Artigue 1996, p. 166) Birebent (2001) décrit comme suit la justification de l’approximation décimale numérique (ou décimalisation) des nombres réels. En particulier, l'introduction de la notion de limite et de séquence convergente au lycée permet une reprise, au sein de l'analyse, des nombres réels construits au Collège sous forme de notations décimales.
Outils théoriques et méthodologiques
Sur la base de l'analyse institutionnelle, nous formulons des hypothèses de recherche sur les interrelations entre la décimalisation des nombres réels et la notion de limite. Dans le domaine scientifique, quelles sont les relations entre la construction des nombres réels, la notion de limite et la décimalisation des nombres réels (écritures décimales illimitées).
Organisation de la thèse
Il est expérimenté en 12e année pour tester la stabilité d'une genèse expérimentale de la relation entre la décimalisation des nombres réels et la notion de limite. La relation entre la notion de nombres, la notion de limite et la décimalisation des nombres réels dans l'EMS au Vietnam.
Sur la notion de limite
Un point de vue cinématique issu de l'observation graphique des phénomènes (le global au lieu du local). Une vue d'approximation incontrôlée résultant d'une observation numérique (si x est proche de x0, alors f(x) est proche de L).
Sur la notion de nombre
Enquête épistémologique : liens entre la notion de limite, la construction des nombres réels et la décimalisation des nombres réels. Quelles sont les relations entre la construction des nombres réels, la notion de limite et la décimalisation des nombres réels (écritures décimales illimitées).
De l’étude mathématique vers une étude épistémologique
Nous nous intéressons ici à trois moments décisifs par rapport aux constructions des théories des nombres dans l’histoire de l’évolution du statut numérique des nombres réels. 3ème moment : les constructions de l'ensemble des nombres réels par Dedekind, Cantor, Méray et Tannery.
En effet, la notion de limite est à la base de la méthode des flux de Newton (1671). Résume la co-évolution du statut numérique des réels et de la notion de limite d'Euclide à Cauchy.
Place de l’écriture décimale illimité (EDI) dans les constructions de R
L'existence de toute EDI à Lebesgue est assurée par l'existence de la longueur d'un segment, d'une unité et du processus de décacotomie de l'unité. A l'occasion du système métrique, par exemple, ils apprennent l'usage de la virgule et s'habituent au maniement des nombres décimaux. L'affinement du concept de limite par Cauchy (1821) et son critère de convergence d'une suite numérique (critère de Cauchy) fondent une construction moderne de R par Cantor (1872) : cette construction repose sur le problème de l'existence de la limite de toute séquence rationnelle satisfaisant le critère de Cauchy.
OM de référence
Dans l'exemple précédent, la non-existence de la limite de la fonction f(x) = sin(x) à l'infini repose sur la production de suites numériques et le calcul des limites de ces suites. Certains types de tâches qui composent OM2' sont les suivants : - T2'1 : Démontrer la convergence (en R) d'une suite numérique - T2'2 : Démontrer l'existence d'une solution à une équation. Les trois OM locaux - OM1, OM2' et OM3 - tournent autour de la construction de nombres réels.
Nouvelles questions pour l’EMS au Viêt-nam
Dans ce chapitre, nous effectuons une analyse institutionnelle du SME au Vietnam, pour retracer les interrelations entre la notion de nombre réel et la notion de limite, en particulier dans la décimalisation des nombres. La notion de nombre réel est introduite au lycée et la notion de limite est enseignée au lycée. A défaut de notion de limite, nous menons des recherches au niveau universitaire sur : - l'existence de traces de construction de nombres réels, notamment des traces.
Dans le topos de l'enseignant, la série des nombres réels apparaît sur le Collège comme la série des écritures décimales (ED) : - limitée (EDL) - périodique illimitée (EDIP) - et non périodique illimitée (EDINP). Cependant, dans le topos de l'élève, la comparaison de deux EDIP (rationnelles) n'est jamais abordée (manque d'exercices), au profit de la comparaison de fractions. Dans la partie cours nous pouvons lire le commentaire suivant sur la définition de l'ensemble des nombres réels.
Institution collège 2 (programme en cours à partir de 2002)
Dans le topos étudiant, il n'y a pas de différence dans le rôle de la droite numérique par rapport à l'établissement collégial 1. Cependant, dans le topos enseignant, la droite numérique est utilisée plus souvent que dans l'établissement collégial 1. L'établissement collégial 2 autorise officiellement l'utilisation de la calculatrice machine dans le calcul décimal approximatif de la racine carrée en supprimant complètement l'algorithme d'extraction de la racine carrée.
Comment la volonté d'intégrer les problèmes d'approximation décimale dans l'étude de la notion de limites se traduit par un programme expérimental. L'élève n'est pas responsable de deviner ou de calculer la limite. Quelle est l'évolution de la trajectoire OM2' de l'institution actuelle par rapport à la période précédente.
Une volonté d’intégration des problèmes de l’approximation décimale dans l’étude de la notion de limite dans le programme expérimental et ses dans l’étude de la notion de limite dans le programme expérimental et ses
Les approximations décimales dans les activités du manuel de la collection 2 sur la notion de limite. Nous concluons cette analyse par quelques commentaires sur la pertinence d'utiliser la calculatrice dans cette activité. La première activité d'introduction de la notion de fonction limite permet de revenir aux OI du collège.
Relation dans EMS entre nombre et limite
Les opérations et l'ordre sur l'ensemble des nombres décimaux D s'étendent plus spécifiquement aux IDE. L'étudiant n'est pas responsable de l'étude des décimales ou non d'une fraction qui doit être écrite en notation décimale. L'écriture décimale illimitée non périodique assure, dans les topos de l'enseignant, la définition formelle des nombres irrationnels.
Une expérimentation
Test expérimental des hypothèses issues de l'analyse institutionnelle sur la décimalisation des nombres réels. Dans ce chapitre, nous concevons un questionnaire pour tester les hypothèses H1, H2, H3 et H4 issues de l'analyse institutionnelle de l'EMS du Vietnam sur l'interrelation entre la décimalisation des nombres réels et la notion de limite. Une variante du questionnaire a été présentée aux élèves des classes 10 du Lycée en début d'année.
Question 1 : Rapport institutionnel à EDIP
Les réponses avec les autres signes (<, > ou encore ≠) expriment le non-respect du contrat ou simplement la mauvaise exécution du partage (pour b). Périodicité de l'EDIP dans la division euclidienne générale c) 25000. Certaines réactions, comme "<" et surtout ">", peuvent donc résulter d'une mauvaise exécution de la division. Cette réponse n'est pas attendue car la responsabilité de la virgule décimale d'un nombre n'incombe pas à l'élève en EMS (H32).
Question 2b : Statut de l’EDI – Ordre discret dans l’ensemble des EDI
Cependant, ces réponses peuvent être affichées par les étudiants de l'ENS car ils sont équipés des outils mathématiques de l'Analyse, notamment les constructions mathématiques de R.
Nous complétons les types de réponses de Margolin avec des réponses issues de l'assimilation de l'EDI "n,(p)" en une paire d'entiers (n, p). Cependant, comme cette définition reste dans le topos de l'enseignant (H4), on peut prédire l'absence du « numéro » EDINP dans la réponse. Respecter.conclure les réponses avec le signe « = », qui exprime le respect du contrat didactique concernant la période EDIP produit par la division euclidienne généralisée (hypothèse H32).
Question 2b : Statut de l’EDI – Ordre discret dans des EDI
Statut de l'EDI en fin d'EMS et en ENS : suite numérique Cette partie s'appuie sur l'analyse des réponses 2b1 et 2b2 à la question 2b. Ces résultats montrent qu'il n'y a pas de récupération dans l'ENS des EDI analysés, ce qui permettrait de leur attribuer un statut de « suite numérique convergée » ou de. Les tableaux 13 et 14 montrent une différence au sommet de la hiérarchie des types d'erreurs générés entre d'une part la classe 10 (représentant du lycée) et d'autre part la classe 12 et l'ENS.
Question 3 : Rapport institutionnel au nombre irrationnel
Le nombre d'étudiants (ENS) qui considèrent encore EDIP9 comme un nombre irrationnel est considérable : 30. Par ailleurs, les (mauvaises) réponses avec le chiffre « m + n » faisant référence au lien entre l'irrationalité et la notion de racine carrée sont quasi nul malgré l'existence institutionnelle d'un cas symbolique d'irrationalité s'élevant à 2 : 2% pour l'EMS et 4% pour l'ENS. Le caractère non opérationnel de la notation décimale explique les réponses incorrectes telles que les nombres irrationnels.
Le rapport institutionnel aux EDI dans EMS et ENS est celui du Collège
L'hypothèse H3 sur les règles du contrat didactique concernant la durée de l'UMIP est donc validée. Ces différentes significations sont dues à l'absence de corrélation entre le nombre réel et la notation décimale du nombre réel. Ceci est une conséquence de l’hypothèse H4 sur le manque de pratique dans l’organisation mathématique autour de l’EDINP dans l’EMS.
Absence de la re-interprétation d’une EDI par la notion de limite mais présence potentielle du statut de suite numérique pour une EDI présence potentielle du statut de suite numérique pour une EDI
Pour toutes les matières observées (EMS et ENS), la définition institutionnelle (Collège) de la notion de nombre irrationnel comme EDINP n'a aucun sens. L'examen des réponses (classe 12 et ENS) où le statut d'« ordre des valeurs décimales » est attribué à un IDE montre également que l'ordre discret et l'absence de problème « f(x) approximatif » de la notion de limite s'opposer. Il cherche donc à répondre à la question suivante : Est-il possible de faire vivre un point de vue topologique sur la notion de limite en relation avec la décimalisation des nombres réels (construction de R à partir de D).
Quelques éléments de transposition didactique
En choisissant rn = 10-n, on peut exprimer la définition du terme limite comme suit. Nous résumons les définitions équivalentes de la notion de frontière par rapport à cette particularisation de la topologie R dans le tableau 1. La notion de sphère (ou la notion de distance) d'une topologie métrique en termes de (ε, δ) Base de la topologie .
Un problème fondamental de l’approximation et choix macro didactiques didactiques
L’exploration de la fonction continue dans son domaine de définition revient donc à l’exploration numérique de deux intervalles de R, l’origine et l’image. On rappelle que l'étude du champ de définition de la fonction f a donné deux points d'arrêt –1 et 0,3. Ce problème apparaît dès Archimède alors que la notion de fonction n'est pas encore un objet mathématique selon Robinet (1983).
Présentation générale de l’ingénierie didactique et des conditions d’expérimentation d’expérimentation
Au cours de l'expérience, chacun des 38 élèves de la classe disposait d'une calculatrice CASIO fx-570MS. Apparaît sous l'éditeur de la calculatrice : X?, la valeur saisie, ou 0 (dans le cas du premier calcul). Les touches ALPHA, X (ou autres touches mémoire A, B, C, D, E, F, Y, M), CALC sont donc apprises pour des raisons d'économie et de rapidité de calcul lors de la manipulation de la calculatrice.
Choix méso-didactiques pour la situation 1
Cet usage est étendu par l'enseignant : ces touches peuvent également être utilisées pour remplacer une expression numérique par une expression littérale.
Phase 1. Connaissances instrumentales des parenthèses
Une variable didactique est donc la pertinence des résultats des calculs de A(x) dans l'étendue de la représentation partielle (PAF) du calculateur. Par conséquent, les observables de l’utilisation de la mémoire sont le remplissage des cellules et les résultats. Des chiffres avec "transformation d'écriture pour le radical" mais en oubliant de fermer les parenthèses.
Phase 1. Connaissances instrumentales des parenthèses
Dans le manuel d'utilisation de la calculatrice du Département des Enseignements Secondaires du Ministère de l'Éducation et de la Formation, on peut lire la page 13. Nombres décimaux écrits depuis l'écran de la calculatrice (phase 2) Le nombre de réponses avec décimale abrégée par rapport à ce que qui apparaît sur l'écran de la calculatrice est la majorité (14 réponses contre 5 avec arrondi). Nombres décimaux écrits à partir de l'écran de la calculatrice (Phase 3) Le nombre de réponses au nombre décimal affiché sur l'écran de la calculatrice est stable par rapport à celui de la Phase 2.
