[Dit korte artikel wordt ondanks de nodige bezwaren van de re- dactie geplaatst in het destijds nieuwe Tijdschrift voor Wijsbegeerte (2e jaargang). Het behandelt in afzonderlijke punten de rol van de logica in achtereenvolgens de wetenschap, de wijsheid en de wis- kunde. Brouwer, die sowieso weinig toegankelijk schrijft, levert hier wellicht zijn meest duistere proza af, en dan met name in het begin van het artikel. De hierna volgende tekst bevat dan ook re- latief veel ‘vrije vertaling’.]
1. De wetenschap richt zich op causale verbanden (volgreeksen) tussen klassen van gelijkende waarnemingsobjecten in de tijd – waarbij onderscheid wordt gemaakt tussen het subject (van de waarnemer) en ‘iets anders’. In het verleden tussen dergelijke ver- schijnselen waargenomen causale patronen worden na abstractie in een wiskundig systeem samengevat, dat geacht wordt ook voor de toekomst te gelden. Alle mogelijke verschijnselen laten zich in een dergelijk wiskundig systeem ‘intelligeren’. Maar geen enkel op grond van waarnemingen opgesteld wiskundig systeem kan voor onbepaalde tijd betrouwbaar blijven. Wie zo’n wiskundig systeem als uitgangspunt neemt van zijn logische redeneringen, zou dus uit wetenschappelijk aanvaarde premissen heel goed onaanneme- lijke conclusies af kunnen leiden. Dit strookt niet met de klassie- ke opvatting [van o.a. Aristoteles en Descartes] dat de empirische wetenschappen zich uit algemeen aanvaarde premissen met zuiver logische principes op laten bouwen. Dat is alleen mogelijk voor de onafhankelijk van elke ervaring in het intellect opbouwbare wis- kundige systemen. Vandaar dat onder meer de niet aan de praktijk getoetste conclusies van Aristoteles over de opbouw van de natuur niet overtuigen, of dat alle logica van Spinoza niets toevoegt aan de ervaren waarde van zijn werk. “Bovendien zijn bij betoogen betreffende op wiskundige systemen gespannen ervaringswerke- lijkheden de logische principes niet het richtende, maar in de be- geleidende taal achteraf opgemerkte regelmatigheid, en zoo men los van wiskundige systemen spreekt volgens die regelmatigheid, is er altijd gevaar voor paradoxen als die van Epimenides [die als Kretenzer beweerde dat Kretenzers altijd liegen].”
2. [Dit onderdeel wordt in zijn geheel woordelijk overgenomen, met weglating van de verwijzende noot.]
“In religieuze waarheid, in wijsheid, die de splitsing opheft in subject en iets anders, is geen wiskundig intelligeeren, daar de verschijning van den tijd niet langer wordt aanvaard, nog minder dus betrouwbaarheid van logica. Integendeel, de taal der inkeerende wijsheid verschijnt ordeloos, onlogisch, omdat ze nooit kan voeren langs in het leven gedrukte systemen van gesteldheden [= wiskundige systemen], slechts hun breking [=afwijking van de wiskundige systemen] kan begeleiden, en zoo misschien de wijsheid, die die breking doet, kan laten opengaan.”
3. [De relatie tussen logica en wiskunde is in het voorgaande al uitgebreid aan de orde geweest (zie Brouwer, 1907, hfdst. III: de betrouwbaarheid van logische redeneringen steunt op de zeker- heid van de opbouwbaarheid van de onderliggende wiskundige systemen). Uiteraard sluit dit stuk daarop aan.]
“Door alle tijden is in wiskunde met vertrouwen logisch gerede- neerd (…). In dezen tijd zijn echter paradoxen geconstrueerd, die wiskundige paradoxen schijnen, en wantrouwen wekken tegen het vrije gebruik van logica in wiskunde (…) [in een noot somt Brouwer enkele voorbeelden van zulke paradoxen op].” Deze pa- radoxen ontstaan “waar regelmatigheid in de taal, die wiskunde begeleidt, wordt uitgebreid over een taal van wiskundige woor- den, die geen wiskunde begeleidt (…); dat tenslotte alle paradoxen verdwijnen, als men zich beperkt, slechts te spreken over expliciet uit de oer-intuïtie opbouwbare systemen (…). Zoo blijft nu alleen nog de meer gespecialiseerde vraag: ‘Kan men bij zuiver wiskun- dige constructies en transformaties [door logische bewerkingen]
de voorstelling van het opgetrokken wiskundig systeem tijdelijk verwaarloozen, en zich bewegen in het accompagneerend taalge- bouw, geleid door de principes van syllogisme, van contradictie en van tertium exclusum, in vertrouwen dat door tijdelijke oproeping van de voorstelling der beredeneerde wiskundige constructies tel- kens elk deel van het betoog zou kunnen worden gewettigd?’ Hier zal blijken, dat dit vertrouwen voor de beide eerste principes wèl, voor het laatste niet gegrond is.” De toepassing van een syllogisme kan namelijk alleen een tautologie [=een puur formele en dus on- beduidende waarheid] opleveren [waarmee men zich onmogelijk van een onderliggend wiskundig systeem kan verwijderen], en het stuiten op een contradictie wijst inderdaad op de niet-opbouw- baarheid van het onderliggende wiskundig systeem. De vraag of het principe van het uitgesloten derde is toegelaten, komt neer op
de vraag of van elk wiskundig probleem kan worden vastgesteld dat het hetzij oplosbaar is, hetzij onoplosbaar (blijkend uit het fei- telijk stuiten op een contradictie). Deze opvatting heeft Hilbert uitgesproken, echter zonder aanwijzing van bewijs. “Zoolang al- leen bepaalde eindige discrete systemen gesteld worden, is het on- derzoek naar de mogelijkheid of onmogelijkheid eener inpassing [lees: oplossing van een wiskundig probleem] steeds beëindigbaar en voerend tot antwoord, is dus het principium tertii exclusi een betrouwbaar redeneerprincipe.” Voor oneindige systemen kun- nen eindige oplossingen worden gevonden met de toepassing van volledige inductie, “(…) namelijk door opmerken van eigen- schappen, d.w.z. inpassingen, die voor een willekeurig geheel getal gelden, in het bijzonder ook van contradicties, dat zijn onmogelij- ke inpassingen, die voor een willekeurig geheel getal gelden.” Maar ook de succesvolle toepassing van volledige inductie vereist een geslaagde constructie [dus: creatieve ingeving], en dus blijkt de oplosbaarheid van dergelijke problemen met oneindige systemen steeds pas achteraf: a posteriori. Zolang zo’n probleem niet daad- werkelijk is opgelost, blijft altijd de mogelijkheid bestaan dat men met een even gelukkige greep aan kan tonen dat het onoplosbaar is. “Zoodat in oneindige systemen het principium tertii exclusi vooralsnog niet betrouwbaar is. Toch zal men bij ongerechtvaar- digde toepassing nooit kunnen stuiten op een contradictie en zoo de ongegrondheid van zijn redeneeringen ontdekken.” [Brouwer geeft een ‘sprekend’ voorbeeld in de vorm van de vooralsnog on- bewezen, maar niettemin algemeen vertrouwde en gebruikte stel- ling, namelijk dat elk getal hetzij eindig, hetzij oneindig is (in zijn decimale ontwikkeling).]
“Samenvattende: In wijsheid is geen logica. In wetenschap is logica vaak, maar niet duurzaam doeltreffend. In wiskunde is niet zeker, of alle logica geoorloofd is, en is niet zeker of is uit te maken, of alle logica geoorloofd is.”