Cet usage est élargi par l’enseignant : ces touches peuvent aussi servir à remplacer une expression numérique par une expression littérale.
La contrainte sur le nombre d’appuis de la touche = permet donc d’étudier l’usage des parenthèses dans les calculs instrumentés et prépare l’introduction de la touche ALPHA, puis de celle de COPY dans la suite de la séquence.
II.2 Réponses possibles
Nous pouvons prévoir les calculs instrumentés suivants :
- Calculs instrumentés « sans erreur » de mise entre parenthèses : « (3,12 + 2x3,1 + 1) ÷ (3,12 + 1) = 1,584354383 »
La réponse affichée suite au calcul peut être transformée en des réponses sous forme fractionnaire :
• La touche ab/c seule permet de transformer l’affichage 1,584354383 en la fraction mixte
1061 1620 .
• La touche d/c (en appuyant successivement sur les touches SHIFT et ab/c ) permet de transformer l’affichage 1,584354383 en la fraction
1061 1681.
Remarquons cependant, que si le nombre 1,584354383 est rentré directement dans la calculatrice et si on appuie ensuite sur la touche d/c (ou ab/c) la machine ne modifie pas l’affichage : on est hors de portée de l’affichage fractionnaire. Ceci reste vrai quelque soit le nombre de décimales de la décimalisation de
1061
1681 que l’on rentre. La transformation de l’affichage 1,584354383 en
1061
1681 suite au calcul A(3,1) montre que la machine mémorise quelque chose de ce calcul qui lui permet de retrouver l’écriture fractionnaire. Par contre, pour l’élève (ou l’utilisateur non averti), le paradoxe reste entier.
Le Département de l’Enseignement Secondaire du ministère de l’Education et de la Formation publie un « Guide d’usage de la calculatrice CASIO fx 570MS pour résoudre les problèmes des classes 10 – 11 – 12 » dans lequel il est précisé une condition de possibilité de la transformation :
Si le nombre des caractères composant la fraction ou la fraction mixte (signe de division y compris) est plus grand que 10, la calculatrice n’affiche que l’écriture décimale. (Nguyen Van. 2005, p. 12)
Nous appelons PAF la Portée de l’Affichage sous forme Fractionnaire de la calculatrice : le nombre des caractères composant l’écriture fractionnaire irréductible (signe de division y compris) doit être inférieur ou égal à 10.
Donc, tout nombre représenté par une fraction irréductible dont le nombre de caractères est supérieur à 10 est hors du PAF de la calculatrice.
- Calculs instrumentés « avec erreur » de mise entre parenthèses :
• Oubli de parenthèse(s) pour le numérateur : « 3,12 + 2x3,1 + 1 ÷ (3,12 + 1) = 15,90425071 »
La valeur exacte du calcul est 3,12 + 2x3,1 +
1 1 , 3
1
2 + =
106100 1687441
(fraction irréductible).
Le résultat du calcul est donc hors PAF.
Le calcul « (3,12 + 2x3,1 + 1 ÷ (3,12 + 1) » est accepté et compris par la calculatrice comme un calcul sans parenthèse : « 3,12 + 2x3,1 + 1 ÷ (3,12 + 1) »
• Oubli de parenthèse(s) pour le dénominateur : « (3,12 + 2x3,1 + 1) ÷ 3,12 + 1 = 2,749219563 »
La valeur exacte du calcul est 1 1
, 3
1 1 , 3 2 1 , 3
2
2 + x + +
= 961
2642 (fraction irréductible). La
calculatrice peut donc afficher 961 2720 ou
961 2642. Remarques
-le calcul « (3,12 + 2x3,1 + 1) ÷ (3,12 + 1 » est accepté et compris par la calculatrice comme un calcul sans oubli de parenthèse « (3,12 + 2x3,1 + 1) ÷ (3,12 + 1) ».
- La calculatrice affiche « Syntax ERROR » pour « 3,12 + 2x3,1 + 1) ÷ (3,12 + 1) = » et pour « (3,12 + 2x3,1 + 1) ÷ 3,12 + 1) = » : ce message invalide donc ces oublis de parenthèse. Il existe donc un milieu pour la validation pour l’oubli d’une parenthèse fermée qui n’aurait pas été ouverte.
• Aucune parenthèse : « 3,12 + 2x3,1 + 1 ÷ 3,12 + 1 = 16,91405827 »
La valeur exacte du calcul est 1
1 , 3 1 1 , 3 2 1 ,
3 2 + x + 2 + =
96100 1625441
(fraction irréductible). Le résultat du calcul est donc hors PAF.
III. Phase 2. Enseignement de touches ALPHA, X (statut de variable mathématique), et CALC
III.1 Choix micro-didactiques
Dans la phase 2, nous maintenons le choix de A(x) =
1 1 2
2 2
+ + + x
x
x : l’image de tout nombre rationnel est rationnel. Nous donnons ci-après les valeurs exactes A(x) en fractions irréductibles pour les 10 valeurs de x de la phase 2.
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + + x
x
x 1061
1681
97 162
8021 9801
60029 61009
63737 65522
Valeur de x 0,9 4,50 2006 19,8 541,7
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + + x
x
x 181
361
85 121
4024037 4028049
4913 5408
29343989 29452329
Tableau 1. Valeurs exactes en fractions irréductibles
Une variable didactique est donc l’appartenance des résultats des calculs de A(x) à la portée de l’affichage sous forme fractionnaire de la calculatrice (PAF) :
• A(x) ∈ PAF pour x = 3,1 ; 2,6 ; 8,9 ; 0,9 ou 4,50
• A(x) ∉ PAF pour x = 122,5 ; 71,4 ; 2006 ; 541,7
Le nombre d’appuis de touches pour faire un calcul (23 < n < 29) ainsi que le nombre de réitérations de ce calcul en fonction de la valeur de x (m = 10) ont été choisis pour
Les observables de l’usage de la mémoire sont donc le remplissage des cases et les résultats.
Le choix des 10 valeurs de x vise aussi à recueillir des informations sur laquelle des méthodes, entre troncature ou arrondi, est la plus présente dans les réponses décimales écrites à partir de l’affichage de la calculatrice. Nous disposons d’observables dépendant du choix de Dn (0 < n < 9) et de la valeur de x.
Dn D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8
x = 3,1 ; 2,6 ; 0,9
122,5 ;
71,4 8,9 ; 4,5 2006 ; 19,8 ; 547,1
3,1 ; 0,9 ; 2006 ; 19,8 ; 541,7
8,9 ; 122,5 ; 71,4 ; 0,9 ;4,5 ; 2006
71,4 ;
4,5 3,1 ; 2,6 ; 8,9 ; 541,7
8,9 ; 0,9 ; 2006 ; 541,7 Tableau 2. Valeurs de x et Dn permettant d’observer la distinction entre troncature et arrondi
III.2. Réponses possibles
Les tableaux 3 et 4 présentent les remplissages des cases du tableau de la fiche 1 issues de la recopie des affichages décimaux de la calculatrice (tableau 3) ou des affichages décimaux ou fractionnaires suite à l’appui de la touche d/c (tableau 4).
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + + x
x
x 1,584354383 1,670103093 1,221917467 1,016325443 1,028005711
Valeur de x 0,9 4,50 2006 19,8 541,7
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + + x
x
x 1,994475138 1,423529712 1,000997009 1,100753104 1,003692068 Tableau 3. Affichages décimaux de la calculatrice
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + + x
x
x 1061
1681
97 162
8021
9801 1,016325443 1,028005711
Valeur de x 0,9 4,50 2006 19,8 541,7
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + + x
x
x 181
361
85
121 1,000997009
4913
5408 1,003692068
Tableau 4. Affichages suite à l’appui de la touche d/c
IV. Phase 3. Renforcement de l’instrumentation des touches ALPHA, X et CALC – Introduction des touches COPY et INSERT
IV.1. Choix micro-didactiques L’expression à calculer B(x) =
1 1 2
2 2
+ + +
x x
x diffère de celle de la phase précédente par la présence d’un radical : pour un nombre rationnel x, le calcul exacte de B(x) ne donne pas forcément un rationnel. Avec les valeurs x choisies, leurs images B(x) sont toujours
irrationnels, les nombres sous les racines carrées 4,2 ; 3,6 ; 9
,
9 ; 123,5 ; 72,4n’étant pas des carrés parfaits.
Ce choix permet de :
- mettre les résultats du calcul hors de portée de l’affichage sous forme fractionnaire de la calculatrice (PAF) ; il vise donc à recueillir le maximum d’informations pour vérifier l’hypothèse du non-respect de la règle de l’arrondi de résultat décimal d’un calcul approché dans les calculs instrumentés par la calculatrice.
- favoriser l’apparition d’erreurs dues aux transformations d’écritures dans le passage de l’écriture algébrique à l’écriture pour la calculatrice : en particulier pour entrer
+1
x sur la calculatrice, il faut taper √(X+1).
Remarque : « (X2+2√(X+1) ÷(X2 + 1) » est accepté et compris par la calculatrice comme « X2+2√(X+1) ÷ (X2 + 1) », c’est à dire
1 1 2
2 2
+ + +
x
x x .
Dans cette dernière phase, nous retrouvons une série de 5 calculs assez semblables aux 10 calculs de la phase 2, en particulier les valeurs de x sont les mêmes que les 5 premières valeurs de la phase 2. Cette ressemblance vise à favoriser l’usage des touches ALPHA, X, CALC institutionnalisées dans la phase précédente.
VI.2. Réponses possibles
Les observables sont les nombres dans le remplissage des cases. Nous donnons ci-après les différents cas possibles avec l’hypothèse que quand il y a erreur, elle est systématique.
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + +
x x
x
1,287435565 1,36014603 1,065987447 1,00141439 1,003141354
Tableau 5. Nombres sans erreurs
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + +
x x x
9,991686272 7,249012009 79,28845472 15006,25148 5097,963337
Tableau 6. Nombres avec « transformation de l’écriture pour le radical » mais oubli de fermeture de la parenthèse
Valeur de x 3,1 2,6 8,9 122,5 71,4
Valeur de
1 1 2
2 2
+ + +
x x
x 1,331890987 1,415580296 1,074386904 1,001475017 1,003314343 Tableau 7. Nombres avec l’erreur « pas de transformation de l’écriture pour le radical »