Chapitre C0
Un problème fondamental de l’approximation Choix macro- didactiques pour l’ingénierie didactique
L’ingénierie didactique a lieu après un enseignement de la notion de limite en classe 11 selon une organisation algébrique de la notion de limite OM1 (cf. Chapitres A1 et B1).
Elle vise à organiser une nouvelle rencontre avec la notion de limite via l'approximation décimale pour enseigner des éléments de l’organisation topologique de la notion de limite OM2 (cf. Chapitres A1, A2 et A3). Elle cherche donc à répondre aux questions suivantes : Est-il possible de faire vivre un point de vue topologique de la notion de limite en relation avec la décimalisation des nombres réels (construction de R à partir de D) ?
Quelles difficultés ou quels obstacles s’opposent à l’émergence de ce point de vue ? Nous présentons dans ce chapitre :
- quelques éléments de la transposition didactique de la topologie de R,
- un problème fondamental d’approximation caractérisant un point de vue topologique sur la notion de limite et les choix macro-didactiques découlant de ce problème fondamental.
gauche) : lim ( ) 0
0
y x f
x
x =
→ , lim f(x) y0
x =
±∞
→ , =±∞
→ ( )
lim
0
x f
x
x et =±∞
±∞
→ ( )
lim f x
x où x0 et y0 sont des réels.
De plus, cette définition inclut aussi la notion de limite de suite numérique : si A = N (ensemble des nombres naturels), a = + ∞ est un point adhérent à N dans R.
Dans la topologie usuelle3 de R, on sait que toute partie ouverte est l’union (finie ou infinie) d’intervalles ouverts. L’ensemble des intervalles ouverts (ou fermés) de R est donc une base4 de la topologie de R. On peut donc reformuler la définition citée précédemment en remplaçant le terme de « voisinage » par « intervalle ouvert » (ou « intervalle fermé »).
En nous bornant à considérer le cas de a et l finis (a, l ∈ R), la topologie métrique de R s’appuyant sur la distance usuelle d = x – y (x, y ∈ R) permet de revenir sur la définition de Weierstrass :
∀ε > 0 ∃δ > 0 telle que (∀x ∈ A et x – a < δ) ⇒ f(x) – l < ε ou dans le langage de la distance :
∀ε > 0 ∃δ > 0 telle que (∀x ∈ A et d(x, a) < δ) ⇒ d(f(x), l) < ε
De point de vue topologique, ces définitions ne s’énoncent pas sur des voisinages quelconques mais sur des boules5 ouvertes centrées sur a et l : B(a, δ) et B(l, ε). On peut énoncer la définition équivalente :
Pour toute boule centrée sur l et de rayon ε quelconque, il existe une boule centrée sur a et de rayon δ telle que f[A∩ B(a, δ)] ⊂ B(l, ε).
La définition sur les boules ouvertes (ou fermées) est suffisante puisque l’ensemble des boules ouvertes (ou fermées) est une base de la topologie métrique usuelle de R.
D’ailleurs, soit a ∈ R ; pour toute suite positive (rn) tendant vers 0, la suite des boules {B(a, rn)}n∈N est une base de voisinages de a. Il suffit donc d’une définition de la limite sur la suite des boules de rayon une suite (rn) tendant vers 0 : par exemple, rn =
n
1 ou rn = 10-n. En choisissant rn = 10-n, on peut énoncer une définition de la notion de limite comme suit :
∀10-n (n∈ N) ∃10-p (p∈ N) telle que (∀x ∈ A et d(x, a) < 10-p) ⇒ d(f(x), l) < 10-n
A partir de la définition de la limite d’une fonction f en un point a fini, d’autres problèmes peuvent se poser selon la nature de l’ensemble de départ A de f et du rapport entre a et A.
Par exemple : la fonction f est-elle continue en a ? Si oui, la fonction f est –elle dérivable en a ? Sinon, peut-on prolonger f en a par continuité ?
Voici quelques résultats usuels : soit a un point d’accumulation6 de A.
3 L’ensemble OR définit ce qu’on appelle une structure d’espace topologique sur R (dont ∂R est l’ensemble des parties ouvertes) ou en abrégé : OR définit une topologie sur R. Ce n’est pas la seule topologie possible sur R, mais c’est la plus naturelle : on l’appelle la topologie usuelle de R. […] (Ibid., p. 91)
4 Un ensemble B de parties ouvertes de R est appelé une base de la topologie (usuelle) de la topologie (usuelle) de R ssi tout ouvert ω ∈ OR peut être écrit, lorsqu’il est non vide, comme union d’éléments de B.
(Ibid., p. 91)
5 Soient (E, d) un espace métrique. Par définition, si a ∈ E et r ∈ R+, l’ensemble {x ∈ E \ d(a, x) < r}
s’appelle boule ouverte de centre a et de rayon r. Nous la noterons Bd(a, r) ou B(a,r) pour abréger.
De même pour la définition de la boule fermée par l’ensemble {x ∈ E \ d(a, x) ≤ r}.(Ibid., p. 521)
• Si a ∈ A : f est continue en a ⇔ lim f(x) f(a)
a
x =
→
• Si a ∉ A : la fonction g : A ∪ {a} → R définie par g(x) = f(x) ∀x ∈ A et )
( lim )
(a f x
g
x→a
= s’appelle la prolongement par continuité de f en a.
En résumé
• Comme nous l’avons déjà vu, dans les traités, la topologie de R pour la notion de limite se particularise de plus en plus en même temps que la distance, selon le schéma suivant.
Voisinage → Intervalle (voisinage particulier) → Boule (intervalle symétrique) → Boule de rayon 1/n (n ∈ N*) → Boule de rayon 10-n (n ∈ N)
Nous résumons les définitions équivalentes de la notion de limite selon cette particularisation de la topologie de R dans le tableau 1.
Espace R Définitions de la notion de limite s’appuyant sur Topologie usuelle notion de voisinage ou notion d’intervalle
Topologie métrique notion de boule (ou notion de distance) en termes (ε, δ) Base de la topologie
métrique suite de boules ayant comme rayons la suite (rn) tendant vers 0. Par exemple : en termes (1/n ; 1/p) ou (10-n, 10-p)
Tableau 1. Définitions équivalentes de la notion de limite
La base de la topologie métrique selon la suite de boules ayant comme rayons la suite (10-n)n∈N montre que la distance décimale est suffisante à la définition de la notion de limite. Ce fait est un des résultats de la propriété : D est partout dense7 dans R, autrement dit l’ensemble des points adhérents de D est R.
Chaque nombre réel est donc un point adhérent de l’ensemble D : la construction de la notion de limite d’une suite décimale participe à la construction de R à partir de D.
• Le symbole f x l
a
x =
→ ( )
lim de la fonction f : A (⊂ R)→ R correspond aux différents cas de la limite selon le triplet (A, a, l). Nous nous bornons à citer les cas usuels :
6 On dit que a est point d’accumulation de A dans T [un espace topologique] ssi tout voisinage de A rencontre A\{a}. (Ibid., p. 540). Dans R, cela veut dire qu’il existe une suite numérique (rn) de A et (rn) ≠ (a) tendant vers a.
Si la partie A est dense dans R, chaque point adhérent de A est aussi son point d’accumulation.
7Soit G un groupe Archimédien. Une partie E de G est dite partout dense dans G ssi pour tous x et y dans G tels que x < y, on peut trouver z ∈ E tel que x < z < y. (Ibid. 15)
Soit D une partie de R partout dense dans R. L’ensemble TD des intervalles ouverts dont toute extrémité
- Pour le cas A = N et a = +∞ : notion de limite de suite numérique
• l = +∞ ou l = -∞ : suite divergente
• l fini : suite convergente
- Pour le cas de A = union finie des intervalles ouverts disjoints
U
ni i i c b
1
[
; ]
=
( tel que ]bi ; ci[ ∩ ]bj ; cj[ = ∅ ∀j≠j) : notion de limite de fonction où a est un point adhérent de A
a ∈ A ⇒ a ∈ ]bi ; ci[
• l = +∞ ou l = - ∞ : fonction tendant vers l’infini • l finis : limite finie de fonction
limf(x) f(a)
a
x =
→ : notion de continuité limf(x) f(a)
a
x ≠
→ : notion de discontinuité
a ∉ A ⇒ a = bi ou a = ci , il suffit de considérer les deux cas suivants : A = ]b, a[ ∪ ]a ; c[
• l = +∞ ou l = -∞ : fonction tendant vers l’infini (positif ou négative)
• l finis : limite finie de la fonction qui discontinue, mais prolongeable en continuité en a A = ]a ; b[ ou A = ]c ; a[ où a fini : notion de limite à gauche et à droite en point a
a = + ∞ ou a = - ∞ : notion de limite à l’infini (positif ou négatif) Tableau 2. Cas usuels correspondant à f x l
a
x =
→ ( )
lim
I.2. Présence du point de vue topologique dans les manuels de l’EMS en France et au Vietnam (pour le cas a et l finis)
La transposition didactique de la notion de limite dans l’EMS en France et au Viêt-nam, produit autant de définitions que de cas enseignés.
Nous nous intéresserons ici aux définitions présentes dans les manuels secondaires pour le cas a et l finis.
a. Manuels français
Depuis les années 1986, les définitions en termes (ε, δ) sont hors programme. Nous citons donc certaines définitions issues des manuels de 1970 à 1985.
- La définition du manuel de Première (CDE) de la collection Queysanne-Revuz (programme 1970) est proche de celle de la sphère savante.
Une fonction f définie sur un intervalle pointé de centre x0 admet la limite l au point x0 si et seulement si, quel que soit l’intervalle J de centre l, il existe un intervalle pointé I’ de centre x0
tel que f(I’) ⊂ J. (p. 63)
Quelques lignes au-dessus, les rédacteurs expliquent le terme d’« intervalle pointé ».
La fonction f est définie sur un intervalle de centre x0, sauf peut-être en x0, donc sur un intervalle pointé de centre x0. (p. 62)
La formulation (ε, δ) figure aussi dans ce manuel.
On peut également dire f admet l pour limite au point x0 si et seulement si étant donné α > 0 on peut trouver β > 0 tel que, quel que soit x réel on ait 0 < | x – x0| < β ⇒ |f(x) – l | < α. (p. 63) La notion d’intervalle de centre x0, ]x0 – d ; x0 + d[, n’est autre que celle de boule ouverte.
- Le manuel de Première (S.E) de la collection Dimathème (1982) présente une définition en termes (10-n, 10-p).
Soit E une partie non vide de R telle que E∪{x0} soit un intervalle. Une application f de E vers R admet une limite nulle en x0 si :
∀n ∈ N, ∃p ∈ N tel que : [ x ∈ E et x – x0 < 10-p ] ⇒ [ f(x)< 10-n ] Que l’on peut écrire aussi :
∀n ∈ N, ∃p ∈ N tel que : [ x ∈ E et x0 – 10-p < x < x0 + 10-p ] ⇒ [ - 10-n < f(x)< 10-n ] (p. 191) La définition en termes (ε, δ) s’énonce comme une « formulation équivalente » sans démonstration :
b) Formulation équivalente f admet une limite nulle en x0 si :
∀ε > 0 ∃ α > 0 tel que : [x ∈ E et | x – x0 | < α ] ⇒ [|f(x)| < ε] (p. 192)
Ce manuel privilégie la définition en termes (10-n ,10-p), c'est-à-dire introduit la suite des boules ouvertes ayant comme rayons la suite (rn = 10-n)n∈N.
Résumé
l x f
a
x =
→ ( )
lim Topologie de R
pour la notion de limite de fonction A = ]b ; c[ et a ∈ A
A = ]b ; c[\{a} ⇒ a ∉ A
Notion d’intervalle pointé Distance (ε, δ)
Boules ouvertes de rayons (10-n ; 10-p)
Tableau 3. Topologie de R pour la notion de limite de fonction dans les manuels français b. Manuels vietnamiens
• Manuels du programme « réforme de l’éducation » (1990 -1999) Durant cette période, rappelons que trois manuels sont présents.
- Le manuel Algèbre et Analyse 11 du groupe des rédacteurs Tran Van Hao – Phan Truong Dan (1998) :
Le nombre b s’appelle limite de la fonction f(x) quand x tend vers a si, quel que soit ε > 0, il existe un voisinage δ du point a tel que, pour tout x ≠ a de ce voisinage, on ait | f(x) - b| < ε. (p.
156)
On présente donc une définition de la limite de fonction dans laquelle sont imbriquées les notions de voisinage et de distance en termes (ε, δ).
La notion de « voisinage δ du point a » est introduite juste avant la définition de limite.
Soit un nombre réel a et un nombre δ positif. L’intervalle (a - δ ; a + δ) de l’axe numérique (figure 4.1) s’appelle un voisinage du point a (on dit aussi voisinage δ du point a)
Figure 4.1
A partir de cette définition, on voit que le point x appartient au voisinage δ du point a si et seulement si a - δ < x < a + δ ou | x – a | < δ (p. 156)
Ce voisinage est donc la boule ouverte centrée en a et de rayon δ.
Dans les deux autres manuels, on lit :
- manuel Algèbre et Analyse 11 du groupe des rédacteurs Ngo Thuc Lanh – Vu Tuan – Ngo Xuan Son (1996) :
On dit que la fonction y = f(x) tend vers L (ou admet la limite L) quand x tend vers a si, quel que soit un nombre ε positif (aussi petit que l’on veut), on peut trouver un nombre positif δ tel que lorsque 0 < |x – a| < δ alors |f(x) – L| < ε
(0 < |x – a| veut dire que x ≠ a) [ …]
On suppose x ≠ a parce qu’on ne s’intéresse qu’au « comportement » de f(x) quand x tend vers a, mais pas au comportement de f(x) quand x = a. (p. 155)
- manuel Algèbre et Analyse 11 du groupe des rédacteurs Phan Duc Chinh – Ngo Huu Dung (1998) :
On dit que la fonction y = f(x) admet la limite L quand x → x0, noté f x L
x
x =
>
− ( )
lim
0
, si pour toutes suites (xn ; n = 1, 2, 3 …), les valeurs xn appartenant au domaine de définition de la fonction, la suite (f(xn) ; n = 1, 2, …) tend vers L. Autrement dit f xn L
x
xn =
>
− ( )
lim
0
(xn ∈ X, domaine de définition de la fonction) (p. 112)
Quelle est la nature de l’ensemble de départ A de la fonction f ? La relation entre le point a et l’ensemble A est-elle précisée ?
Pour le troisième manuel l’ensemble de départ A de la fonction f est le domaine de définition de la fonction f.
Seul le premier manuel explique dans une remarque la relation entre a et un « voisinage de a ».
Remarque : A partir de la définition de la limite de fonction f(x) quand x tend vers a, la condition nécessaire de la limite est que la fonction f(x) soit définie en tout point d’un voisinage quelconque de a, sauf au point a où la fonction peut être définie ou non (on a x ≠ a dans la définition). Cela permet de chercher, dans certain cas, la limite de fonction en des points où la fonction n’est pas définie. (Tran Van Hao – Phan Truong Dan 1998, p. 157)
• Manuel en vigueur du programme « harmonisation et unification » (à partir de 2000) Durant cette période, il n’existe qu’un seul manuel. Ci-après la définition de la notion de limite donnée.
Soit la fonction f(x) définie sur un intervalle K, sauf peut-être en a ∈ K. On dit que la fonction f(x) a pour limite L (ou tend vers L) lorsque x tend vers a, si pour toute suite numérique (xn)( xn
∈ K, xn ≠ a, ∀n ∈ N*) telle que si limxn = a alors limf(xn) = L. (Algèbre et Analyse 11, p. 117) On définit donc la notion de limite de fonction dans le « langage des suites numériques ».
Il n’y a donc pas de trace de la topologie de R dans la définition de la notion de limite de fonction du manuel en vigueur : les traces de la topologie ne se trouvent que dans la notion de suite numérique définie en terme (ε, N).
Par rapport aux manuels du programme précédent, on précise que l’ensemble de départ est un intervalle K et que a peut appartenir ou non à K. La définition dans le « langage des suites numériques » assure mathématiquement que a est un point adhérent de K, sans que la notion d’adhérence soit présente explicitement.
En résumé
Période f x l
a
x =
→ ( )
lim Topologie de R pour la notion de limite de fonction 1990-1999 A = Df domaine de définition de f
a ∈ Df ou a ∉ Df
Distances (ε, δ)
Voisinage = boule (intervalle symétrique) Depuis
2000 A = ]b ; c[ et a ∈ A
A = ]b ; c[\{a} ⇒ a ∉ A Traces : (ε, N) seulement pour la notion de limite de suite
Tableau 4. Topologie de R pour la notion de limite de fonction dans les manuels vietnamiens Commentaire
On trouve, dans les définitions de la notion de limite de suite des manuels vietnamiens, des traces de la topologie de R : boules ayant comme rayons δ et ε (intervalles symétriques).
Cependant, comme nous l’avons mis en évidence dans l’analyse institutionnelle, un intervalle est essentiellement un sous ensemble ordonné de R :
dont la caractéristique essentielle est le couple de nombres ordonnés appelés bornes. Il n’a pas de structure topologique : la relation entre les bornes de l’intervalle et la notion de limite n’est pas étudiée. De plus, un intervalle ayant des bornes irrationnelles n’apparaît jamais dans l’institution. (Chapitre B1)