[Rede uitgesproken door Brouwer bij de aanvaarding van het ambt van buitengewoon hoogleraar in de wiskunde aan de Uni- versiteit van Amsterdam op maandag 14 oktober 1912. In deze inaugurale rede wil Brouwer opnieuw het verschil benadrukken tussen zijn eigen intuïtionistische visie op wiskunde, en die van het zogenaamde formalisme – hij hanteert van dit begrip een rui- me definitie die onder meer ook de logistiek [= logicisme] van Peano en Russell omvat. In die zin sluit ze nauw aan bij hoofdstuk III van zijn Over de Grondslagen der Wiskunde (zie 2.2.4.) Veel van de strekking mag inmiddels als bekend worden verondersteld. De gebruikte wiskundige voorbeelden zullen hier wederom niet in- houdelijk worden besproken. Volstaan wordt met de weergave van een aantal vermeldenswaardige citaten.]
[over wetenschap:] “En dat de menschheid steeds en overal in de natuur orde schept, ligt hieraan, dat zij de causale verschijnsel- reeksen, waarmee zij werkt, niet alleen isoleert, d.w.z. van storende nevenverschijnselen tracht vrij te houden, doch ook tot breedere handelbaarheid completeert met door eigen ingrijpen veroor- zaakte verschijnselen. Onder deze laatste nemen de resultaten
van tel- en meethandelingen een zoo belangrijke plaats in, dat een groot gedeelte der door de wetenschap ingevoerde natuurwetten uitsluitend betrekking heeft op den onderlingen samenhang van tel- en meetresultaten (…) inderdaad blijkt dan ook in den regel een natuurwet niet bestand tegen voldoende verfijning der meet- werktuigen.”
[over de exactheid van de wiskunde:] “Op de vraag, waar de wis- kundige exactheid (…) bestaat, antwoorden beide partijen ver- schillend; de intuitionist zegt: in het menschelijk intellect, de for- malist: op het papier.”
[over formalisten:] “De wiskundige exactheid ligt (…) voor den formalist uitsluitend in de wijze van ontwikkeling der relatieseri- en, en is onafhankelijk van de beteekenis, die men aan de relaties of aan de daardoor verbonden entiteiten zou willen toekennen.
En deze beteekenislooze relatieseriën, waarop de wiskunde zich ziet aangewezen, voeren volgens den consequenten formalist eerst dan een wiskundig bestaan, wanneer ze met de mathematisch-lo- gische wetten, die hun ontwikkeling beheerschen, in gesproken of geschreven woorden of teekens zijn verzinnelijkt tot de zooge- naamde symbolische logica.”
[over de redding van het intuïtionisme nadat de ontdekking van vooral de niet-Euclidische meetkunde tot de wiskundige teloor- gang van Kant heeft geleid:] “Hoe zwak na deze ontwikkelings- periode der wiskunde het intuïtionisme ook scheen te staan, het heeft zich hersteld, door van de theorie van Kant de aprioriteit der ruimte prijs te geven, doch aan de aprioriteit van den tijd des te vastberadener vast te houden.”
[over Brouwers eigen opbouw van de wiskunde op de oerintuï- tie van tijd uit enkel de ‘twee-eenigheid’:] “Hiermede (…) zijn op grond van de aprioriteit van den tijd niet slechts de eigenschappen der rekenkunde als synthetische oordeelen a priori gequalificeerd, doch ook die der meetkunde, en wel niet slechts der elementaire twee- en driedimensionale, doch ook der niet-Euclidische en der n-dimensionale. Immers sinds Descartes heeft men achtereenvol- gens al deze geometrieën door middel van coördinatenrekening op de rekenkunde leeren terugvoeren.”
[over de intuïtionistische eis van opbouwbaarheid van wiskun- dige systemen:] “Dientengevolge bestaan voor den intuititionist
slechts aftelbare verzamelingen [verzamelingen die zich met een constructie uit het tijdscontinuüm (verder: continuüm) laten op- bouwen]. (…) Nimmer mag (…) de intuïtionist de juistheid een- er wiskundige theorie verzekerd achten door waarborgen als het bewijs harer niet contradictoriteit, de definieerbaarheid harer be- grippen door middel van een eindig aantal woorden, of de practi- sche zekerheid, dat zij in de verstandhouding der menschen nooit tot misverstand aanleiding zal geven [=criteria die de formalisten wél hanteren].”
[over een stilzwijgende vooronderstelling onder het formalisme:]
“(…) de vooronderstelling van een onafhankelijk van het denken- de individu bestaande, aan de wetten van de klassieke logica ge- hoorzamende wereld van wiskundige dingen, die onder elkander de ‘relatie van een verzameling tot haar elementen’ kunnen bezit- ten. Met betrekking tot deze relatie worden verschillende aan de praktijk der eindige getallen ontleende axioma’s gepostuleerd [op basis waarvan de wiskunde met logische middelen verder wordt ontwikkeld] (…).”
[over een principieel bewijsprobleem van het formalisme:]
“Immers, om te bewijzen, dat onder de oneindig vele gevolgtrek- kingen, die uit het vooropgestelde systeem van axioma’s kunnen worden afgeleid, nooit de logische figuur der contradictie zal kun- nen optreden, is de eenige weg, eerst aan te toonen, dat, als bij de n-de gevolgtrekking nog geen contradictie aanwezig is, dit bij de (n+1)-de gevolgtrekking evenmin het geval kan zijn, en vervol- gens intuitief het principe van volledige inductie toe te passen.
Maar juist dit laatste mag de formalist zelfs dan niet doen, wan- neer hij het principe van volledige inductie bewezen heeft [Brou- wer laat met behulp van een voorbeeld zien dat de formalist an- ders in een vicieuze cirkel terechtkomt].”
[over overeenkomsten en verschillen in wiskundige resultaten tus- sen het intuïtionisme en het formalisme:] “Intusschen verschillen in het gebied der eindige verzamelingen, waar de formalistische axioma’s voor den intuitionist een volkomen duidelijke en direct aanvaarde interpretatie toelaten, de beide richtingen uitsluitend door hun methode, niet door hun resultaten; dit wordt eerst an- ders in het gebied der oneindige of transfinite verzamelingen (…) [Brouwer licht aan de hand van de zogenaamde paradox van Bu- rali-Forti toe hoe een consequente doorvoering van een bepaald door formalisten gebruikt axioma – het zogenaamde comprehen-
sieaxioma – onvermijdelijk tot contradicties voert; vgl. in de intu- itionistische wiskunde zijn contradicties al bij voorbaat uitgeslo- ten, omdat contradicties zich nu eenmaal niet laten opbouwen].”
[over de kunstgrepen van de formalisten om contradicties te ver- mijden:] “(…) de practijk van het formalisme heeft dan ook door de ontdekking der paradoxen geen andere wijzigingen ondergaan, dan dat uitsluitend de tot die paradoxen voerende verzamelingen zijn afgeschaft. Met de overige door het oude comprehensieaxi- oma gecreëerde verzamelingen wordt onbekommerd verder ge- werkt, en dit veroorzaakt, dat nog steeds uitgebreide velden van onderzoek, die voor den intuitionist van zin zijn ontbloot, de be- langstelling der formalisten in beslag nemen [Brouwer illustreert dit onderscheid met een voorbeeld over de zogenaamde machtig- heidstheorie].”
[over de kans dat de formalist en de intuïtionist het ooit eens zul- len worden:] “(…) de kans, dat men het in afzienbaren tijd zal eens worden, is vrijwel uitgesloten. Om met POINCARÉ te spre- ken: ‘Les hommes ne s’entendent pas parce qu’ils ne parlent pas la même langue et qu’il y a des langues qui ne s’apprennent pas’
[‘Mensen begrijpen elkaar niet omdat ze niet dezelfde taal spre- ken en omdat er talen zijn die niet kunnen worden geleerd.’ (mijn vertaling, MvB)]”