Quelques remarques

Comme on peut le constater, même pour un texte aussi simple que celui considéré, sa re- présentation sémantique complètement étendue est un λ-terme quelque peu complexe et dans lequel la structure de la DRS qu’il représente n’est plus très visible. C’est pourquoi, lorsque nous présenterons des exemples plus complexes, nous nous en tiendrons le plus souvent aux formes abrégées, beaucoup plus évocatrices de véritables DRSs à notre avis. Nous reviendrons bientôt sur les liens entre forme abrégée et étendue des boîtes.

Considérons maintenant un exemple un tout petit peu plus compliqué, à savoir A¹man walks.

La nouveauté ici est le fait que le groupe nominal ne consiste plus seulement en un nom propre, mais en un nom commun accompagné d’un déterminant indéfini. Comme cela est requis par le nombre qui annote le déterminant, ce déterminant introduit le référent de discours constant u1. La représentation sémantique de la phrase est obtenue en appliquant celle du groupe no- minal à celle du groupe verbal, la représentation du groupe nominal étant elle-même obtenue en appliquant celle du déterminant à celle du nom. Nous obtenons ainsi le terme suivant : (ha¹ihmani)hwalkice qui donne, compte tenu des règles de traduction données précédemment :

(λP^′, P.([u1|];P^′(u1);P(u1))λv.[|man(v)])λw.[|walk(w)]

En procédant à toutes lesβ-réductions possibles, on obtient : [u1|]; [|man(u1)]; [|walk(u1)]

À ce point, la seule règle de réduction que nous pouvons appliquer est celle qui permet de fusionner des boîtes. En l’appliquant deux fois nous obtenons la DRS finale :

[u1|man(u1),walk(u1)]

Il va de soi que la règle de fusion de boîtes est indispensable pour passer de l’avant-dernier terme au dernier. Un système de réduction ne comportant que laβ-réduction ne pourrait pas produire la forme la plus réduite. Cela signifie notamment que la règle de fusion de DRSs ne peut être exprimée en termes deβ-réduction.

Nous nous en tenons là pour les exemples pour le moment, mais nous en verrons de plus élabo- rés au chapitre suivant, lorsque nous pourrons utiliserNessiepour automatiser la construction de boîtes.

référents de discours, et un typespour les états ou enchâssements. Or, comme nous l’avons expliqué précédemment, les enchâssements ne sont rien d’autre que des fonctions des registres vers les entités. On peut donc tout à fait envisager de se passer du types et de le remplacer par le typeπ → e. Si l’on procède ainsi, l’entité associée à un registreδ par un enchâssement i est donnée simplement par l’expression i(δ). Cette expression peut alors être utilisée à la place de l’expressionV(δ, i)utilisée dans la proposition d’origine, ce qui permet de se passer également du symboleV. On peut alors se demander pourquoi Muskens n’a pas eu recours à cette solution, qui semble plus simple que la sienne. La raison de ce choix est qu’il donne un ensemble d’axiomes permettant, si l’on souhaite construire des modèles pour les interprétations des DRSs, de construire des modèles convenables. Or, dans ces axiomes, des quantifications sur les enchâssements apparaissent. Si ceux-ci n’étaient pas présents en tant que type de base, cela voudrait dire que les axiomes devraient utiliser des quantifications sur des fonctions, c’est-à-dire des quantifications du deuxième ordre. C’est précisément cela que Muskens a souhaité éviter, et c’est pour cela qu’il a eu recours au typesen tant que type de base.

Comme on peut le constater, cette préoccupation a peu de chose à voir avec la construction compositionnelle de DRSs qui nous occupe ici, et donc on aurait sans doute tout intérêt à préférer la version de la proposition de Muskens sans le typeset sans la constanteV qui ne sont pas utiles dans notre contexte. Nous les conserverons cependant tous deux dans l’implantation que nous allons réaliser au chapitre suivant, d’une part pour que celle-ci soit la plus fidèle possible à la théorie originelle, d’autre part parce que le gain représenté par l’élimination du typeset du symboleV est purement cosmétique.

Contraintes d’accessibilité

Comme nous l’avons laissé entendre, le fait qu’un texte soit annoté suivant la convention de Barwise ne garantit pas que la DRS qui sera construite pour ce texte d’après la proposition de (Muskens, 1996c). Pour illustrer ce point, on peut considérer l’exemple

No¹man walks. *He1runs.

Ce texte respecte la convention de Barwise, et on est donc en mesure de lui associer une DRS en utilisant les règles vues précédemment. Après simplification, on obtient la boîte suivante :

[|¬[u1|man(u1)],run(u1)]

On constate alors queu1 est utilisé dans la seconde condition, alors qu’il n’est pas accessible puisqu’il apparaît dans l’univers d’une DRS apparaissant dans la première condition.

La convention de Barwise ne suffisant pas à garantir que les boîtes construites vérifient les contraintes d’accessibilité de la DRT, il est nécessaire de proposer un algorithme permettant de déterminer si une boîte satisfait les contraintes d’accessibilité, et c’est ce qui a été fait dans (Mus- kens, 1996c).

Nous n’allons pas donner les détails de cet algorithme ici. Disons seulement qu’il prend en en- trée un terme de types→s→tet explore récursivement ce terme pour calculer les ensembles de référents de discours accessibles depuis chacune des boîtes et conditions qui y figurent. Ce qu’il nous paraît important de remarquer concernant cet algorithme, c’est que la structure de

terme qui est utilisée pour mener à bien l’exploration n’est pas celle donnée par leλ-calcul (va- riables, constantes, abstractions et applications), mais la structure induite par les abréviations vues précédemment. Les ensembles de référents accessibles sont ainsi définis pour des termes de la forme[u1, . . . , u_n|γ1, . . . , γ_m],K1;K2,etc.Ceci signifie que l’entrée de cet algorithme ne peut pas être un terme quelconque de types→ s→ t, car l’algorithme ne peut opérer que sur des termes où la structure des DRSs qu’ils représentent est toujours visible, c’est-à-dire sur des termes dans lesquels les abréviations vues précédemment n’ont pas encore été « dépliées ».

Ce constat est important d’un point de vu pratique. En effet, il signifie que, si l’on souhaite mettre en œuvre la construction de DRSs telle qu’elle est proposée dans (Muskens, 1996c) en y intégrant la vérification des contraintes d’accessibilité, on devra prendre en compte les abré- viations utilisées dans la proposition originelle. On ne pourra pas, par exemple, utiliser pour représenter les éléments du lexique des termes où les abréviations n’apparaissent plus, comme on pourrait être tenté de le faire.

Abréviations,β-réduction et règle de fusion

Comme nous venons de l’expliquer, l’algorithme de vérification des contraintes d’accessibilité ne peut être appliqué qu’à des termes dans lesquels la substitution des macros par leur définition n’a pas encore été faite. Cet algorithme montre donc que les termes avec macros et ceux sans macros ne sont pas tout à fait équivalents. Il faut donc, avant de mettre en œuvre la construc- tion compositionnelle de DRSs telle qu’elle a été proposée dans (Muskens, 1996c), réfléchir à la façon de gérer ces macros. Cela est à notre avis d’autant plus nécessaire que ces macros in- teragissent non seulement avec la règle de β-réduction, mais aussi avec la règle de fusion de DRSs qui, tout comme l’algorithme de vérification des contraintes d’accessibilité, ne peut être appliquée qu’à un terme où les macros n’ont pas encore été remplacées par leurs définitions.

Dans cette sous-section, nous souhaitons proposer un cadre théorique permettant de mener à bien étude fine des diverses interactions qui viennent d’être mentionnées. Ce cadre nous est donné par la réécriture, et plus particulièrement par la réécriture d’ordre supérieur. On peut en effet voir les macros, la règle de fusion de DRSs et la règle de β-réduction comme autant de règles de réécriture. Il est alors possible d’étudier les propriétés de terminaison et de confluence des systèmes obtenus en choisissant différentes combinaisons de règles.

Nous ne donnerons ici que les règles à considérer, ainsi qu’un résultat de non confluence.

Nous terminerons cette présentation en suggérant quelques propriétés qui mériteraient selon nous d’être étudiées.

L’ensembleT des termes à considérer est celui desλ-termes de TY3avec pour types de base autres que t les types e, π ets, cet ensemble étant enrichi par les constructions syntaxiques suivantes :

1. Macros définissant les DRSs :

a) Siu1, . . . , unsont de typeπetγ1, . . . , γmsont de types→t, alors [u1, . . . , un|γ1, . . . , γm]∈T

est un terme de types→s→t;

b) Si K1 et K2 sont de type s → s → t, alors K1;K2 ∈ T est un terme de type s→s→t;

2. Macros définissant les conditions : soientK,K1 etK2 des termes de types → s → t.

Alors les termes suivants appartiennent àT et sont de types→t: a) ¬^′K

b) K1 →^′ K2

c) K1∨^′K2

L’ensemble de termesTainsi défini est muni des règles de réécriture suivantes, dans lesquelles les objets ont les mêmes types que précédemment :

1. Règles définissant les macros sur les DRSs : a) [u1, . . . , un|γ1, . . . , γm]

→λij:s.((∀δ:π.(δ6=u1∧. . .∧δ6=un)

→V(δ, i) =V(δ, j))∧γ1(j)∧. . .∧γm(j)) b) K1;K2 →λij:s.∃k:s.K1(i, k)∧K2(k, j) 2. Règles définissant les macros sur les conditions :

a) ¬^′K →λi:s.¬∃j:s.K(i, j)

b) (K1 →^′ K2)→λi:s.∀j:s.K1(i, j)→ ∃k:s.K2(j, k) c) K1∨^′K2 →λi:s.∃j:s.K1(i, j)∨ ∃j:s.K2(i, j) 3. Autres règles :

a) Laβ-réduction

b) La règle de fusion de DRSs, à savoir

[u1, . . . , un|γ1, . . . , γm]; [u^′₁, . . . , u^′_p|γ1^′, . . . , γ_q^′]

→[u1, . . . , un, u^′₁, . . . , u^′_p|γ1, . . . , γm, γ₁^′, . . . , γ_q^′]

Dans un premier temps, nous considérons le système de réécriture obtenu à partir de toutes les règles que nous venons de mentionner. Nous pouvons le caractériser en disant qu’il s’agit d’un système d’ordre supérieur, puisque les règles de réécriture qui le constituent font intervenir des variables liées. Nous conjecturons que ce système termine, mais la preuve formelle de sa terminaison reste à faire. Le système n’est cependant pas normalisant, car pas confluent. Pour le constater, considérons le termeM = [u1|γ1]; [u2|γ2]. Nous avons les deux réductions suivantes :

D’une part :

M →[u1, u2|γ1, γ2]

→λij :s.(∀δ :π.(δ6=u1∧δ6=u2)→V(δ, i) =V(δ, j))∧γ1(j)∧γ2(j)

D’autre part, en posantK1= [u1|γ1]etK2 = [u2|γ2]on a : M →λij:s.∃k:s.K1(i, k)∧K2(k, j)

→λij:s.∃k:s.(λij:s.i[u1]j∧γ1(j))(i, k)∧(λij :s.i[u2]j∧γ2(j))(k, j)

→λij:s.∃k:s.(i[u1]k∧γ1(k))∧(k[u2]j∧γ2(j))

Nous obtenons ainsi deux termes irréductibles et qui ne sont pas équivalents modulo ce sys- tème de réécriture, ce qui prouve que le système considéré n’est pas confluent. Il serait cependant intéressant de tenter de compléter ce système, c’est-à-dire de chercher des règles qui, si elles lui étaient ajoutées, le rendraient confluent et donc normalisant.

Par ailleurs, les deux séquences de réductions deM qui viennent d’être présentées illustrent deux approches possibles pour simplifier les DRSs. Dans la première séquence de réduction, c’est la règle de fusion de DRSs qui est utilisée en premier. On obtient une DRS résultat de cette fusion, que l’on choisit ensuite d’étendre grâce à la règle de réécriture appropriée. Mais on pourrait très bien s’en tenir à cette DRS réduite et ne pas l’étendre. Un tel choix peut être modélisé par un système de réécriture où les seules règles disponibles sont laβ-réduction et la fusion de DRSs. Les règles de substitution des macros ne sont alors plus prises en compte, et celles-ci restent donc présentes dans les termes obtenus. Ce système à deux règles³nous permet donc d’obtenir des termes qui reflètent fidèlement la structure de la DRS qu’ils représentent, le prix à payer pour obtenir cette structure étant que les calculs qui y aboutissent ne se font plus au moyen de la seule règle deβ-réduction, mais en lui adjoignant une règle de réécriture, à savoir celle fusionnant deux DRSs.

La seconde séquence de réductions deM illustre une autre façon de traiter les DRSs et qui consiste à substituer les macros par leurs définitions. Cette seconde possibilité peut être modé- lisée par un système de réécriture comportant toutes les règles énumérées précédemment, sauf la règle de fusion de DRSs. Notre intuition est que ce système est lui aussi normalisant, mais ce résultat reste également à établir formellement. En tout cas, ce second système montre qu’il est possible de se passer de la règle de fusion de DRSs et que la proposition de (Muskens, 1996c) peut être mise enœuvre en recourant seulement à laβ-réduction, et éventuellement à l’expansion de macros (on peut choisir de les utiliser ou de ne pas les utiliser). Cependant, si l’on choisit cette solution qui n’utilise que leλ-calcul, les termes que l’on obtiendra ne rendront pas copte de la structure de la DRS qu’ils représentent, et cette structure sera irrémédiablement perdue.

Il faut donc, avant de mettre en œuvre la proposition de (Muskens, 1996c), choisir laquelle des deux stratégies qui viennent d’être présentées on souhaite utiliser : soit celle produisant des termes reflétant la structure de la DRS qu’ils représentent mais nécessitant le recours à une règle de réécriture qui ne peut être exprimée dans leλ-calcul, soit celle n’utilisant que leλ-calcul (et la substitution de macros) mais aboutissant à des termes dans lesquels la structure de la DRS qu’ils représentent est perdue. Compte tenu des fonctionnalités disponibles dansNessieet qui ont été présentées au chapitre 2, il est clair que la méthode la plus facile à mettre en œuvre est la seconde, puisque les mécanismes sur lesquels elle repose (expansion de macros etβ-réduction) sont tous deux directement disponibles dans Nessie. Nous utiliserons cependant la première stratégie, qui nous permettra de construire des termes reflétant clairement la structure des DRSs

3Nous avons de bonnes raisons de croire que ce système est normalisant. La preuve formelle de ce résultat reste néanmoins à établir.

qu’ils représentent. Ce choix nous obligera certes à concevoir un outil supplémentaire mettant en œuvre la règle de fusion de DRSs, mais nous obtiendrons en échange des DRSs qu’il sera possible de réutiliser dans des expérimentations futures, l’expansion des macros restant elle aussi toujours possible une fois que les traitement qui ont besoin d’une structure de DRS ont été effectués.