II.1. Stabilisation du processus d’enseignement des systèmes des nombres Il n’y a aucun changement sur l’organisation et la problématique de l’introduction de système des nombres par rapport aux programmes précédents.
A propos de l’EDIP, le programme demande :
L’élève doit distinguer un nombre décimal limité d’un nombre décimal illimité périodique. Il faut que l’élève comprenne qu’un nombre rationnel peut se représenter en écriture décimale limitée ou en écriture décimale illimitée périodique. (Programme collège, p. 20)
L’écriture décimale illimité est donc encore un objet d’enseignement du programme.
La différence de ce programme avec le précédent consiste à faire descendre l’introduction de la notion de nombre réel à la classe 7 (Cinquième) avec l’explication suivante.
L’introduction des notions de racine carrée, de nombre irrationnel (nombre décimal illimité non périodique) et de nombre réel est d’achever plus tôt l’enseignement de la notion de nombres, de donner accès au calcul numérique et aux contenus successifs. Il est suffisant que l’élève sache qu’un nombre réel est le nom commun des nombres rationnels et irrationnels ; que l’élève comprenne la signification de l’axe numérique. (Programme collège, p. 21)
L’axiome « biunivocité entre R et les points de la droite graduée » est recommandé, comme dans l’institution collège 1, pour accompagner la définition de R.
- Reconnaître la biunivocité 1-1 entre l’ensemble R et l’ensemble des points de l’axe numérique, l’ordre des nombres réels sur l’axe numérique. (Programme collège, p. 98) Comme dans l’institution collège 1, le nombre décimal n’est re- identifié que comme un nombre rationnel particulier. Le statut numérique du nombre décimal (opérations et ordre) a été étudié depuis le primaire où le programme se limite clairement aux nombres décimaux ayant trois chiffres décimaux après la virgule.
+ L’addition et la soustraction des nombres décimaux ayant au maximum trois chiffres décimaux. […]
+ La multiplication des nombres décimaux ayant trois chiffres décimaux au maximum (y compris la partie entière) et la partie décimale du produit ayant 3 chiffres décimaux au maximum.
+ La division des nombres décimaux ayant trois chiffres décimaux au maximum (y compris la partie entière) et la partie décimale du quotient ayant 3 chiffres décimaux au maximum.
(Programme primaire 2001, p. 36)
Nous analysons maintenant le manuel de la classe 7 (vol. 1) et son livre d’exercices pour la question : Y- a t’il une évolution du statut numérique des EDI par rapport au collège 1 ? Si oui, laquelle ?
II.2. Statut numérique des EDI : Ordre et opérations
Les opérations sur les EDI ne sont pas abordées ni dans le topos de l’élève, ni dans celui de l’enseignant.
La généralisation de l’ordre lexicographique sur les EDI à tous les nombres réels est précisée.
• Soient deux nombres x et y. On a toujours x = y ou x < y ou x > y.
[…] on peut comparer deux nombres réels de la même façon que deux nombres rationnels à partir de leurs écritures décimales.
Exemple :
a) 0,3192… < 0,32(5) b) 1,24598… > 1,24596…
?2 Comparer les nombres réels suivants a) 2,(35) et 2,369121518…
b) -0,(63) et 11
− 7 (Mathématique 7, vol.1, p. 43)
Dans le manuel et son livre d’exercices, on trouve 13 tâches concernant la comparaison des EDI.
II.3. Trace de OM3 « développement décimal d’un nombre réel » a. Rapport institutionnel aux EDIP
• Y- a –t’il une évolution dans la technique du type de tâches TEDIP « écrire une fraction donnée en EDIP » ?
On trouve, dans le manuel, 14 exemplaires de ce type de tâches sur un total de 27 tâches (soit 52%). Ce type de tâche occupe donc une place importante comme dans l’institution précédente.
Il n’y a pas de changement dans la technique pour accomplir ce type de tâches par rapport l’institution précédente. La technique porte toujours sur la répétition de chiffre dans le quotient décimal approché de la division euclidienne.
Exemple 2 : Ecrire la fraction 12
5 en écriture décimale.
On a :
Cette division n’est jamais finie. Si l’on effectue encore la division, le chiffre 6 est répété dans le quotient. On dit que l’effectuation de la division 5 par 12 nous donne un nombre (0,4166…) appelé nombre décimal illimité périodique. Brièvement, on écrit 0,41(6). La notation (6) veut dire que le chiffre 6 est infiniment répété. Le nombre 6 s’appelle période du nombre décimal illimité périodique 0,41(6). (Ibid., p. 32)
12 5,0
20 80 80 8 M
0,4166…
Qu’est ce que la période ?
La période est donnée par les chiffres qui se répètent 2, 3 ou 4 fois dans le quotient d’une division ou dans une écriture décimale comportant des pointillés.
Ecrire sous une forme brève (mettre la période entre parenthèses) les nombres décimaux illimités périodiques : 0,3333… ; -1,3212121… ; 2,513513513… ; 13,26535353… (Livre de l’exercice de mathématique 7, exercice 86, p. 15)
Pourtant, la période n’est pas unique.
Question : Les nombres suivants sont-ils égaux ? 0,(31) et 0,3(13) (Mathématique 7, vol.1, p. 35)
Il n’y a donc qu’une légère modification du rapport institutionnel à la périodicité de l’EDIP par rapport à l’institution collège 1 : la notion de période donne lieu à plus d’exercices.
• Disparition du sous type de tâches « calcul décimal approché à 10-n près de « a : b » où a, b sont décimaux » de TEDIP
Les tâches « calcul décimal approché à 10-n près de « a : b » où a, b sont décimaux » ne sont plus présentes dans l’institution de collège 2.
Par rapport à l’institution collège 1, le programme et le manuel mathématique 7 en vigueur présente des règles d’arrondi d’un nombre décimal dans la section qui suit celle de l’EDIP.
Pourtant, sans lien avec l’EDIP, on présente simplement des règles pour supprimer des derniers chiffres du nombre décimal, par exemple :
Exemple : a) Arrondir le nombre 86,149 jusqu’au premier chiffre décimal. On trouve que le premier chiffre décimal du nombre 86,149 est 1. Le premier chiffre supprimé étant 4 (plus petit que 5), on garde 86,1. On obtient 86,149 ≈ 86,1 (arrondi jusqu’à le premier chiffre décimal.
(Ibid., p. 36)
• Nouveau type de tâches : Transformer une EDIP donnée en fraction correspondante On trouve dans l’institution « Collège 2 », dans le livre d’exercices, un nouveau type de tâches : Transformer une EDIP donnée en fraction correspondante.
Quelle est la technique pour accomplir ce type de tâches ? - Partie cours du Mathématique 7, vol.1, à la page 33 :
Exemple : 0,(4) = 0,(1).4 =
9 4 4 9.
1 =
- Exercices 88 et 89 du Livre de l’exercice de mathématique 7, vol.1, à la page 15 : 88. Pour écrire 0,(25) en fraction, on fait comme suit :
0,(25) = 0,(01).25 =
99 25 25 99.
1 = (car 0,(01) 99
1 = )
De la même façon, écrivez les écritures décimales suivantes en fraction : 0,(34) ; 0,(5) ; 0,(123).
89. Pour écrire 0,0(3) en fraction, on fait comme suit : 0,0(3) =
10
1 .0,(3) = 10
1 .0,(1).3 = 10
1 . 9 1.3 =
30 1 90
3 = (car 0,(1) 9
1= ).
De la même façon, écrivez les écritures décimales suivantes en fraction : 0,0(8) ; 0,1(2) ; 0,1(23).
La technique s’appuie sur la connaissance des écritures fractionnaires des EDIP de « base » 0,(1), 0,(01)…. L’écriture décimale à transformer est écrite comme produit d’une fraction
décimale et/ou de 0,(1), 0,(01)…. par un entier. Il n’existe ici pas de « règles d’écriture » systématiques : les passages 0,(4) = 0,(1).4 et 0,0(3) =
10
1 .0,(3) = 10
1 .0,(1).3 ressemblent aux règles algébriques du produit des nombres décimaux.
Le problème est que justement ces règles s’appuient sur une ressemblance ni justifiée, ni expliquée, avec celles du produit des décimaux. Cela renforce le prolongement des opérations des nombres décimaux aux EDIP.
Existe-t-il une règle algébrique systématique permettant le passage de l’EDIP à la fraction correspondante ? Nous en donnons deux, se rattachant à la technique institutionnelle.
Pour les EDIP de « base » Pour toutes les autres EDIP
{ {{
k n k n 9...90...0
) 1 01 ...
0 ( 0 ...
0 ,
0 123 =
{ {
k n
n k k k n k
k k k
u u u u qu
u u u
q 9...90...0
...
10 ) ...
...
( ...
, 1 +1 + = 1 + +1 +
Tableau 6. Deux règles d’écriture pour le passage d’une EDIP à l’écriture fractionnaire Comment justifier le passage d’une EDIP à la fraction correspondante pour la technique institutionnelle ?
Nous ne trouvons aucune justification dans l’institution. L’élève n’a pas à justifier que la fraction obtenue est bien celle qui correspond à l’EDIP en question. Pourtant, une justification possible pourrait être apportée par la praxis du type de tâches TEDIP - Ecrire une fraction donnée en EDIP - c'est-à-dire par l’effectuation des divisions euclidiennes correspondantes à la fraction trouvée, qui doit alors être interprétée comme le quotient du numérateur et du dénominateur.
Cependant, l’effectuation des divisions euclidiennes pour une fraction donnée ne peut pas justifier à elle seule l’égalité « 0,(9) = 1 ».
• Une identification du type « 0,(9)= 1 » est-elle présente ?
Les deux tâches suivantes apparaissent dans le Livre d’exercices de mathématique 7.
Démontrer que : a) 0,(37) + 0,(62) = 1 ;
b) 0,(33).3 = 1. (Exercice 91, p. 15)
Nous examinons la résolution proposée dans le Livre d’exercices de mathématique 7.
91. a) 0,(37) = 99
37 ; 0,(62) = 99 62 Donc 0,(37) + 0,(62) =
99 37 +
99 62=
99 99=1 b) 0,(33) =
99 33=
3 1 Donc : 0,(33).3 =
3
1.3 = 1 (p. 36)
Les auteurs évitent donc l’apparition de l’EPID9, alors même que la possibilité d’écrire l’égalité 0,(99) = 1 est offerte. L’identification du type « 0,999… = 1 » reste donc absente.
Le prolongement des opérations de l’ensemble D permet de prévoir l’apparition de l’écriture 0,(99) comme réponse aux tâches supra. L’institution prépare – t’elle l’apparition de l’écriture 0,(99) pour l’enseignant ? Si oui, qu’attend l’institution de l’enseignant ?
Aucune réponse n’est donnée dans le livre de l’enseignant. On peut donc supposer que la noosphère cherche à éviter le problème de la double écriture des nombres décimaux.
b. Rapport institutionnel aux EDINP
Les EDINP n’apparaissent que dans les tâches de comparaison des EDI. Pourtant, comme dans Collège 1, les écritures décimales produites ne sont jamais considérées comme des EDINP.
• Y- a –t’il une évolution dans la technique du type de tâches « calcul décimal approché à 10-n près d’une racine carré ou cubique » ?
L’institution collège 2 autorise officiellement l’utilisation soit d’une table numérique soit de la calculatrice dans le calcul approché d’une racine carré ou cubique. L’algorithme de l’extraction de la racine carrée ou cubique a totalement disparu.
Demande de savoir faire : […]
- Savoir utiliser le tableau numérique, la calculatrice pour trouver la valeur approchée d’une racine carrée d’un nombre réel positif. (Programme, p. 98)
En accord avec la demande du programme, les auteurs du manuel présentent la manipulation des touches de la calculatrice comme une technique officielle pour le calcul décimal approché de la racine carrée.
86. Utilisation de la calculatrice.
Touche de la racine carrée :
En utilisant la calculatrice, calculer : 3783025 ; 1125.45;
7 , 0
2 , 1 3 , 0 +
; 1,2 4 ,
6 . (Mathématique 7, p. 42) Dans les exemples du tableau supra :
- les deux premiers résultats sont les valeurs exactes des racines 5,7121 et 48
108× ;
- les deux derniers résultats sont les troncatures des affichages de la calculatrice dans le calcul de
5 , 3
2 , 8 3 ,
6 +
et 1,5 9 ,
7 . En effet, dans le calcul
5 , 3
2 , 8 3 ,
6 +
, les
Calcul Suite des touches Résultat
7121 ,
5 5 . 7 1 2 1 2,39
48
108× 1 0 8 × 4 8 = 72
5 , 3
2 , 8 3 ,
6 + 6 . 3 + 8 . 2 = ÷ 3 . 5 = 2,0354009
5 , 1
9 ,
7 7 . 9 ÷ 1 . 5 = 1,8737959
calculatrices autorisées12 dans EMS comme CASIO fx-220, CASIO fx-500A, CASIO fx-92, CASIO fx-500MS et CASIO fx-570MS donnent « 2,035400978 ».
Les auteurs n’utilisent pas de règles d’arrondi (qui viennent pourtant juste d’être présentées) pour les affichages décimaux de la calculatrice dans ces calculs. La troncature semble donc être associée à la calculatrice.
Les règles d’arrondi sont introduites sans raison d’être et totalement déconnectées avec les traces de OM3 (types de tâches TEDIP et « calcul décimal approché à 10-n près d’une racine carrée »).
II.4. Rôle de la droite graduée
Dans le topos de l’élève, il n’y a aucun changement du rôle de la droite graduée par rapport à l’institution collège 1.
- Absence des exercices de l’usage de la droite graduée pour comparer les nombres.
- Absence des exercices de construction de longueurs irrationnelles (constructibles à la règle et au compas).
- La représentation graphique des fonctions s’appuie sur la représentation des nombres rationnels sur la droite graduée.
Pourtant, dans le topos de l’enseignant, la droite graduée est mobilisée plus souvent que dans l’institution collège 1. Par exemple, pour arriver aux règles algébriques de l’addition sur l’ensemble des entiers Z, les auteurs du manuel Mathématique 6, vol.1, commencent par des exemples utilisant la droite graduée :
1. Addition des deux nombres positifs : […]
2. Addition des deux nombres positifs : […]
(p. 74)
§5. Addition des deux nombres ayant les signes différents […]
(p. 76)
12 Selon le décret n° 3343/KT&KD 29/04/2005 du Ministère de l’Education et de la Formation : Le candidat est autorisé à amener dans la salle d’examen :
- Stylo, règle, crayon noir, compas, équerre, outils pour la construction géométrique.
- Calculatrice ne possédant pas la fonctionnalité de traitement de texte et la carte mémoire. Plus précisément, sont autorisées les calculatrices ne pouvant réaliser que les quatre opérations arithmétiques, a racine carrée, et la puissance ; sont autorisées les calculatrices de la marque Casio fx 95, fx 200, fx 500A, fx 500MS, fx 570MS et les calculatrices équivalentes (avec les touches trigonométriques, logarithmes, exponentielles)
Cependant dans le livre d’exercices, seules les règles algébriques sont attendues des élèves pour résoudre l’addition des nombres entiers.
II.5. Résumé de l’évolution du rapport institutionnel aux systèmes de nombres et à leur décimalisation (du Collège 1 au Collège 2)
L’institution collège 2 fait descendre la définition de R par les ED et la droite graduée au niveau de la classe 7 (contre la classe 9 dans l’institution collège 1).
a. Statut numérique des écritures décimales
Il n’y a pas de modification du rapport institutionnel aux écritures décimales par rapport à l’institution de collège 1.
- Le rapport institutionnel au nombre décimal (EDL) reste celui de l’école primaire : on limite aux nombres ayant en maximum 3 chiffres décimaux. L’ordre dense dans D n’est pas étudié.
- L’institution attend officiellement que l’ordre sur les EDI prolonge celui de l’ensemble des nombres décimaux étudiés au primaire. On n’aborde pas d’opérations sur les EDI.
- L’EDINP n’a aucun sens dans le topos de l’élève en l’absence d’organisation mathématique relative à l’EDINP.
b. Relation entre les écritures décimales et nombres
Le flou des interrelations « nombre réel - écriture décimale du nombre réel – valeur décimale approchée du nombre réel » se renforce par rapport à l’institution collège 1. En effet :
- Les traces de OM3 « développement décimal d’un nombre réel » dans le collège 2 sont moins nombreuses que celles dans le collège 1 : le type de tâche « calcul décimal approché à 10-n près de « a : b » où a, b sont décimaux » n’est plus présent.
L’encadrement décimal (dn, dn’) reste absent.
- L’institution collège 2 autorise officiellement l’utilisation de la calculatrice dans le calcul décimal approché d’une racine carrée en supprimant totalement l’algorithme de l’extraction de la racine carrée.
- Les règles d’arrondi d’un nombre décimal sont présentes mais déconnectées totalement des traces de OM3.
L’identification des nombres décimaux ou non décimaux n’est pas de la responsabilité de l’élève. Le développement décimal d’une fraction dans le type de tâches TEDIP s’appuie toujours sur la même règle implicite que dans l’institution collège 1 : dans la division euclidienne de deux entiers (générateurs de l’écriture décimale d’un rationnel) une succession de chiffres répétée 2, 3 ou 4 fois dans le quotient est la période.
Par rapport à l’institution collège 1, l’identification algébrique d’une EDIP comme un nombre rationnel est présent dans le type de tâche « transformer une EDIP donné en fraction correspondante ». Dans les tâches de ce type du manuel, l’apparition de l’égalité 0,(99) = 1 est prévisible dans la praxis, mais l’indentification « 0,(9) = 1 » est toujours absente.
c. Le rôle de la droite graduée reste le même que dans l’institution collège 1 : la droite numérique réelle est réduite à la droite numérique rationnelle et le passage « axe gradué → ordre » n’est pas posé.
Nous analysons maintenant les traces de OM1 « algèbres de limites », OM2’ « existence de la limite d’une suite numérique » et OM3 « développent décimal d’un nombre réel » au lycée pour la question :
Quelle relation existe entre la notion de limite (introduite la classe 11) et la notion de nombre réel (définie au collège) ? En particulier, y a –t’il une reprise des ED dans l’étude de l’analyse ?
Chapitre B1
Deuxième partie. Au niveau du lycée
Programmes du Lycée et manuels correspondants
1. De 1990 à 1999, avec le programme de la « réforme de l’éducation », trois collections principales de manuels sont utilisées dans les trois régions nord, centre et sud du Viêt-nam.
2. À partir de 2000, avec le programme en vigueur intitulé « harmonisation et unification », une unique collection de manuels existe dans l’ensemble du pays.
3. Il y a actuellement un programme expérimental avec deux collections de manuels correspondants. Il est prévu de mettre en place ce programme à partir de l’année scolaire 2008-2009.
Commentaires initiaux sur les programmes
Il n’y a pas de grand changement dans le programme en vigueur (depuis 2000) par rapport au programme de la « réforme de l’éducation » de 1990 à 1999. Les deux directives principales du programme en vigueur proposées par le Ministère d’Education et de Formation (MEF) sont les suivantes.
1) Respecter globalement le dernier programme (programme de 1990 à 1999)
2) Alléger ce programme, c’est-à-dire abaisser le niveau exigé et simplifier certains contenus.
En particulier, le groupe des auteurs du manuel en vigueur est composé d’auteurs des trois collections de manuels du programme de 1990 à 1999. Notre étude, Le Thai Bao (2004), montre qu’il n’y a pas de grand changement dans le rapport institutionnel à la notion de limite entre les deux programmes (traces de OM1 et OM2).
Dans le programme expérimental et ses manuels, un auteur didacticien a la volonté d’intégrer des problèmes de l’approximation décimale dans l’enseignement de l’analyse qui est, selon lui (Le Van 2001), fortement algébrisé dans l’institution en vigueur.
Au niveau du lycée, nous étudions maintenant :
- « L’institution actuelle » (programme et manuel en vigueur) pour chercher les traces de OM1 et OM2, et plus particulièrement l’évolution des traces de OM2’ « existence de la limite d’une suite numérique » et OM3 « développement décimal d’un nombre réel » par rapport à l’institution du programme de 1990 à 1999,
- Comment se traduit, dans le programme expérimental, la volonté d’intégration des problèmes de l’approximation décimale dans l’étude de la notion de limite.