la classe D.
Figure 3.6 – Zone d’acceptation du détecteur GLRT-GAUSS
1. Le GLRT-GAUSS est un cas particulier des détecteurs de classe D. Il correspond à la fonction f(x) = 1. Il vérifie bien les deux propriétés d’efficacité et de robustesse.
La partition de l’espace de ce détecteur est représentée sur la figure 3.6.
Figure 3.7 – Zone d’acceptation du GLRT-SIRV
2. Le GLRT-SIRV, bien que définissable par la fonction f(x) = x, n’est pas borné.
Il vérifie uniquement la propriété d’efficacité, mais comme nous l’avons vu il n’est pas robuste, et n’appartient donc pas à la classe D. La partition de l’espace de ce détecteur est représenté sur la figure 3.7.
Figure 3.8 – Zone d’acceptation du détecteur de Kelly 3. Le Détecteur de Kelly, défini dans [63], par le test
|ˆs†Σ−1yˆ|2 (ˆs†Σ−1ˆs)(1 +ˆy†Σ−1y)ˆ
H1
≷
H0
τK, (3.7)
correspond à la fonction f(x) = √
1 +x2. Comme le GLRT-SIRV, il vérifie la pro- priété d’efficacité, mais n’est pas robuste. La partition de l’espace de ce détecteur est représentée sur la figure 3.8.
3.2. Les détecteurs hybrides
Figure 3.9 – Zone d’acceptation du détecteur ASB
4. Le détecteur ASB (Pour Adaptive Sidelobe Blanker), proposé par Richmond dans [64]. Richmond est le premier à avoir proposé un processus de détection hybride, inspiré des deux détecteurs GLRT-GAUSS et GLRT-SIRV. Il effectue ainsi une opération logique de type ET entre le GLRT-GAUSS et le GLRT-SIRV. Il peut être décrit pas l’application suivante :
f(x) =
( 1 pour x∈[0,1/√τASB],
√τASBx pour x∈[1/√τASB,+∞[, (3.8) Comme le précédent, ce détecteur est efficace, mais non robuste car il a un compor- tement asymptotiquement équivalent à un GLRT-SIRV. La partition de l’espace de ce détecteur est représentée sur la figure 3.9.
Figure 3.10 – Zone d’acceptation du détecteur OU
5. La famille OU :dans la logique précédente, il est possible de construire un détecteur en utilisant l’opération logique OU. Nous l’avons ainsi proposé dans [50]. Il peut être défini par la fonction,
f(x) =
(√τORx pour x∈[0,1/√τOR],
1 pour x∈[1/√τOR,+∞[. (3.9) Ce détecteur vérifie les propriétés d’efficacité et de robustesse. Il est intéressant car il permet d’accepter les signaux de faible amplitude suffisamment proches du signal, mais permet aussi d’accepter les signaux de forte amplitude même s’ils sont moins
proches du signal recherché. La partition de l’espace de ce détecteur est représentée sur la figure 3.10.
Figure 3.11 – Zone d’acceptation du détecteur PWL3
6. Le détecteur PWL3, (Pour PieceWise Linear, ie linéaire par morceau). Cette famille de détecteur peut être vue comme l’amélioration logique des deux détecteurs précé- dents. Il est défini par une fonctionf linéaire par morceaux à 3 paramètres (2 fixés, 1 déterminé par la fausse alarme). Il peut aussi être interprété comme l’opération logique OU, appliquée entre le détecteur ASB, et le détecteur GLRT-GAUSS. Ainsi il peut s’écrire :
f(x) =
1 pour x ∈
0,√τP W L,11
,
√τP W L,1x pour x∈
√τP W L,11 ,√√ττP W L,2P W L,1
,
√τP W L,2 pour x∈
√
τP W L,2
√τP W L,1,+∞
.
(3.10)
Par rapport au détecteur OU, ce détecteur permet de gagner en performance à rapport signal à bruit intermédiaire, ce qui correspond à des plages intéressantes de probabilités de détection (de 0.5 à 0.9). Il sacrifie par contre les performances à très faible rapport signal à bruit, mais où les performances sont faibles (Probabilité de détection <0.3). Il appartient à la famille D car il est à la fois efficace et robuste.
La partition de l’espace de ce détecteur est représentée sur la figure 3.11. Dans la même idée il est possible de généraliser cette approche avec des détecteurs du type PWLN, linéaires par morceau avec N degrés de liberté.