opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Σήματα και Συστήματα | Δειγματοληψία

Σήματα

Δειγμα

Κωνσταντί Τμήμα Πλη

α‐Συστή

ατοληψί

ίνος Κοτρόπ ηροφορικής

Θεσσαλ

ήματα

α ‐Λυμέ

πουλος  ς 

λονίκη, Ιούν

ένες ασκ

νιος 2013 

κήσεις

Άδ

Το  π εκπ άδε

Χρ

Το  έργο Αρισ ανα

Το  έ και  (Ευρ

δειες Χρή

παρόν  εκπα αιδευτικό υ εια χρήσης α

ηματοδό

παρόν  εκπ ου  του  δ στοτέλειο  αδιαμόρφωσ

έργο  υλοπο Δια  Βίου  ρωπαϊκό Κο

ήσης 

αιδευτικό  υ υλικό, όπως αναφέρετα

ότηση 

παιδευτικό  διδάσκοντα

Πανεπιστ ση του εκπα

οιείται  στο  Μάθηση»

οινωνικό Τα

Θεσσαλ υλικό  υπόκ ς εικόνες, π

ι ρητώς.  

υλικό  έχει α.  Το  έργ ήμιο  Θεσσ αιδευτικού 

πλαίσιο  το

»  και  συγχ αμείο) και α

λονίκη, Ιούν ειται  σε  άδ που υπόκειτ

ι  αναπτυχθ γο  «Ανοικ

σαλονίκης»

υλικού.  

ου  Επιχειρη χρηματοδοτ από εθνικού

νιος 2013  δειες  χρήση ται σε άλλο

θεί  στα  πλ κτά  Ακαδη

»  έχει  χρ

σιακού  Προ τείται  από ύς πόρους.

ης Creative  ου τύπου άδ

λαίσια  του  ημαϊκά  Μ ρηματοδοτή

ογράμματο ό  την  Ευρω

Commons.

δειας χρήση

εκπαιδευτ αθήματα  ήσει  μόνο 

ος «Εκπαίδε ωπαϊκή  Έν

.  Για  ης, η 

ικού  στο  τη 

ευση  ωση 

x(t)

ω_s= 10000π

ω X(jω) = 0^!

"

# $ X(jω) = 0 |ω|> ^ω₂^s

$ # X(jω) = 0 |ω|>5000π

x(t) ^{% & '(}

ω_c = 1000π ^{) '(}

x(t) ^{$ $ )} x(t)

) &

'!

*+ T = 0.5×10⁻³

*&+ T = 2×10⁻³

*+ T = 10⁻⁴

"

, & ' ) ω_c

ω_M =ω_c ^{# - )}

Nyquist

ω_s = 2ω_M = 2×10³π⇐⇒ 2π

T_s = 2×10³π ⇐⇒T_s = 10⁻³ sec. ^*01.+

# T < T_s ^{*+ *+}

2 Nyquist ^$

*+ x(t) = 1 + cos 2000πt+ sin 4000πt

*&+ x(t) = ^sin(4000_{π t} ^{π t)}

*+ x(t) =

sin(4000π t) π t

2

"

*+ 3 ) *+ 4000π ω_s = 2×4000π = 8000π f_s = ^ω_2π^s = 4000 Hz.

*&+ # 4 Fourier x(t) = sin(4000π t)

π t ←→^F X(jω) =

⎧⎨

⎩

1 |ω|<4000π

0

*01/+

ω_s = 2×4000π = 8000π f_s = _2π^ωs = 4000 Hz.

*+ # & y(t) = ^sin(4000_{π t} ^{π t) ,} x(t) = y²(t) X(jω) =

2π1 (Y ∗Y)(jω) ^{# *01/+} Y(jω) ^{$) )} 4000π

% $ )$ )

) X(jω)^$ 8000π

$

2π f_s = 2×8000π⇐⇒f_s= 8000 Hz. ^*015+

x(t) ^$ Nyquist ω₀ ^{2 $} Nyquist

$ $

*+ y(t) = x(t) +x(t−1)

*&+ y(t) = _dt^dx(t)

*+ y(t) = x²(t)

*+ y(t) = x(t) cosω₀t

"

*+# Fourier, Y(jω) =

X(jω) +e^−jωX(jω) ^' X(jω) = 0 |ω| > ^ω₂⁰ Y(jω) = 0 |ω| > ^ω₂⁰

# Nyquist ^$ ω₀

*&+ # ' Fourier, Y(jω) = jω X(jω)

X(jω) = 0 |ω|> ^ω₂⁰ Y(jω) = 0 |ω|> ^ω₂⁰ Nyquist

$ ω₀

*+ # Fourier,

Y(jω) = _2π¹ (X ∗X)(jω) ^{# )} Y(jω) ^$ 2× ^ω₂⁰ = ω₀

Nyquist ^$ 2×ω₀

*+ # '

x(t) cosω₀t ←→^F 1

2π X(jω)∗

δ(ω−ω₀) +δ(ω+ω₀)

= 1 2π

X(j(ω−ω₀)) +X(j(ω+ω₀)) .

*016+

7 ) ' $ ω_M = ω₀ + ^ω₂⁰ = ³₂ ω₀ ^#

Nyquist ^$ ω_N = 3ω₀

3 $ x(t) = 3 cos(4π t) −

6 sin(10π t)^!

"

3 ) ω_M = 10π ^# ω_s ≥ 2ω_M =

2×10π f_s ≥10 Hz. ⁴ f_s ≈30 Hz.

x(t) Nyquist ω₀ y(t) = x(t)p(t−1) p(t) =

+∞

n=−∞

δ(t−nT), T < 2π

ω₀. ^*011+

2 $ '

' x(t) ^% y(t)

"

# % Fourier p(t) ^#

Fourier

p(t)←→^F 2π T

+∞

k=−∞

δ(ω−kω_s) = 2π T

+∞

k=−∞

δ(ω− 2π k

T ) ^*018+

p(t−1) ←→^F e^−jω 2π T

+∞

k=−∞

δ(ω−2π k T ) 2π

T

+∞

k=−∞

exp(−j2π k

T )δ(ω− 2π k

T ). ^*019+

#

y(t) =x(t)p(t−1) ←→^F Y(jω) = 1

2π X(jω)∗2π T

+∞

k=−∞

exp(−j2π k

T )δ(ω− 2π k T )

Y(jω) = 1 T

+∞

k=−∞

exp(−j2π k

T )X(j(ω− 2π k

T )). ^*01:+

'X(jω) ^{;01. ' ) (}

ω0

2

1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 ω

X(jω)

ω0

−^ω₂⁰ 2

; 01." < X(jω)

, ' Y(jω) ^{$ '} X(jω)

' k^2π_T ^{' ;01/ 7} ω_s = ^2π_T ^{;' - )}

ω_s ≥2ω₀

2 ⇐⇒T ≤ 2π

ω₀ ⇐⇒ 1 T ≥ ω₀

2π. ^*010+

= &' (

H(jω) =

⎧⎨

⎩

T |ω| ≤ω_c

0

*01.>+

) ; 01/ , T ^{% )}

1

T ^*01:+ X(jω) ^{) )& 3')}

ω_c ω₀

2 < ω_c < 2π T − ω₀

2 . ^*01..+

) k = 0 ^{*01:+ '}

' $ %' '

1

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8 ω

Y(jω)

ω0

−^ω₂⁰ 2

ω_c

−ω_c

2π

−^2π_T ^2π_T −^ω₂⁰ T ^2π_T +^ω₂⁰ T

;01/" < Y(jω)

; 015 x₁(t) x₂(t)

w(t)^{& ) ) )}

w_p(t) ^{, & )} x₁(t) x₂(t)

x₁(t)

x₂(t)

× ×

p(t) =_+∞

n=−∞δ(t−nT)

w_p(t) w(t)

; 015" ; # 019

;016011 2

T ⁾ w(t) ^$ w_p(t) ^&

'

1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 ω

X₁(jω)

ω1

−ω₁

;016" < X₁(jω)

1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−5 ω

X₂(jω)

ω₂

−ω₂

;011" < X₂(jω)

"

# Fourier

w(t) = x₁(t)x₂(t)←→^F W(jω) = 1 2π

X₁(jω)∗X₂(jω)

. ^*01./+

' W(jω) ^{% ' $} |ω| ≤ ω₁+ω₂ w_p(t) =w(t)p(t) Fourier

w(t)

w_p(t)←→^F W_p(jω) = 2π T

+∞

k=−∞

W(jω)∗δ(ω−2πk T)

= 2π T

+∞

k=−∞

W(j(ω−2πk

T)). ^*01.5+

W(jω) ^' W_p(jω) 2π

T −ω₁−ω₂ ≥ω₁+ω₂ ⇐⇒ 2π

T ≥2(ω₁+ω₂)⇐⇒T ≤ π

ω₁+ω₂. ^*01.6+

% * + % (zero-order

hold) T ^$ x₀(t) x₁(t)

) % x(t) x₁(t) =

+∞

n=−∞

x(nT)h₁(t−nT) ^*01.1+

h₁(t) ^{; 018 2}

' x₁(t) ^% x₀(t)

1

−1 1

−2 T^t

h₁(t)

−T T

; 018" ;h₁(t)

"

? x₁(t) = h₁(t)∗ _+∞

n=−∞x(nT)δ(t − nT) ⁷ x₀(t)

%'

x₀(t) =h₀(t)∗ ^+∞

n=−∞

x(nT)δ(t−nT) ^*01.8+

h₀(t) ^{; 019}

1

−1 1 T^t

h₀(t)

T

; 019" ;h₀(t)

# Fourier x₁(t) x₀(t)^"

X₁(jω) = H₁(jω)X_p(jω) ^*01.9+

X₀(jω) = H₀(jω)X_p(jω) ^*01.:+

+∞

n=−∞

x(nT)δ(t−nT)←→^F X_p(jω). ^*01.0+

#) H_d(jω) ^$'$ x₀(t)

$ % % x₁(t) ^@

H_d(jω) = X₁(jω)

X₀(jω) = H₁(jω)

H₀(jω) ^*01/>+

%$ *01.9+ *01.:+ A ) Fourier

g(t) =

⎧⎨

⎩

1− |t| |t|<1

0

←→F G(jω) = sin²(^ω₂)

(^ω₂)^{2 *01/.+}

h₁(t) =g(_T^t) Fourier

H₁(jω) = 1

|a| G(jω a)|_a=¹

T=T G(j T ω) =Tsin²(^ωT₂ )

(^ωT₂ )² . ^*01//+

# h₀(t) t ← t+ ^T₂

$)h₀(t+^T₂) =u(t+^T₂)−u(t−^T₂)u(t)^&

* Heaviside) ^{) )} Fourier

h₀(t+ T

2)←→^F 2T sin(^ωT₂ )

ωT . ^*01/5+

# % *01/5+ H₀(jω) exp(jω^T₂)

#

H₀(jω) = exp(−jωT

2)2T sin(^ωT₂ )

ωT . ^*01/6+

4 $

h₁(t) = √1

Th₀(t+ T 2)∗ √1

Th₀(t+T

2) ^*01/1+

H₁(jω) = 1

T exp(jω T)H₀²(jω). ^*01/8+

#$) *01/8+ *01/>+

H_d(jω) = 1

T exp(jω T)H₀(jω) = 2 exp(jωT

2)sin(^{ω T}₂ )

ω T . ^*01/9+