PARTIE 2 Travaux de Recherches 25
2.2 Mod´elisation du comportement de la commande num´erique
La phase d’interpolation de la trajectoire consiste `a g´en´erer les consignes de position pour chacun des axes de mani`ere ´echantillonn´ee selon la p´eriode de la boucle d’asservissement de position. En usinage `a 5 axes, la premi`ere ´etape est la transformation g´eom´etrique qui permet de transformer les coordonn´ees programm´ees dans l’espace pi`ece en coordonn´ees articulaires.
La commande num´erique effectue ensuite la synchronisation temporelle des axes de la machine en tenant compte des limitations cin´ematiques de chacun des axes. Pour cela, la CN peut ˆetre amen´ee `a modifier la trajectoire (arrondissement des angles selon une tol´erance) et `a diminuer la vitesse d’avance.
Nous avons choisi d’utiliser un formalisme particulier pour exprimer les limites des diff´erents composants influenc¸ant le suivi de trajectoire. Ce formalisme consiste `a exprimer une caract´eristique cin´ematique d’un axe de la machine (position, vitesse, acc´el´eration et jerk) ind´ependamment de la nature du mouvement ´etudi´e. Il peut ˆetre consid´er´e comme une extension de la m´ethode de programmation dite en«inverse du temps»[ISO 6983-1]. Le principal avantage de ce forma- lisme est qu’il permet de comparer les performances cin´ematiques des axes de translation et des axes de rotation. Pour une trajectoire consid´er´ee, nous pouvons d´eterminer directement quel est l’axe limitant vis `a vis des caract´eristiques suivantes : vitesse maximale, acc´el´eration maximale et jerk maximum. Le raisonnement peut alors ˆetre men´e, quelle que soit la structure m´ecanique articul´ee et quel que soit le nombre d’axes. Il nous permet ´egalement de prendre en compte des performances du directeur de commande num´erique, purement temporelles, telles que le temps de cycle d’interpolation. Une fois le d´eplacement de chaque axe exprim´e dans l’espace adimen- sionn´e, la coordination des axes est effectu´ee en inverse du temps. Le pilotage s’effectue alors
directement en fonction des performances cin´ematiques disponibles.
Les points principaux de la mod´elisation sont abord´es ci-apr`es mais de plus amples d´etails fi- gurent dans l’article intitul´e«Kinematical performance prediction in multi-axis machining for process planning optimization»publi´e dans International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol 37(5-6), 534-544, 2008, et propos´e dans la partie 3 du document.
2.2.1 Le formalisme en inverse du temps
Afin d’illustrer les bases sur lesquelles a ´et´e bˆati le mod`ele, voici un exemple simple per- mettant d’illustrer l’approche en inverse du temps (figure 1.3). Entre deux configurations articu- laires P1et P2, la commande num´erique effectue une interpolation proportionnelle dans l’espace articulaire. Tous les axes sont synchronis´es de telle sorte qu’ils partent de P1 et arrivent en P2 en mˆeme temps.
FIG. 1.3: Illustration du formalisme en inverse du temps
Aussi, `a chaque instant on peut ´ecrire :
−→P12=α·−−→
P1P2 (1.1)
avecαla fraction de d´eplacement consid´er´ee etα∈[0,1]. Si on projette cette relation sur chacun des axes de la machine la position de l’axe i consid´er´e est d´efinie dans le formalisme en inverse du temps par :
ˆ
pi= P12i
∆P12i ∼α (1.2)
avec∆P12i =P2i−P1i.
En proc´edant par d´erivations successives, on d´etermine la formulation en inverse du temps de la vitesse, de l’acc´el´eration et du jerk de l’axe i :
ˆ
vi= vi12
∆P12i ∼ 1
∆t (1.3)
ˆ
ai= ai12
∆P12i ∼ 1
∆t2 (1.4)
ˆji= ji12
∆P12i ∼ 1
∆t3 (1.5)
2.2.2 Prise en compte des contraintes cin´ematiques
Pour chaque d´eplacement et pour chacune des caract´eristiques cin´ematiques, il existe un axe limitant i en terme de vitesse maximum, un autre axe i, ou le mˆeme, en terme d’acc´el´eration maximum et de mˆeme pour le jerk maximum. Aussi nous d´efinissons trois contraintes `a respec- ter afin de synchroniser les axes lors du d´eplacement :
Vˆmaxaxis=min(vimax
∆P12i ) (1.6)
Aˆ axismax=min(aimax
∆P12i ) (1.7)
Jˆmaxaxis=min(jimax
∆P12i ) (1.8)
En ce qui concerne la vitesse, celle-ci est ´egalement limit´ee par le temps de cycle d’interpo- lation de la commande num´erique Tcycle timeet par la vitesse d’avance de l’outil programm´ee. Il s’agit donc de deux contraintes suppl´ementaires :
Vˆf =Vf prog
L12 (1.9)
VˆmaxNC = 1
Tcycle time (1.10)
Donc finalement, lors de la reconstruction des profils cin´ematiques, les contraintes suivantes devront ˆetre respect´ees :
0≤vˆ≤min(Vˆmaxaxis,Vˆf,VˆmaxNC)
−Aˆ axismax≤aˆ≤Aˆaxismax
−Jˆmaxaxis≤ ˆj≤Jˆmaxaxis
(1.11)
2.2.3 Calcul des profils cin´ematiques
Ensuite, `a partir des contraintes pr´ec´edemment calcul´ees, l’´evolution de la position, de la vitesse et de l’acc´el´eration de chaque axe est calcul´ee en fonction du temps. Le principe consiste
`a calculer les profils cin´ematiques dans l’espace adimensionn´e, puis `a les projeter le long de la trajectoire pour retrouver le profil par axe. Pour obtenir des profils cin´ematiques proches des profils r´eels, nous avons pris en compte certains param`etres et principes de fonctionnement de la CN. Tout d’abord, nous avons opt´e pour un pilotage des axes par le jerk (profil d’acc´el´eration trap´ezo¨ıdal), ce mode de pilotage ´etant aujourd’hui couramment utilis´e pour les machines `a grandes vitesses. Avec ce pilotage, encore appel´e en «Bang-Bang»de Jerk, le jerk ne prend que trois valeurs :
Jˆmaxaxis
0
−Jˆmaxaxis
(1.12)
Le calcul des autres grandeurs cin´ematiques est effectu´e par int´egration tout en respectant les contraintes. Ensuite le calcul des profils de la trajectoire est effectu´e de mani`ere ´echantillonn´ee selon la fr´equence de la boucle de position des asservissements. Enfin, nous avons ´egalement int´egr´e une anticipation dynamique, ´egalement nomm´ee«look ahead», permettant d’anticiper les contraintes `a respecter sur la trajectoire `a suivre.
2.2.4 Validation du mod`ele
Parmi les exemples que nous avons trait´es, nous proposons celui d´ecrit sur la figure 1.4 qui sollicite les axes Y , Z et A de la machine.
FIG. 1.4: Trajectoire de validation
Comme nous pouvons le voir sur la figure 1.5, les vitesses pr´edites de chacun des axes avec le mod`ele sont assez proches des vitesses mesur´ees sur la machine au cours de l’ex´ecution de la trajectoire. De plus amples d´etails ainsi qu’un autre exemple figurent dans l’article intitul´e
«Kinematical performance prediction in multi-axis machining for process planning optimiza- tion» publi´e dans International Journal of Advanced Manufacturing Technology vol 37(5-6), 534-544, 2008, et propos´e dans la partie 3 du document.
FIG. 1.5: Vitesses relev´ees (`a gauche) et vitesses calcul´ees (`a droite)
Les essais ont donc ´et´e suffisamment satisfaisants pour passer `a la seconde ´etape d’int´egration du mod`ele lors de la g´en´eration des trajectoires. Cependant, il faut souligner que le temps de calcul des consignes par ce mod`ele n’est pas du tout adapt´e aux contraintes de temps r´eel des
commandes num´eriques industrielles.
Ce travail de mod´elisation a ´et´e long et fastidieux car la commande num´erique est une boite noire dont les caract´eristiques sont plus ou moins d´ecrites dans une documentation extrˆemement dense. Ce travail n’´etait donc pas une fin en soi mais un passage oblig´e pour int´egrer au plus tˆot le comportement du couple MO-CN. Outre la th`ese de doctorat, ce mod`ele a fait l’objet d’une publication en revue internationale [PI 4] et de communications nationales et internationales [PN 2][CI 5][CI 6][OS 1][CI 8].