l’utilisation d’une technique d’optimisation de fonction objective telle que la méthode de descente du gradient ou la méthode du gradient conjugué.
Ces méthodes numériques nécessitent la connaissance d’une estimée initiale de chacun des paramètres à calculer, notamment la position approximative de l’appariement (c’est-à-dire une connaissance des paramètres de translation tu et tv du modèle de la transformation locale utilisé). Cette dernière peut-être obtenue en utilisant une méthode classique d’appariement par corrélation, comme la recherche bidimensionnelle en coordonnées entières dans une région de l’image suffisamment grande pour être certain qu’elle contient l’appariement. L’estimation de ce dernier est alors le point qui maximise la mesure de ressemblance.
Pour chaque fenêtre Wind1, Wind2* maximise la mesure de corrélation ainsi:
(
W1, W2*)
=( *, *)/u vmaxROI{ (
W1, W2) }
C I I C I I (3.20)
où
( )
2* ij ( *, *)
W = It+∆t =It+∆t i u+ j+v
I (3.21)
et ( *, *)u v représente les deux composantes inconnues du vecteur déplacement w*(u*,v*) . Considérons deux matrices IW1 et IW2de dimension (N,M). La fonction de corrélation CV(.,.) que nous choisissons pour chaque paire d’images est la CZNC.
t+∆t
t+∆t
M-1 N-1
t t +∆t
i=0 j=0
1 2 M-1 N-1 2 2
t t +∆t
i=0 j=0
- I - I
( , ) =
- I - I
ij ij
t
V W W
ij ij
t
I I
I I
∑∑
∑∑
C I I (3.22)
où It et It+∆t représentent les valeurs moyennes respectives de It et It+∆t définies comme:
1
ij t ij W
I
M N
= ×
∑
I 2
ij t t ij W
I
M N
+∆
= ×
∑
I (3.23)
Comme avec la plupart des algorithmes de corrélation, nous devons déterminer une stratégie de recherche. Le point crucial est de déterminer efficacement la taille de la région d’intérêt dans la deuxième image (Image 2) afin de minimiser les temps de calcul de l’algorithme. L’idée de base est que pour des petits déplacements, il faut considérer des zones d’intérêt plus petites tandis que pour des déplacements plus grands, il faudrait des zones d’intérêt plus larges. L’inconvénient des zones d’intérêt larges est la probabilité plus importante d’obtenir des solutions non significatives. Ce dilemme peut être résolu en jouant sur la taille de la fenêtre (bloc) de recherche Wind1.
III.4.2. Optimisation de la couverture ou Zone d’Intérêt (ZI).
Pour une fenêtre rectangulaire Wind1 de taille (si1×si2) centrée en (Xtkl,Ytkl) dans Image 1, nous définissons une zone d’intérêt (ZI) centrée en (Xtkl+∆t,Ytkl+∆t) dans Image 2, de taille ((si1+(ka×si1)×(si2+(ka×si2))), où ka est un facteur d’échelle (ka ≥ 1). Nous commençons la recherche de la fenêtre cible en considérant une ZI deux fois plus large que la fenêtre Wind1 (ka=1). Si l’entropie au rang ka+1 est supérieure à l’entropie au rang ka on continue la boucle en passant à une couverture plus grande (ka→ka+1).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figure. 3.5 : Evolution de la mesure de corrélation en fonction du facteur d’échelle de la zone d’intérêt lors de l’expérience de traction. Pour un facteur ka=1 (A), la recherche n’est optimale que pour une petite fraction du carré. En (B) le suivi du mouvement n’est pas optimisé dans la fraction du bord droit. Corrélations optimales en (C).
III.4.3. Détermination des champs de déplacements et de déformations.
Pour chaque fenêtre trouvée Wind2*, centrée en (Xtkl+∆t,Ytkl+∆t) et sa fenêtre de référence associée Wind1 centrée en (Xtkl,Ytkl) au temps t, le champ de déplacement wt tkl,+∆t entre t et t+∆t est donné par:
,
, kl t,t+ t kl
t t t kl
t t t
u v
∆
+∆ +∆
=
w =
kl kl
t+ t t
kl kl
t+ t t
X X
Y Y
∆
∆
−
− (3.24) k
l
Sous l’hypothèse des petites déformations, on peut évaluer les composantes du tenseur des petites déformations entre deux images successives comme:
, ,
t t t xx t t
u ε +∆ =∂ x+∆
∂ yy t, t vt t, t ε +∆ =∂ y+∆
∂ , 1 , ,
2
t t t t t t
xy t t
u v
y x
ε +∆ = ∂ +∆ +∂ +∆
∂ ∂
(3.25)
Numériquement, on peut calculer ces dérivées en utilisant des différences finies centrées.
( 1) ( 1)
, ,
, ( 1) ( 1)
k l k l
t t t t t t
kl
xx t t k l k l
u u
X X
ε +∆ = +∆++ − +∆−−
−
( 1) ( 1)
, ,
, ( 1) ( 1)
k l k l
t t t t t t
kl
yy t t k l k l
v v
Y Y
ε +∆ = +∆++ − +∆−−
−
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
, , , ,
, ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 2
k l k l k l k l
t t t t t t t t t t t t
kl
xy t t k l k l k l k l
u u v v
Y Y X X
ε +∆ = +∆++ −− +∆−− + +∆++ −− +∆−− (3.26) Plus généralement, comme l'objet de la cinématique est la description du mouvement des corps dans l'espace-temps et ce de façon indépendante des causes et des lois qui les régissent, celle-ci peut se limiter à l'étude de l'application
0,
Φt t qui, à chaque instant t, associe la position de chaque point matériel M du continu. En supposant connue une configuration de référence C0 prise à un instant t0, dans laquelle la position de M est notée X et en notant Ct la configuration courante (à l'instant t) dans laquelle la position de M est notée x, l'application
0,
Φt t s'écrit : 0, : 0
t t C Ct
Φ →
X֏x
(R. 3.1)
Les variables X = Xiei et t, respectivement associées à l'espace et au temps, sont appelées les variables de Lagrange. Ici ei (i=1,2,3) représente la base cartésienne.
L'application
0,
Φt t représente la description Lagrangienne (L) du mouvement et caractérise la transformation d'un milieu continu, à un instant t fixé, entre une configuration initiale C0 et une configuration courante Ct. Comme en physique il est courant de confondre une application avec sa valeur prise en un point, nous écrirons x=x(X,t)=xi(X,t)ei. Si pour suivre la trajectoire d'un point, on observe la différence de position entre deux configurations, alors l'introduction du déplacement w(X,t) d'une particule entre les configurations C0 et Ct permet d'écrire la transformation sous la forme
x(X, t) = X + w(X, t) (3.27)
Considérons la transformation d'un bipoint de mesure infiniment petite défini par dX dans C0 et dx dans Ct. En mécanique des milieux continus, on se limite à l'application linéaire tangente définie par la matrice jacobienne
t ,t0
F pour définir localement la transformation de la configuration initiale Ct0 à la configuration courante Ct :
dx = Fto,t (X,t) . dX (3.28)
où le tenseur gradient de la transformation Fto,t (X,t) a pour composantes Fij = dxi/dXj dans la base ei⊗ej :
0
1 1 1
1 2 3
2 2 2
,
1 2 3
3 3 3
1 2 3
i j
t t
e e
x x x
X X X
x x x
F X X X
x x x
X X X ⊗
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
(3.29)
Il est possible à partir du traitement de toute la séquence d’images, effectuer par étapes et toujours entre deux configurations successives, de référer le mouvement final par rapport à une configuration initiale. En effet, notons que la matrice jacobienne d'une composée de fonctions est le produit des matrices jacobiennes de ces fonctions. Cette propriété permet de décomposer le gradient de la transformation sous forme de produits simplement contractés (Fig. suivante)
Figure 3.6 : décomposition du gradient de la transformation
0,
Ft t entre t0 et t.
0 0 0 0
0 0 0 0 0
, , 2 2 , ,
, , , 2 2 , ,
...
...
t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t t t t t
C +∆ C +∆ + ∆ C− ∆ −∆ C−∆
+∆ +∆ + ∆ − ∆ −∆ −∆
→ → → →
Φ = Φ Φ Φ Φ
(3.30)
D'où par simple application des propriétés de la matrice jacobienne,
C
0F
t t0,0+∆tC
∆tC
t−∆tF
t−∆t t,C
t0, , 2 , ... 0 ,0 2 0,0
t t = t−∆t t• t− ∆ −∆t t t• • t+∆t t+ ∆t• t t +∆t
F F F F F (3.31)
Il existe plusieurs tenseurs du second ordre décrivant les déformations locales d'un corps. Dans ce travail nous nous limiterons au tenseur des déformations de Green- Lagrange défini par :
( )
=1 -
2
0 0
t ,t t ,t
E C I (3.32) où C est le tenseur droit de dilatation de Cauchy-Green droit défini par :
( )
, , ,
0 0 0
T
t t t t • t t
C = F F (3.33) où
( )
Ft t0, T est la transposée du tenseur ,t t0
F .