Ecole Doctorale Sciences pour l’Ing´ enieur de Clermont-Ferrand

Le Centre européen de recherche nucléaire (CERN) a été créé en 1954 dans le but d'étudier la structure ultime de la matière. Ce mécanisme est lié à la propagation de la chaleur dans un matériau hétérogène.

Le projet LHC

Cet accélérateur circulaire est constitué, entre autres, de cavités d'accélération, d'aimants dipolaires qui visent à courber le faisceau afin qu'il puisse maintenir une trajectoire circulaire et d'aimants quadripolaires qui focalisent/défocalisent le faisceau. 1232 dipôles sont nécessaires pour couvrir 65% de l'anneau et ainsi créer un champ magnétique supérieur à 8 T.

Description des pieds supports et performances requises

Cet ensemble (bobines, colliers, culasse, cylindre) est appelé masse froide et est refroidi. La figure 1.6 représente schématiquement l'empilement des différents plis dans une vue en coupe transversale du support.

Choix des mat´ eriaux

1.8 - Le rapport de la conductivité thermique au module d'Young en fonction de la température [46]. Comparé au G-10, qui a deux fois plus de rigidité, le rapport est du même ordre de grandeur quelle que soit la température.

M´ ethode multi-´ echelle d’´ etude

Il est également possible d'utiliser un autre indice de performance I, défini par le rapport entre la résistance spécifique à la pression σ et la conductivité thermique moyenne λ (I = ρλσ. 34] pour les composites à matrice métallique et polymère dans une plage de température comprise entre 4,2 K et 77 K.

Conclusion

Etat de l’art

Introduction

Conduction thermique dans les solides et dans les composites unidirectionnelsles composites unidirectionnels

• M´ ecanisme de type ´ electronique
• M´ ecanisme de type vibratoire
• Conductivit´ e thermique dans les mat´ eriaux amorphes
• Conductivit´ e thermique longitudinale dans un com- posite unidirectionnelposite unidirectionnel
• Conductivit´ e thermique transversale dans un compo- site unidirectionnelsite unidirectionnel
• Mod´ elisation du transfert thermique ` a l’interface
• D´ etermination des probabilit´ es de transmission moyen- nes des phonons avec l’AMMnes des phonons avec l’AMM
• D´ etermination des probabilit´ es de transmission moyen- nes des phonons avec le DMMnes des phonons avec le DMM
• Mesures de la r´ esistance d’interface aux temp´ eratures cryog´ eniquescryog´eniques

Fig.2.1 – Evolution de la chaleur spécifique de Debye (a) et du libre parcours moyen des phonons (b) avec la température. Transfert de chaleur à l'interface de deux solides à très basse température 41. a) Onde incidente longitudinale (b) Onde incidente transversale Fig.

Conclusion

Introduction

• D´ efinition du probl` eme
• Equation de la chaleur
• Formulation variationnelle
• Formulation variationnelle de l’´ equation de la chaleur
• Formulation variationnelle de l’´ equation de la chaleur

Dans le cas stationnaire sans source de chaleur, le problème de conduction thermique appliqué au composite unidirectionnel peut être exprimé mathématiquement par . Pour ce faire, on recherche le champ de température T| sous la forme d'un développement asymptotique en fonction de la puissance | et les variables spatiales x,y. Par conséquent, en utilisant la propriété de périodicité [58], nous obtenons la formulation variationnelle de l’équation de la chaleur à l’échelle microscopique.

R´ esolution num´ erique

• G´ eom´ etrie et maillage du VER p´ eriodique
• Discr´ etisation de la formulation variationnelle
• Application des conditions aux limites de p´ eriodicit´ e

En choisissant v1 =v1(x) dans l'équation (3.19) et en utilisant l'équation (3.21) et la propriété de périodicité, nous obtenons l'analyse par équation homogène de la conduction thermique dans un composite unidirectionnel. Ce maillage est ensuite exporté vers le logiciel scientifique MATLAB où la formulation variationnelle (3.22) est implémentée. L'équation (3.22) permettra de trouver le champχk et la conductivité thermique effective λef(T0) du composite unidirectionnel.

R´ esultats et comparaisons

• Influence de l’imp´ edance K sur la conductivit´ e trans- verse d’un composite UDverse d’un composite UD

Les propriétés mécaniques des fibres de verre E et de la résine époxy utilisées dans le modèle sont présentées dans le tableau 3.1. En effet, pour les températures élevées, les modèles calculés par DMM ou AMM convergent vers le modèle de contact complet en raison de l'augmentation très rapide (proportionnelle à T03) du deuxième terme de relation (3.22) avec la température. La figure 3.10 montre les résultats théoriques et expérimentaux de conductivité thermique transversale pour plusieurs vitesses de fibre.

Conclusion

En fait, en dessous de 10K les résultats sont très proches de ceux trouvés expérimentalement par Radcliffe [54], contrairement aux modèles d'évaluation classiques qui donnent des résultats similaires au modèle d'éléments homogénéisants à contact complet. Ce modèle s'est révélé très satisfaisant pour des températures comprises entre 2 K et 10 K, contrairement aux modèles classiques actuels d'estimation de la conductivité thermique transversale. L'objectif actuel est d'utiliser ce modèle pour évaluer le comportement thermique d'une mèche puis d'un composite tressé verre E/époxy à très basse température.

Introduction

Mod´ elisation d’un composite tress´ e

• G´ eom´ etrie et maillage
• Chargement
• Th´ eorie de la mesure
• Dispositif exp´ erimental

L'expression de la conductivité thermique équivalente de l'échantillon est obtenue en intégrant l'équation (4.4) le long de l'échantillon. Perte par rayonnement : L'extérieur du barreau est toujours à 4,2K (bain d'hélium), la chaleur rayonne de l'échantillon vers le barreau. Tc et Tcanne sont les températures de l'échantillon et de la tige, εe etεcanne les émissivités respectives.

R´ esultats num´ eriques et exp´ erimentaux

Finalement, on constate que le modèle avec le tissu donne de meilleurs résultats que celui basé sur la théorie du stratifié malgré un léger écart. Cette différence peut être en partie liée au fait que la teneur en fibres utilisée dans le modèle de matériau n'est pas la même que celle de l'échantillon (46 %). Pour obtenir le taux de fibre réel, il faudrait augmenter le taux de compactage du modèle numérique.

Estimation du tenseur de conductivit´ e ther- mique effective du tissu

• D´ etermination de Λ 12 , Λ 23 et Λ 13
• R´ esultats

Dans le deuxième cas de chargement, la température est appliquée à chaque nœud appartenant aux faces de V ERt (figure 4.13 b) de sorte qu'il existe un gradient thermique constant égal à G2 selon la direction 2. Dans le troisième cas de chargement, la température est appliquée à chaque nœud appartenant aux faces de V ERt (figure 4.13 c) pour qu'il y ait un gradient thermique constant égal à G3 selon la direction 3. Dans le premier cas de chargement, la température est appliquée à chaque nœud appartenant aux faces de V ERt (figure 4.13 d) pour que l'on ait un gradient thermique constant égal à G1 selon la direction 1 et égal à G2 après la direction 2.

Conclusion

4.13 – Représentation des différents cas de chargement. a) Composants sur la diagonale (b) Composants hors de la diagonale Fig.

Conclusion

Etat de l’art

Introduction

Comportement thermo´ elastique des diff´ erents constituantsconstituants

• La fibre de verre E

Cette figure montre que le module d'élasticité augmente de manière non linéaire avec la diminution de la température. 6.2 – Evolution de la déformation thermique de la résine époxy en fonction de la température [60]. L'objectif du paragraphe suivant est de présenter différents modèles permettant d'évaluer le comportement thermoélastique effectif d'un composite unidirectionnel.

Comportement ´ elastique d’un composite uni- directionnel

Ces modèles ont ensuite été améliorés en prenant en compte l'inclinaison des mèches [20] puis leur ondulation [44]. En couplant ces modèles avec des techniques d'homogénéisation [16][18], le comportement mécanique du composite tressé est estimé avec une bonne précision. Le plus gros problème de ces modèles est de construire la géométrie du renfort textile.

Conclusion

Ils ne pourraient être utilisés que pour des composites renforcés par des fibres droites orientées dans deux ou trois directions [51]. Dans le cas des composites triaxiaux, la description mathématique de la géométrie du renfort s'avère très difficile à réaliser. Il est donc préférable d'utiliser des modèles numériques basés sur la méthode des éléments finis.

Introduction

• Formulation forte
• Formulation variationnelle
• D´ eveloppement asymptotique ` a deux ´ echelles
• Formulation variationnelle ` a l’´ echelle microscopique
• Formulation variationnelle ` a l’´ echelle macroscopique

Dans le cas statique, les forces volumiques sont négligées, les équations d'équilibre statique s'écrivent : où σǫ est le tenseur de contraintes associé au vecteur déplacement uǫ par la loi de comportement thermoélastique suivante. 7.2) Cǫ(x∗, Tǫ) est le tenseur de rigidité symétrique dépendant de la température Tǫ et εthermǫ le tenseur de déformation thermique. En multipliant l'équation (7.1) par le tenseur de déformation εǫ(vǫ) associé à un test vectoriel de déplacement vǫ, en appliquant la première forme du théorème de Green [58] et en introduisant l'équation (7.2) à (7.4), la formulation variationnelle qui est associée avec le problème de thermoélasticité.

R´ esolution num´ erique

• Discr´ etisation des formulations variationnelles
• Application des conditions aux limites de p´ eriodicit´ e

Les vecteurs χmn, ϕ et les vecteurs de test v1 associés sont interpolés par des fonctions de la forme Nij. Les trois équations précédentes sont alors introduites dans chaque terme des formulations variationnelles (7.19) et (7.20), qui deviennent après contraction des indices.

R´ esultats et comparaisons

D'après ce tableau et le tableau précédent, on constate que les modules longitudinaux dépendent très peu de la température. Ce résultat s'explique par le fait que, dans le sens longitudinal, le comportement mécanique du composite est essentiellement lié au comportement des fibres, qui est quasiment indépendant de la température. 7.5 – Développement de modules de cisaillement. νLT) est toujours inférieur au coefficient transversal (νT T′) et les deux sont presque indépendants de la température.

Introduction

Mod´ elisation d’un composite tress´ e

Pour valider ensuite le modèle numérique avec des résultats expérimentaux (voir paragraphe 8.4), des conditions aux limites simulant un essai d'arrachement sont appliquées à V ERt. Après résolution, le module de traction Eti est calculé à l'aide de la relation suivante. Ces tests ont été réalisés sur des échantillons composites tissés découpés dans une plaque avec le même renfort que dans les supports du LHC.

Mesure du module d’´ elasticit´ e d’un composite tress´e

Comparaisons entre les r´ esultats exp´ erimen- taux et num´ eriquestaux et num´eriques

En raison de problèmes avec les mesures du module de traction, un essai de traction n'a pas été réalisé dans la direction 3 à 77 K. Un essai de traction n'a pas été réalisé dans la direction 2 car elle correspond à la charge par rapport à l'épaisseur (faiblesse) de l'éprouvette. L'augmentation de la rigidité de la résine avec la diminution de la température affecte directement la rigidité du composite tissé.

Estimation de la matrice de rigidit´ e effective du composite tress´edu composite tress´e

• D´ etermination des Q ii
• D´ etermination des Q ij

Quelle que soit la température, le modèle donne des résultats satisfaisants aussi bien dans la direction 1 que dans la direction 3 avec une erreur relative inférieure à 6,8 %. Ceci se justifie par le fait que dans cette direction le rôle de la résine est plus important car il n'y a pas de mèche traversant l'échantillon, contrairement à la direction 3. Connaissant le tenseur de rigidité effectif e (voir section précédente), l'équation suivante fait possible d'identifier le vecteur de déformation thermique efficaceεthermef f recherché.

R´ esultats

Ce résultat était prévisible car la direction associée à cette composante est la même que la direction de la mèche à 0˚. Enfin, la composante E22 a la valeur la plus faible du fait qu'aucune mèche ne traverse VERt dans le sens connecté. Par un raisonnement analogue, comme souligné dans l'analyse des composantes du tenseur de rigidité, la déformation thermique est la plus importante selon la direction 2, suivie de celle selon la direction 1 puis selon la direction 3 (Figure 8.5).

Conclusion

Conclusion

Introduction

Dans un premier paragraphe, le modèle géométrique et son maillage sont présentés. Puis dans un deuxième paragraphe le comportement thermique du pied est analysé pour déterminer la répartition du champ de température. Enfin, le comportement thermoélastique en compression du support et en environnement cryogénique est présenté.

Construction du mod` ele

L'objectif de cette partie est d'évaluer le comportement thermoélastique des supports composites des cryodipôles du LHC en conditions réelles. A cet effet, un modèle éléments finis représentant le support avec son environnement immédiat est construit dans le logiciel ANSYS. Cette étude commence par la modélisation d'un essai de compression du support à température ambiante, suivie d'une comparaison avec les résultats d'un essai.

Comportement thermique du support

• Compl´ ements sur la mod´ elisation
• Mesures de pertes de flux sur le support
• R´ esultats et comparaisons

La figure 10.4 illustre la répartition du champ de température obtenu dans le pied et le long du pied. La figure 10.4 (a) montre que la variation de température est fonction uniquement de l'altitude. La seule région où la distribution de température est non linéaire se situe entre 4,2 K et 50 K.

Comportement thermo´ elastique du support

• Validation du mod` ele
• Etude du pied dans les conditions r´ eelles d’utilisation

Après résolution, le déplacement vertical de la jambe supérieure est de -0,38 mm. À l’aide de l’équation (10.1), nous dérivons le module d’élasticité vertical équivalent de la jambe qui est de 22 GP a. Après résolution, le déplacement vertical de la jambe supérieure est de -1,08 mm.

Conclusion

Le modèle d'homogénéisation périodique a été implémenté dans MATLAB en utilisant la méthode des éléments finis 3D. La conductivité thermique équivalente ainsi obtenue a été validée par des mesures issues de la littérature. En assimilant localement une mèche à un composite unidirectionnel, les résultats précédents ont été utilisés dans la modélisation d'un composite tressé triaxial par la méthode d'homogénéisation basée sur le théorème énergétique de Hill.

Introduction

Ce volume est ensuite rempli de résine, formant ainsi le composite tressé VER. En effet, initialement la géométrie était importée dans ANSYS, mais il s'est avéré impossible de la connecter suite à l'incompatibilité entre les surfaces paramétrées et la fonction vsweep qui permet de connecter un volume en balayant une surface maillée à l'intérieur de celui-ci. Les surfaces en contact avec les mèches sont maillées de la même manière.

Calcul thermom´ ecanique pour divers compo- sites tress´ es

A.2 – Exemple de géométrie d'un volume élémentaire représentatif d'un matériau composite tressé, modélisé selon CATIA. Les surfaces latérales des murs sont maillées avec des éléments carrés à 4 nœuds. Ce maillage est ensuite exporté vers le logiciel ANSYS, où est effectué le calcul de la conductivité thermique et du module d'élasticité longitudinal.

Conclusion

A.5 – Evolution de la conductivité thermique (a) et du module élastique (b) selon 1 en fonction de la température, pour les quatre orientations du noyau. Par conséquent, pour des charges mixtes en température (basse et haute) sur une structure à base du composite tressé étudié, le paramètre de conception déterminant est finalement la rigidité.

Introduction

Partie thermique

Une fois validé (bouton enregistrer), on revient à la fenêtre représentée sur la figure B.1. Enfin, nous introduisons la conductivité thermique, dépendante de la température, des différents ingrédients. Dans cette fenêtre nous avons la possibilité de tracer directement l'évolution de la conductivité thermique longitudinale et transversale en fonction de la température ou de l'utiliser pour calculer puis tracer la conductivité thermique équivalente d'un stratifié.

Partie m´ ecanique

A noter que toutes les valeurs de chacun des coefficients sont stockées dans des fichiers Excel.

Conclusion