manuels
II.1. Evolution de la transposition didactique sur la notion de limite a. Disparition du formalisme dans l’introduction de la notion de limite
Par rapport aux programmes précédents, le programme expérimental exclut toute définition en termes (ε, δ) dans l’introduction des notions de limite de suite numérique et de fonction.
- Ne pas utiliser ε, N pour définir la notion de la limite de suite numérique.
- Introduire la notion de la limite en 0 à travers des exemples concrets ; ensuite celle de limite différente de 0. (Programme 13)
- Définir la notion de limite de fonction par celle de suite numérique. (Programme, p14)
Il y a donc une tendance à exclure tout formalisme dans l’introduction de la notion de limite.
b. Nouvelle rubrique « Activité » dans les manuels expérimentaux
Par rapport aux manuels des programmes précédents, un nouveau dispositif didactique
« Activité » apparaît pour la première fois dans les manuels du programme expérimental.
Dans le livre de l’enseignant du manuel Algèbre et Analyse 11, les auteurs de la collection 2 recommandent un « renforcement des activités de l’élève » dans le manuel futur (p. 14).
Toujours selon ces auteurs, « les activités insérées dans le manuel sont multiformes. » (p.
14).
Les auteurs mettent en avant les principaux types d’activités suivants : - Activité de motivation
L’objectif de cette activité est d’apporter à l’élève une conscience du rôle, de la signification et de l’importance d’une nouvelle connaissance à enseigner […] (p. 14)
- Activité de découverte d’une nouvelle connaissance
[…] à travers cette activité, l’élève découvre par lui-même une nouvelle connaissance. Alors, la nouvelle connaissance apparaît comme un résultat du travail de l’élève pour résoudre le problème posé par l’activité. (p. 15)
- Activité de fonctionnement d’une ancienne connaissance
L’activité de fonctionnement d’une ancienne connaissance exige que l’élève rappelle ou mette en place certaines connaissances cruciales déjà enseignées pour favoriser la mobilisation de ces connaissances. (p. 15)
- Activité de renforcement et de mise en place d’une connaissance récente
Cette activité exige que l’élève mette en place une connaissance acquise récemment pour résoudre des problèmes […] (p. 16)
- Activité de validation d’une nouvelle connaissance
Ce sont des activités comme la démonstration d’un théorème ou d’une formule donnés précédemment. (p. 16)
Nous nous limitons ici à l’étude des « activités de découverte d’une nouvelle connaissance » : notions de limite de suite numérique et de fonction.
Dans le tableau 8, nous résumons les ressemblances et les différences entre ces activités de découverte dans les manuels Algèbre et Analyse 11 des deux collections 1 et 2.
Manuel
section Collection 1 Collection 2
limite de suite Expérimentation numérique Nombres rationnels
Calcul à la main
Expérimentation numérique Nombre décimal
Calcul instrumenté par la calculatrice limite de fonction Algèbre des limites de suites
numériques Expérimentation numérique
Nombre décimal et nombre rationnel Calcul instrumenté par la calculatrice et calcul à la main
Tableau 8. Activités de découverte des notions de limite dans les manuels expérimentaux Seul le manuel de la collection 2 propose dans les deux sections limite de suite et limite de fonction des expérimentations numériques.
De plus ces expérimentations numériques portent sur l’approximation décimale et sont instrumentées par la calculatrice. Nous nous centrons donc sur les activités du manuel Algèbre et Analyse 11 de la collection 2.
II.2. Approximations décimales dans les activités du manuel de la collection 2 sur la notion de limite
a. Approximation décimale instrumentée par la calculatrice
Le manuel introduit la notion de la limite 0 de la suite numérique (un) où un = n 1 par l’activité ci-après.
1 Soit la suite (un) où un = n 1.
Avec la calculatrice CASIO fx – 500MS, on peut établir un tableau de valeurs de la suite (un) :
a) Observez ce tableau et commentez ensuite le comportement des valeurs de un lorsque n augmente.
b) Représentez les termes u1, u2, u3, u4, u5, u10 sur l’axe numérique. Commentez les variations des distances de ces points à 0.
c) Quel est le terme de la suite à partir duquel la distance à 0 devient inférieure respectivement à 0,001 et 0,000 000 01 ? Quel commentaire pouvez-vous faire sur cette distance quand n
(On dit que la suite un = n
1 a pour limite 0 quand n tend vers l’infini positif) (p. 132)
Dans cette activité, l’exploration numérique n’est pas de la responsabilité de l’élève mais est donnée toute faite dans le tableau. Pour répondre aux questions, l’élève doit lire les données du tableau ; par exemple, pour répondre à la sous question c, il suffit que l’élève repère dans le tableau les lignes où figurent les nombres 0,001 et 0,000 000 01 et recopient les termes correspondants u1000 et à u100000000.
Qu’attend-on de l’enseignant dans cette activité ?
On peut lire les recommandations suivantes dans le livre de l’enseignant : La responsabilité principale de l’enseignant dans l’activité 1 est la suivante : - Diriger l’élève pour qu’il réponde aux questions durant l’activité.
- Ensuite, l’enseignant doit souligner la propriété caractéristique « un est inférieur à n’importe quel nombre positif à partir d’un certain terme » ; il doit énoncer « on dit que (un) a pour limite 0 quand n tend vers l’infini positif » quand (un) vérifie cette caractéristique.
(Op. cité, p. 144)
On attend donc un passage de la problématique d’« approximation x » (plus n augmente, plus un diminue : sous question a et b) à la problématique d’« approximation f(x) » : « un
est inférieur à n’importe quel nombre positif à partir d’un certain terme » - par un argument d’autorité de l’enseignant. Aucune validation théorique de l’affirmation de l’enseignant n’est exigée.
Nous complétons cette analyse par quelques commentaires sur la pertinence de l’usage de la calculatrice dans cette activité.
Y – a – il une raison à l’utilisation de la calculatrice ?
Le choix de valeurs entières (n ∈ N*) pour le calcul de la suite numérique (un) telle que un =
n
1 semble plus favorable à un calcul à la main (écriture de fractions) qu’à un calcul instrumenté par la calculatrice (décimalisation) : pourquoi donner des valeurs décimales approchées plutôt que des fractions ? Cette question nous semble d’autant plus pertinente que la représentation de valeurs rationnelles exactes
n
1 sur la droite graduée (par partage : Collèges 1 et 2) se révèle plus économique que celle de nombres décimaux (question b).
Une nécessité de la prise en compte du milieu calculatrice
Examinons le comportement de la décimalisation de la calculatrice dans le cas de la suite (un) telle que un =
n
1. Le tableau 9 ci-après présente l’affichage de la calculatrice CASIO fx-500MS dans le calcul de n
10
1 où n ∈ N*.
n = Affichage8 1,2,…,9 0,0{...01
n
10,…,99 10-n
100, 101, … Math ERROR
Tableau 9. Affichage de la calculatrice dans le calcul 1/10n
Le fait qu’à partir de n = 100, la calculatrice affiche toujours le signal d’erreur, « Math ERROR », devrait être prévu dans l’organisation de l’activité expérimentale à l’aide de la calculatrice pour pouvoir fournir une explication adéquate. Les calculs 10n où n ≥ 100 dépasse la capacité de la calculatrice ; mais le problème est que l’élève peut entrer ce calcul dans l’éditeur de la calculatrice et interroger l’enseignant sur le message renvoyé par la calculatrice.
b. Articulation avec les EDI au collège
La première activité de l’introduction de la notion de limite de fonction permet de revenir aux EDI du collège.
1 Soit la fonction f(x) = 2x.
1) Attribuer à la variable x les valeurs de la suite numérique (xn) comme le tableau suivant :
a) Calculer le terme général f(xn) de la suite numérique (f(xn)) où xn= 14243
n
99 ...
999 ,
0 = n
10 1− 1 b) Trouver la limite de la suite (f(xn)). (p. 145)
Les résultats des trois ingénieries didactiques présentés dans le Chapitre A1 permettent de prévoir, dans cette activité, l’apparition de l’obstacle infini – fini.
- EDIP9 : 0,(9) pour la limite de (xn) (quand n tend vers l’infini positif), - EDI Infini - fini non mathématique : 1,(9)8 pour la limite de (f(xn)).
Dans le livre de l’enseignant, l’apparition des EDI n’est pas prévue. Nous posons la question :
Quel est le recours possible pour l’enseignant face à l’apparition de ces EDI ?
Par rapport à l’institution actuelle, on trouve dans le manuel expérimental un exercice relatif à l’étude de la convergence d’une suite des nombres décimaux dans le topos de l’élève.
6. Soit la suite numérique (un) où un = 0,33…3 (n chiffres 3 après le virgule)
a) Démontrer que (un) est convergente en vérifiant qu’elle est croissante et bornée supérieurement.
b) Trouver limun.. (p. 145)
En tant que trace de OM2’ « existence de la limite d’une suite numérique », le critère de convergence indiquée dans la sous question a) est « monotone bornée » (théorème de Weierstrass). Les autres critères comme la définition formaliste en terme (ε, N) ou le
8 En utilisant la norme 2.
Cette calculatrice dispose deux normes de la représentation des résultats :
• Norm 1 : sortir sous la forme ax10n des nombres x ayant : x < 10-2 ou x≥ 1010 x x1 = 0,9 x2 = 0,99 x2 = 0,99 … xn= 14243
n
99 ...
999 ,
0 … → 1
f(x) f(x1) = 1,8 f(x2) = 1,98 f(x3) = 1,998 … f(xn) = ? … → ?
théorème des segments emboîtés (ou de la notion de suites adjacentes) sont hors programme.
Les auteurs du manuel présentent la solution qu’ils attendent pour cet exercice dans le livre de l’enseignant.
6a) un+1 – un = 123
3 chiffres 1
33 ...
33 , 0
+ n
- 123
3 chiffres
33 ...
33 , 0
n
= 0, 00...03
0 chiffres23 1
n
>0 pour tout n.
Alors, (un) est une suite croissante. (1)
un = 0,33…3 < 1 ∀n. Donc, (un) est bornée supérieurement. (2) De (1) et (2), on a (un) est convergente.
b) un = 0,33…3 = n 10
3 ...
33 = n nn
10
3 10 . 3 ...
10 . 3 10 .
3 −1+ −2+ +
= n
10 ... 3 10
3 10
3
2 + +
+ .
Alors 10
3 , 2 10
3 ,…, n 10
3 , … est la suite géométrique « décroissante infiniment » ayant q = 10
1 ,
on a donc : limun = lim( n 10 ... 3 10
3 10
3
2 + +
+ ) = ...
10 ... 3 10
3 10
3
2 + + +
+ n =
3 1 10 1 1
10 3
=
− . La tâche supra ne relie pas l’EDIP introduit au Collège à la notion de limite : l’ostensif
« 0,333… » reste absent. L’enseignant a pourtant ici l’occasion de traiter l’identification
« 0,(3) = 1/3 » en s’appuyant sur la notion de limite. De même, il peut prolonger cette tâche par l’identification « 0,(9) = 1 » en donnant à cette EDIP9 le statut de limite : si 0,(9) est la limite de la suite numérique un = 0,99…9 (n chiffres 9 après le virgule), on peut identifier « 0,(9) = 1 » selon la même technique du calcul de la limite dans la tâche supra.
Son rapport institutionnel aux ED permet-il à l’enseignant de lycée de s’en saisir ? C’est ce que nous examinerons dans le chapitre B2.