la déformation de l’objet ne doit pas entraîner de rupture visible en surface, ou une hétérogénéité des déplacements ;
Contrainte lambertienne : la surface doit être et rester globalement lambertienne, c’est-à-dire que la luminance en tout point de cette surface doit être indépendante de la position d’observation et de sa déformation (dans le cas contraire, les reflets spéculaires des sources d’éclairement mettent en échec la plupart des méthodes surfaciques).
Soit mc =(u vc )c T un point de l’image de référence, habituellement le centre du domaine de corrélation, et m=( )u v T un point de ce domaine. En ce point m, la transformation Φ s’écrit :
( ) ψ( )
Φ m = +m m (3.4) où ψ( )m est le déplacement au point m. En écrivant le développement limité de ψ( )m au voisinage de m , on obtient une expression c Φc de Φ en fonction des variations locales de ψ aux différents ordres :
( )
2 2
( , ) ( ) ( ) 1( ) . .( ) ( ) .( )
c 2 c
T T
c c ψ c ∂ψ c c ∂ψ c o c c
Φ = + + − + − − + − −
∂ m ∂ m
m m m m m m m m m m m m m m
m m
(3.5) Cette expression tronquée à différents ordres conduit à différentes approximations
( , , )
c c
Φ m m p de Φ( )m autour du pointm , définissant diverses variantes de la méthode c de corrélation. Le vecteur p est le vecteur des paramètres de l’approximation de la transformation locale.
Ordre 0
A l’ordre 0, les variations de déplacement sur le domaine de corrélation sont supposées nulles. C’est la modélisation la plus simple qui conduit à considérer que Φ est localement une translation autour du point mc :
( , , )
c c
Φ m m p = +m t avec u
v
t t
t = (3.6) Le vecteur p des paramètres de l’approximation de la transformation locale à l’ordre 0 est égale au vecteur t. [MURAT1997]
Ordre 1
A l’ordre 1, la transformation est représentée par une translation et une déformation locale homogène sur le domaine de corrélation en supposant des variations linéaires du champ de déplacements. Cela conduit à une transformation affine d’expression :
( , , ) u v ( )
c c c
u v
a a b b
Φ = + −
m m p m t + . m m (3.7)
où les termes a a b b paramètres des différents transformations (élongation, u, v, u, v rotation, …). Le vecteur p est composé des six paramètres de l’approximation de la transformation locale à l’ordre 1 : p =(t ,t ,a a b bu v u, v, u, v)T [FLEET1992 ;GERMAIN1999]
Ordre 2
A l’ordre 2, la transformation est une expression quadratique à 12 paramètres [WAXMAN1985]:
2 2
2 2
( )( ) ( ) ( )
( , , ) ( )
( )( ) ( ) ( )
u v uv c c uu c vv c
c c c
u v uv c c uu c vv c
a a a u u v v a u u a v v
b b b u u v v b u u b v v
− − + − + −
Φ = + − +
− − + − + −
m m p m t + . m m
(3.8)
III.3.2. Coefficients de corrélation
Les méthodes d’appariement par corrélation sont basées sur une mesure de similarité entre deux domaines de pixels. Afin de rendre cet appariement le plus discriminant possible, il est préférable d’exploiter de grands domaines de corrélation. Cependant, non seulement les temps de calcul deviennent élevés, mais l’hypothèse d’homogénéité de la déformation sur le domaine est mise en défaut. Il y a donc un compromis à faire pour la taille du domaine de corrélation. Généralement, ce choix est guidé par l’expérience.
Appelons m un pixel de l’image I de référence, c V(m l’ensemble des N pixels c) voisins du pointm , et I’ l’image déformée. Nous notons p le vecteur des paramètres de c l’approximation de la transformation locale autour du point m , c'est-à-dire selon c l’équation (3.6), (3.7) ou (3.8). Le point mde l’image I a pour homologue le point
( , , )
c c
Φ m m p dans l’image déformée I’. Tous les critères de corrélation C que nous allons présenter peuvent alors se formuler selon l’équation suivante :
( )
( , ) ( , , )
i c
c c i
V
C p ε
∈
=
∑
m m
m m m p (3.9) Les différents critères de corrélation se différencient dans l’expression de la fonctionnelle (ε m m p . Nous allons passer en revue les quatre expressions des critères c, i, )
classiques, dénotés SSD, ZSSD, NCC et ZNCC [ASCHWANDEN1992, FAUGERAS1993].
Critère SSD (Somme des différences au carré)
La mesure Sum of Squared Differences (SSD) est définie par l’équation (3.9) dont la fonctionnelle (ε m m p a pour expression : c, i, )
[
2 1]
2( c, i, ) I ( c( c, i, )) I ( i)
ε m m p = Φ m m p − m (3.10) Ce critère correspond au carré de la norme l2 évaluée sur les N points du voisinage de m , entre les fonctions c I1et I2 correspondant respectivement à l’image de référence et à l’image déformée. Notons que deux domaines de corrélation identiques annulent ce critère.
Critère ZSSD (moyenne nulle de la somme des différences au carré)
La version centrée de SSD est le critère Zero mean Sum of Squared Differences (ZSSD). Elle est définie par l’équation (3.9) dont la fonctionnelle (ε m m p a pour c, i, ) expression :
(
2 2) (
1 1)
2( c, i, ) I ( c( c, i, )) I I ( i) I
ε m m p = Φ m m p − − m −
(3.11) où I1 et I2 sont les niveaux de gris moyens respectivement sur les domaines de corrélation de l’image de référence et de l’image déformée, et ont pour expression :
1 1
( )
1 ( )
i c
i V
I I
N ∈
=
∑
m m
m et 2 2
( )
1 ( ( , , ))
i c
c c i
V
I I
N ∈
=
∑
Φm m
m m p
(3.12) où N est le nombre de pixels de V m . Notons que deux domaines de corrélation ( i) identiques à une valeur additive k près annulent ce critère.
Critère NCC (Corrélation croisé normalisée)
La mesure Normalized Cross Correlation (NCC) est définie par l’équation (3.9) dont la fonctionnelle (ε m m p a pour expression : c, i, )
(
1 1)
2 2(
2)
2( ) ( )
( ). ( ( , , ))
( , , )
( ) ( ( , , ))
j c j c
i c c i
c i
j c c j
V V
I I
I I
ε
∈ ∈
= Φ
∑ ∑
Φm m m m
m m m p
m m p
m m m p
(3.13)
A la différence des deux critères précédents, celui-ci prend la valeur unité lorsque les deux domaines de corrélation sont identiques à un facteur multiplicatif non nul près.
Critère ZNCC (moyenne nulle de la corrélation croisée normalisée)
Le critère Zero mean Normalized Cross Correlation (ZNCC) est défini par l’équation (3.9) avec une fonctionnelle (ε m m p qui a pour expression : c, i, )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
( ) ( )
( ) . ( ( , , ))
( , , )
( ) ( ( , , ))
j c j c
i c c i
c i
j c c j
V V
I I I I
I I I I
ε
∈ ∈
− Φ −
=
∑
−∑
Φ −m m m m
m m m p
m m p
m m m p
(3.14)
où I1 et I2 sont les niveaux de gris moyens respectivement sur les domaines de corrélation de l’image de référence et de l’image déformée. La soustraction de chaque niveau de gris par leur moyenne sur leur domaine respectif permet de rendre ce critère invariant à une valeur additive près des niveaux de gris d’un des deux domaines. De plus, ce critère est, comme le critère NCC, invariant à un facteur multiplicatif non nul près des niveaux de gris d’un des deux domaines. Cette propriété rend ce critère particulièrement robuste aux changements d’illumination de l’objet observé entre l’image de référence et l’image déformée.
III.3.3. Techniques d’estimation de la transformation locale
Le problème de l’estimation des paramètres de la transformation locale passe par la résolution de problèmes de minimisation de la forme :
arg min (C c, )
= p
p m p
(3.15)
où le vecteur de paramètres p est celui du modèle choisi de transformation locale, et C un critère de corrélation. Les deux critères CSSD et CZSSD s’expriment sous la forme d’une somme d’erreurs quadratiques. On peut donc utiliser une méthode de minimisation telle que celle de LEVENBERG-MARQUARDT [LEVENBERG1944]. En revanche, les critères CNCC et CZNCC ne s’expriment pas sous cette forme, et nécessitent donc
l’utilisation d’une technique d’optimisation de fonction objective telle que la méthode de descente du gradient ou la méthode du gradient conjugué.
Ces méthodes numériques nécessitent la connaissance d’une estimée initiale de chacun des paramètres à calculer, notamment la position approximative de l’appariement (c’est-à-dire une connaissance des paramètres de translation tu et tv du modèle de la transformation locale utilisé). Cette dernière peut-être obtenue en utilisant une méthode classique d’appariement par corrélation, comme la recherche bidimensionnelle en coordonnées entières dans une région de l’image suffisamment grande pour être certain qu’elle contient l’appariement. L’estimation de ce dernier est alors le point qui maximise la mesure de ressemblance.