En résumé
Période f x l
a
x =
→ ( )
lim Topologie de R pour la notion de limite de fonction 1990-1999 A = Df domaine de définition de f
a ∈ Df ou a ∉ Df
Distances (ε, δ)
Voisinage = boule (intervalle symétrique) Depuis
2000 A = ]b ; c[ et a ∈ A
A = ]b ; c[\{a} ⇒ a ∉ A Traces : (ε, N) seulement pour la notion de limite de suite
Tableau 4. Topologie de R pour la notion de limite de fonction dans les manuels vietnamiens Commentaire
On trouve, dans les définitions de la notion de limite de suite des manuels vietnamiens, des traces de la topologie de R : boules ayant comme rayons δ et ε (intervalles symétriques).
Cependant, comme nous l’avons mis en évidence dans l’analyse institutionnelle, un intervalle est essentiellement un sous ensemble ordonné de R :
dont la caractéristique essentielle est le couple de nombres ordonnés appelés bornes. Il n’a pas de structure topologique : la relation entre les bornes de l’intervalle et la notion de limite n’est pas étudiée. De plus, un intervalle ayant des bornes irrationnelles n’apparaît jamais dans l’institution. (Chapitre B1)
II. Un problème fondamental de l’approximation et choix macro
2°) On désire avoir un résultat avec une erreur qui ne dépasse pas une borne fixée à l'avance.
On se propose d'évaluer les données avec une approximation suffisante pour qu'il en soit ainsi [Problème 2].
Ces deux problèmes sont inverses. On saura les résoudre quand on aura étudié les erreurs commises dans les quatre opérations fondamentales sur les nombres approchés.
(Girard et Lentin, p. 46)
Nous parlerons ici de problème fondamental plutôt qu’élémentaire en les considérant comme générateur de problèmes d’approximations particuliers.
Dans le cas où le calcul concerne une relation fonctionnelle x a f(x), nous pouvons ré- relier chacun des deux problèmes fondamentaux à l’« approximation x » pour le problème 1 et à l’« approximation f(x) » pour le problème 2.
Un problème fondamental d’approximation f(x)
En nous appuyant sur ce qui précède, nous énonçons le problème fondamental d’approximation f(x), en mettant en évidence les variables permettant de générer les problèmes particuliers de notre ingénierie. Nous indiquons en gras ces variables.
« Calculer [tous/ n] couples (x ; f(x)) tel que f(x) ∈ B(l, εεεε) ».
Nous avons ainsi placé le problème du calcul de limite dans une problématique d’ « approximation f(x) » dans la topologie de R dont une base de voisinage sont les boules B(l ; ε), ε ∈ R+.
Les variables didactiques de ce problème concernent les conditions du calcul, la fonction, les nombres l, le voisinage de l et enfin le nombre de couples (x ; f(x)) demandé ([tous / n]).
Les choix macro didactiques, c’est-à-dire les choix fixés pour l’ensemble de l’ingénierie, concernent les conditions du calcul, la fonction et le nombre l. Nous allons présenter maintenant ces choix et les raisons de ces choix.
II.1. Conditions du calcul : présence de la calculatrice
La calculatrice CASIO fx-570MS est autorisée sans aucune limite sur les touches et les fonctions disponibles.
- La calculatrice est associée institutionnellement au calcul approché et affiche le plus souvent les nombres calculés sous leur forme décimale. Elle permet donc de poser le problème de la décimalisation des nombres.
- L’autorisation, sans aucune limite, des touches et des fonctions disponibles permet d’observer la cohabitation de la calculatrice et du travail algébrique dans l’EMS du Viêt- nam, puisque le calcul à la main n’est pas interdit.
II.2. Choix de la fonction f
Nous avons choisi la fonction f tel que x a
3 , 0 7 , 0
21 , 0 1 , 0 ) 2
( 22
− +
−
= +
x x
x x x
f pour les raisons
suivantes.
• Registre de la fonction f
La fonction f est présentée dans le registre algébrique (contre le registre graphique), conformément à l’usage dans l’EMS du Viêt-nam. Ce choix permet le calcul instrumenté aussi bien qu’à la main et de recourir à des critères de validation algébrique.
• Nature de f
La fonction f est rationnelle selon la classification de EMS, c’est-à-dire définie par )
( ) ) (
( v x
x x u
f = où u(x) et v(x) sont des polynômes du premier ou du second degré. Le choix de f rationnelle s’est fait contre celui de fonctions irrationnelle / trigonométrique / logarithme / exponentielle) pour favoriser le travail algébrique nécessaire dans l’ingénierie, Nous avons choisi u(x) et v(x) du second degré et factorisables en produit de polynôme du premier degré
- contre u(x) ou v(x) polynôme du degré n > 3 pour utiliser les outils algébriques présents dans l’institution : équation et inéquation du premier et second degré,
- contre u(x) ou v(x) est un polynôme du degré n < 2 pour ne pas dévoiler la forme
« simplifiée » de f(x).
Ce choix permet donc des transformations algébriques sur l’expression f(x) institutionnellement familières : factorisation et simplification.
• Coefficients de l’expression algébrique f(x)
Les coefficients de l’expression algébrique « initiale » donnant f sont des nombres décimaux appartenant à Di, i = 0, 1, 2.
- contre des coefficients tous entiers (par exemple :
30 70 100
21 10 ) 200
( 22
− +
−
= +
x x
x x x
f ) pour
masquer une factorisation évidente et donc empêcher la simplification ; provoquer l’usage de la calculatrice dans le calcul (approché), et de favoriser la décimalisation des nombres.
Ce choix ne bloque pas le calcul exact.
- contre des coefficients dans Di tels que i > 2 (par exemple : 03
, 0 07 , 0 1 , 0
021 , 0 01 , 0 2 , ) 0
( 22
− +
−
= +
x x
x x x
f ) pour pouvoir revenir aisément dans un domaine de validité algébrique. D’ailleurs, si l’index i (de Di) est trop grand, le calcul avec l’expression f(x) devient trop coûteux y compris avec la calculatrice, ce calcul pouvant dépasser la capacité de la calculatrice. Un tel choix aurait pour conséquence de complexifier le calcul approché et de bloquer le calcul exact.
• Continuité de la fonction f
Le domaine de définition de la fonction f est conformément à l’usage dans EMS confondu avec le domaine de continuité de la fonction, les nombres réels hors de ce domaine étant les points de discontinuité de la fonction. Ils sont, dans le respect du contrat institutionnel de EMS, en nombres finis.
La fonction f est discontinue en deux points –1 et 0,3. Elle est prolongeable par continuité en 0,3 et non prolongeable en -1.
Df = R\{- 1 ; 0,3} = ]-∞ ; -1[ ∪ ]-1 ; 0,3[ ∪ ] 0,3 ; +∞[
1 ) ( lim0,3 =
→ f x
x et =∞
−
→ ( )
lim1f x
x
L’image de tout intervalle par f est aussi un intervalle, d’après le théorème des valeurs intermédiaires.
Soit A un intervalle de R, et f : A → R une fonction continue. Alors f(A) est un intervalle.
(Arnaudiès – Fraysse 1989, p. 121).
L’exploration de la fonction continue sur son domaine de définition revient donc à l’exploration numérique de deux intervalles de R, départ et image . Or tout intervalle de R a la puissance du continu, c'est-à-dire un ordre non dénombrable, donc dense (non discret8). Dans l’exploration décimale des intervalles de définition (favorisée par le calcul instrumenté et le choix des coefficients de f(x)), ce choix permet donc de poser le problème de l’ordre dense de D puis de R comme construit implicitement par des suites décimales dans EMS.
• Monotonie de la fonction f
Le choix d’une fonction strictement monotone (contre non monotone) revient au choix d’une fonction injective qui, sur chacun des intervalles du domaine de définition, est bijective. La fonction f choisie est continue et strictement croissante.
Si I est un intervalle non trivial de R et f : I → R une fonction continue et strictement croissante. Alors :
(I) J = f(I) est un intervalle. Si I est compact, J l’est aussi.
Si I = [a ; b[ avec - ∞ < a < b ≤ + ∞
J = [f(a), lim ( )
, f x
b x b
x→ < [ ; Si I = ]a ; b[ avec - ∞ ≤ a < b ≤ + ∞
J = [f(a), lim ( )
, f x
b x b
x→ < [ ; Si I = ]a ; b] avec - ∞ ≤ a < b < + ∞
J = ] lim ( )
, f x
a x b
x→ > , f(b)] ;
(II) soit g la bijection réciproque de fJ : I → J, x a f(x). Alors g est strictement croissante et continue.
(Op. cité, p. 147)
La fonction f conserve aussi l’ouverture ou la fermeture de l’intervalle. Ce choix conforte l’idée que l’intervalle de départ est de même nature que l’intervalle image.
Les deux intervalles peuvent découler de l’étude des variations de la fonction f mis en place en place dans EMS en classe 10, puis reprise en classe 12 après l’enseignement de la dérivée d’une fonction..
Voici par exemple ce qui est attendu à l’issue de cet enseignement de la classe 12 : Exemple 2. Etude de la variation de la fonction
3 5
3 + +
= x x
y .
Solution. La fonction est définie pour tout x ≠ 0, x ∈ R.
8 Un groupe abélien totalement ordonné (G, +, ≤) est dit discret ssi G*+ admet un minorant a >0. Sinon, le groupe est dit non discret lorsqu’il est non nul. […]
Si G est non discret, entre deux éléments distincts dans G, il en existe toujours au moins un autre (et par conséquent, une infinité). […] (Arnaudiès – Fraysse 1989, p. 5)
La dérivée de la fonction est 2
2 2
3 1 3 3
' x
x
y = − x = − .
y' est aussi défini pour tout x ≠ 0, x ∈ R. Le signe de y’ est même que x2 – 1.
La variation de la fonction est décrite dans le tableau de variations suivant :
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ + 0 − − 0 + y -1
-∞ -∞
+∞ +∞
11
Alors la fonction est croissante sur les intervalles (-∞ ; 1) et (1 ; +∞), décroissante sur les intervalles (-1 ; 0) et (0 ; 1).
(Analyse 12, 2003, p.50)
II.3. Choix du nombre l
Rappelons que l’étude du domaine de définition de la fonction f a donné deux points de discontinuité –1 et 0,3.
Étudions le comportement de f sur chacun des intervalles de définition (ou de continuité), pour justifier notre choix.
Etude de la fonction f selon le contrat institutionnel en classe 12
- Domaine de définition : Df = R \{- 1 ; 0,3} = ]-∞ ; -1[ ∪ ]-1 ; 0,3[ ∪ ]0,3 ; +∞[
- Signe de la dérivé e: 2 ) 1 (
3 , ) 1 (
' = +
x x
f > 0 pour tout x ≠ -1 et x ≠ 0,3 - Le tableau de variation de f :
x -∞ -1 0,3 +∞
f'(x) + + +
f(x) +∞
2
1
-∞ 2 1
- Ensemble des valeurs de la fonction f :
f(Df) = R\{1 ; 2} = ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[
• l ∉∉∉∉ f(Df)
Un nombre l n’appartenant pas à l’ensemble des valeurs de la fonction f (contre l ∈ f(Df)) revient à dire qu’il n’existe aucune valeur de x telle que f(x) soit égale à l. Mais peut-on approcher d’aussi prés que l’on veut l par un calcul adéquat sur x ?
La problématisation de la notion de limite par l’approximation restreint l’étude de l
x f
a x
→( )=
lim au cas où l et a sont finis.
Seul l = 1 convient, ce qui revient à l’étude delim ( ) 1
3 ,
0 =
→ f x
x
Conséquences
• Le choix des valeurs numériques du couple de nombres (l ; a) : l = 1 et a = 0,3 - permet aussi de poser le problème des EDIP9 du point de vue de la limite (cf. chapitre B2) : visant ici aux identifications « 0,999… = 1 » et « 0,299… = 0,3 » et à leur généralisation.
De plus, le choix a = 0,3 décimal (contre entier) organise une rupture du contrat didactique du calcul de la limite d’une fonction pour lequel le point a est toujours entier.
• Forme indéterminée concernant lim ( ) 1
3 ,
0 =
→ f x
x
Dans le type de tâche « calculer lim f(x)
x→a » de l’EMS du Vietnam, les formes indéterminées comme
0
0 / (+∞) – (+∞) /
∞
∞ sont présentes, les règles algébriques d’actions, pour le lever l’indétermination, ayant été mises en évidence précédemment (cf.
tableau 1, chapitre A1).
Les choix de f et de x = 0,3 déterminent la forme indéterminée
0
0 pour les raisons suivantes :
- Cette forme indéterminée est mise en avant par les rédacteurs du manuel en vigueur dès l’exemple préparatoire pour introduire la notion de limite de fonction.
Pourtant, comme nous l’avons montré dans une expérimentation (Le Thai Bao 2004), le
symbole 2
1 lim 1
2
1 =
−
−
>
− x
x
x n’est, pour l’élève, rien d’autre qu’un ordre pour opérer algébriquement avec des règles d’action pertinentes. Notre choix permet donc un retour sur un exemple analogue.
- Dans le manuel en vigueur, le calcul de limite dans le cas d’une forme indéterminée
0
0 est caractéristique du type de tâches « calculer lim f(x)
x→a ».
- Le calcul de cette forme indéterminée est aussi l’un des problèmes historiques à l’origine du concept de limite. Ce problème apparaît dès Archimède lorsque la notion de la fonction n’est pas encore un objet mathématique selon Robinet (1983) :
Dans la première période qui se situe d’Archimède à la moitié du XVIIIe siècle, on ne peut pas proprement parler, utiliser le mot « concept de limites de fonctions » puisqu’il n’y a pas encore de manière clairement explicitée de concept de fonction.
Les problèmes qui se posent aux mathématiciens d’alors et qui relèvent peu ou prou du concept actuel de limite, sont schématiquement :
- Trouver des limites d’éléments géométriques […]
- Mesurer des grandeurs et des éléments « différentiels » attachés aux courbes et aux surfaces […]
- Calculer les formes indéterminées (par exemple, que vaut ) (
) (
x g
x
f en x = a si f(a) = g(a) = 0 ?) - Evaluer l’ordre de grandeur des sommes partielles des séries divergentes, ou des restes de séries convergentes. (Robinet 1983, pp. 232-233)
Résumé des choix macro-didactiques Graphe de f sur ] -1 ; +∞[ \{0,3}
Figure 1. Graphe de la fonction f sur l’intervalle ] -1 ; +∞[ \{0,3}
• Condition du calcul :
- La calculatrice CASIO fx-570MS est autorisée sans limitation sur l’usage des touches et des fonctions disponibles.
- Le calcul à la main n’est pas interdit.
• Fonction f : x a
3 , 0 7 , 0
21 , 0 1 , 0 ) 2
( 22
− +
−
= +
x x
x x x
f
- La fonction f est rationnelle, factorisable, continue et strictement croissante sur chaque l’intervalle du domaine de définition.
- Elle est discontinue et prolongeable par continuité en 0,3 et non prolongeable en -1.
• Limite l :
- l = 1. Il n’existe aucune valeur de x telle que f(x) soit égale à 1. Mais peut-on l’approcher d’aussi près que l’on veut ?
- lim ( ) 1
3 ,
0 =
→ f x
x .