ДИНАМИЧЕСКИЙ ПОИСК ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА ПРИ МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГОЗАТРАТЕ

В.В. Аветисян

¹

, В.С. Степанян

¹

1

Ереванский государственный университет, Ереван vavetisyan@ysu.am, vahan.stepanyan@ysu.am

Аннотация. Рассматривается задача оптимального управления пространственным движением динамического объекта с целью поиска подвижного объекта, совершающего простое движение в прямоугольной области на плоскости. В качестве критерия оптимальности рассматривается функционал, учитывающий энергозатрату источника света, расположенного на ищущем объекте. Искомый объект считается обнаруженным при попадании в световой квадрат заданной освещенности. Предложен способ управления движением ищущего объекта, а также соответствующий закон изменения электрического тока в цепи источника света, обеспечивающие обнаружение искомого объекта за гарантированное время поиска при минимальной световой энергозатрате.

Работа выполнена при поддержке гранта Государственного комитета по наукеМОН РА № 18Т-2С127.

Введение

Во многих задачах поиска целевого объекта обнаружение осуществляется с помощью информационной области чувствительности. В качестве таковой можно рассматривать освещенную источником света область, которую можно перемещать в пространстве с целью обнаружения искомого объекта при его попадании в эту область [1]. В случае подвижного искомого объекта в ограниченной области для решения задачи поиска применяется подход [2], состоящий в построении управлений, при которых двигаясь по соответствующим траекториям ищущий объект осуществляет просмотр, заметая полосы, покрывающие всю область поиска. При определенных условиях на параметры поисковой системы такой подход выделяет множество управлений, гарантирующие успешное завершение поиска. В связи с этим целесообразно рассматривать задачу об оптимальном выборе гарантирующего управления. В качестве критерия оптимальности рассматривается функционал, учитывающий энергозатрату электрического точечного источника света, расположенного на ищущем объекте [1]. В отличие от [1,2] в настоящей работе ищущий объект управляется по ускорению, а областью освещения является квадрат. Предложен способ управления движением ищущего объекта и закон изменения электрического тока в цепи источника света, при которых обеспечивается обнаружение искомого объекта за гарантированное время поиска с минимальным потреблением световой энергии.

1. Постановка задачи

Рассматривается система из двух управляемых точечных объекта X(ищущий) и Y (искомый), движение которых описывается следующими уравнениями, начальными условиями и ограничениями:

0

1 1 2 2 3 3

1 2 3 3 3

(3)

1 2 3

: , , , (0) , (0) 0, 1, 2,3,

( ) , ( ) , ( ) , ,

( ) {( ) : 0 1 2 3}, 0,

i i i

i i

X x w x w x w g x x x i

w t W w t W w t W W g

x t D x , x , x x a , i , , t

      

   

     

ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ

(1.1)

0 (2)

1 2

: _{i i}, _i(0) _i, ( ) , 1, 2, ( ) {( ) : 0 _{i i} 1 2}, 0.

Y yɺ v y  y v t V i y t D  x ,x x a , i , t (1.2) В (1.1), (1.2) x y_i, _i– координаты положения объектов X, Y ; w v_i, _i– компоненты управляющего ускорения w и управляющей скорости v объектов X, Y соответственно, которые являются кусочно- непрерывными функциями от времени; W , W₃, V , a_i – заданные постоянные, g – ускорение свободного падения.

Пусть объекту X в процессе движения доступна полная информация о соотношениях и параметрах (1.1), (1.2) за исключением начальных координат y_i(0) y_i⁰ и текущих компонент v t_i( ) скорости объекта Y . Предположим, что для определения точных координат Y , у объекта X имеется специальное устройство в виде правильной четырехугольной пирамиды на вершине которой расположен изотропный точечный источник света. Излучаемые из источника световые лучи ограничиваются внутри пирамиды, вследствие чего на горизонтальной плоскости поиска образуется подвижная и изменяющийся по размеру область освещенности следующего вида:



^{1 2 (2) 1,2 1,2 3}



⁽³⁾

K( ( ))x t  ( , )ξ ξ D : ξ x ( )t  l Cx t( ), Ctg / 2 , x t( )D . (1.3) Область (1.3) – квадрат с центром в точке O x t ,x t( ( )_{1 2}( ))D⁽²⁾ и сo стороной длины 2l; , 0  / 2 – половина угла раствора световых лучей, исходящих из точечного источника и образующих противоположные ребра лучевой пирамиды.

2

/ 3

EI x , cos / (1 tg²). Здесь I– сила света источника, x₃– расстояние от источника света до центра квадрата K. Используя соотношение QI, где Q – мощность световой энергии, которую можно считать равной электрической мощности источника света, а  – коэффициент пропорциональности (удельная мощность), величину потребляемой источником света энергии в течение промежутка времени освещения [0, ]T при E, ,  const можно определить формулой

1 2

3

0 0

T T

J 



Q dtE^



x dt. (1.4) Между проходящим через источник света током i и расстоянием x₃ имеется следующая связь [1]:

1 1

( ) 3( )

j t  E^R x t^ , 0x t₃( )a₃, 0 j t( ) min( , j₀ E^1R a^1 ₃), t

 

0,T . (1.5) где R – активное сопротивление в цепи источника света, а j₀– максимально допустимое значение тока.

Задача 1. Найти начальное положение x⁰( , , )x x x₁⁰ ₂⁰ ₃⁰ D⁽³⁾, число T 0, допустимое управление ( )

w t , 0 t T объекта X и соответствующий закон изменения электрического тока в цепи источника света ( )

j j t , 0 t T , для которых при любом начальном положении y⁰ ( ,y₁⁰ y₂⁰)D⁽²⁾ и любом допустимом управлении v t( )

,

0 t T объекта Y гарантируется выполнение условия y t( ) K в некоторый момент

[0, ]

t T при минимальной световой энергозатрате (1.4).

2. Описание способа поиска

Опишем сначала предлагаемый способ управления, а затем укажем условия на входящие в него параметры, при которых решается задача 1. Пусть в начальный момент объект X находится в точке

0 0 0 0

1 2 3

( , )

x  x x ,x

,

x₁⁰ x₂⁰ l₀

,

x₃⁰ C l^1₀

,

0x₃⁰ a₃

,

где l₀ Ca₃ min( , ) / 2a a_{1 2} a₂/ 2. Рассмотрим

исходящую из этой точки пространственную ломаную, проекция L_0,N L L_{0 1}...L_N которой на прямоугольное основание D⁽²⁾ изображена на рис. 1. Двигаясь по ломаной L_0,N в направлении показанной на рис. 1, центр квадрата K сo стороной постоянной длины 2l₀ осуществляет сканирование прямоугольника с шагом h по оси

x1, оставляя с каждой стороны (верхней и нижней) прямоугольника полосы с шириной l₀

.

Зададим управление плоским движением X(1.1)(w t₃( )g t, 0

)

так, чтобы перемещение центра квадрата освещенности по отрезку

1

k k

L_L происходило оптимальным по быстродействию образом. Управления w w₁, ₂, обеспечивающие перемещения центра квадрата из одной вершины L_k1(x₁^(k1),x₂^(k1)) с нулевой скоростью xɺ₁^(k1)xɺ₂^(k1)0 в последующую вершину L x_k( ₁^{( )k} ,x^{( )}₂^k ) с нулевой скоростью xɺ₁^{( )k} xɺ₂^{( )k} 0 по прямолинейным отрезкам L_k1L_k, определяются из решения двухточечной задачи оптимального быстродействия [3]. Оптимальные времена перемещения одинаковы по каждому вертикальному участку и по каждому горизонтальному участку длины h и вычисляются, соответственно, следующим образом:

1

1 2 ( 2 2 )0

t a l W^

  

,

 t₂ 2 hW^1. (2.1)

3. Гарантированный поиск при минимальной световой энергозатрате Установлено, что при описанном в разделе 2 способе поиска, если выполнено условие

x1

L

1

x2

a2

a1

0

1

L

N_

L

0

L

_N

h

D(2)

2l

0

X

V Y W

1 1

1 2 0 0

2 t 4 (a 2 )l W^ 2l V^ , т.е. l₀ удовлетворяет ограничению

2 1 4 2 2 1 1/ 2

min 4 (16 4 2) 0 3

l   V W^  V W^  V W a^  l Ca , (3.1) то выбирая шаг сканирования h из условия

1 1 1

1 2 2 0 0

2   t t 4 (a 2 )l W^ 2 hW^ (2l h V) ^ , h2l₀ или, что то же, из отрезка

1/ 2 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2

max max 0 2 0 0

0 h h , h  ( VW^ (V W^ 2l 4 (V a 2 )l W^ ) ) 2l , (3.2) объект X гарантированно обнаруживает искомый объект Y .

Рассмотрим следующую положительную функцию N₁ от l₀ и h:

1 1( , ) (0 1 2 )0

N l h  a  l h^ , l_min  l₀ Ca₃, 0 h h_max 2l₀. (3.3) Функция (3.3) по h монотонно убывающая. Обозначим

 

 

0 0 (min, 3] : 1( )0 1( )0

R  l  l Ca N l  N l ,

max

1 1 0( ) 0min 1 0( , ) ( 1 2 )0 max

h h

N l N l h a l h^

     , (3.4) где символ [ ] означает целую часть действительного числа. Для значений l₀R₀ целое число 1N l₁( )₀ определяет то количество вертикальных перемещений центра квадрата, при котором движениe по ломаной

L0,N, где N2N l₁( )₀ , заканчивается в точке (a₁l l₀, )₀ , если N l₁( )₀ – нечетное целое число и в точке

1 0 2 0

(a l a, l ), если N l₁( )₀ – четное целое число.

С учетом этого и используя (2.1), (3.4), функционал (1.4) на множестве (3.4) можно представить в виде

1 1

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

J l  E^C^ L l T l , L l( )₀ l₀², T l( )₀  t l₁( ) (₀  t l₁( )₀  t l₂( )) ( )₀ N l_{1 0} , l₀R₀. (3.5)

В (3.5) T l( )₀ –время гарантированного поиска, не позже которого происходит обнаружение Y . Таким образом, задача 1 сводится к нахождению параметра l₀^R₀, доставляющего минимум в задаче

0 0

0 0 0

( ) min ( ) ( )

l R

J^ J l^ L l T l

    . (3.6) Функции L l( )₀ и T l( )₀ на множестве R₀ принимают, соответственно, монотонно возрастающие и монотонно убывающие дискретные значения. Минимум в (3.6), в зависимости от параметров задачи, достигается как во внутренней, так и в крайних точках множества (3.4). С учетом этого проведен численный расчет определения оптимального значения l₀^ при различных значениях параметров a a a W V₁, , , , ._{2 3} По найденному l₀^ последовательно вычисляются шаг сканирования (3.2), количество вертикальных перемещений (3.4) и гарантированное время поиска (3.5). Электрический ток в цепи источника света и минимальная величина энергии, потребляемой источником света, определяются, соответственно, из (1.5) и (3.5) при конкретных значениях параметров R E, , ,  поисковой системы.

Заключение

Предложен простой способ управления движением динамического объекта в задаче поиска подвижного объекта в прямоугольной области с помощью квадратной области постоянного размера и заданной освещенности. Получено условие, гарантирующее успешное завершение поиска. Предложен алгоритм нахождения оптимального размера квадрата освещенности, обеспечивающий обнаружение искомого объекта за гарантированного время поиска с минимальным потреблением световой энергии.

Литература

1. Аветисян В.В., Мартиросян С.Р. Гарантированный поиск целевого объекта электромеханической системой при минимальных световых энергозатрах // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 5. С. 151-164.

2. Черноусько Ф.Л. Управляемый поиск подвижного объекта // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 1. С. 3-12.

3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М: Наука.1983. 393с.

ОБЛАСТЬ ДОСТИЖИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

No documento Уфа, Республика Башкортостан, Россия СБОРНИК ТРУДОВ в 4 томах ТОМ 1 Общая и прикладная механика РИЦ БашГУ Уфа 2019 (2)УДК 531/534 ББК 22.2 Д23 XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики : сборник трудов в 4 томах (páginas 159-162)