Б.С. Бардин
1,21
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет), Москва
2
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Москва bsbardin@yandex.ru
Аннотация. Рассматривается задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Методика исследования основана на применении методов нормальных форм, КАМ-теории и общей теории устойчивости. Дается изложение результатов исследования задачи в случаях С.Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Бобылева-Стеклова, Гесса, а также в случае динамически симметричного твердого тела. Установлено, что в случаях Горячева-Чаплыгина и Гесса имеет место вырождение (трансцендентный случай). Предложен метод строгого исследования орбитальной устойчивости в указанном случае.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 17-01-00123.
Введение
Методы теории КАМ и конструктивные алгоритмы нормализации систем дифференциальных уравнений, развитые к настоящему времени, позволяют получать строгие выводы об устойчивости периоди- ческих движений для широкого класса задач классической и небесной механики. К таким задачам относится задача об устойчивости периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. Если центр масс тела лежит в плоскости двух главных осей инерции, то возможны плоские периодические движения, при которых третья ось эллипсоида инерции сохраняет неизменное горизонтальное положение в абсолютном пространстве, а тело совершает относительно этой оси периодические колебания или вращения, описываемые уравнением математического маятника. Указанные периодические движения будут, очевидно, неустойчивы по угловой координате (углу отклонения от вертикали). Однако с теоретической и прикладной точек зрения значительный интерес представляет задача об орбитальной устойчивости таких периодических движений.
Постановка задачи и методика исследования
Для описания движения твердого тела вокруг неподвижной точки О в однородном поле тяжести введем неподвижную систему координат OXYZ, ось Z, которой направим вертикально вверх и связанную с телом систему координат Oxyz, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела для точки O, а соответствующие им моменты инерции обозначим через A,B,C. Будем считать, что центр масс C тела лежит в плоскости Oxy на расстоянии 𝑙 от точки O, а радиус-вектор 𝑶𝑪⃗, определяющий его положение, составляет угол
с положительным направлением оси Ox. Ориентацию подвижной системы координат Oxyz относительно неподвижной OXYZ будем задавать углами Эйлера 𝜓, 𝜃, 𝜑. Вводя обобщенные импульсы 𝑝 , 𝑝 , 𝑝 , уравнения движения тела относительно неподвижной точки можно записать в гамильтоновой форме. Угол прецессии 𝜓 будет циклической координатой, поэтому соответствующий ему канонически сопряженный импульс 𝑝 сохраняет постоянное значение. В задаче об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений будем полагать 𝑝 = 0. В этом случае гамильтониан задачи имеет вид
𝐻 = (1 + (𝛾 − (𝛾 − 𝛾 ) cos 𝜑) cot 𝜃)𝑝 − (𝛾 − 𝛾 ) sin 2𝜑 cot 𝜃 𝑝 𝑝 +
+ (𝛾 + (𝛾 − 𝛾 ) cos 𝜑)𝑝 + sin 𝜃 sin(𝜑 + 𝛼), (1) где 𝛾 = 𝐶/𝐴, 𝛾 = 𝐶/𝐵. Безразмерные импульсы 𝑝 , 𝑝 и безразмерное время 𝜏 введены по формулам 𝑝 = 𝐶𝜇𝑝 , 𝑝 = 𝐶𝜇𝑝 и 𝜏 = 𝜇𝑡, где 𝜇 = 𝑚𝑔𝑙/𝐶.
При 𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜃 = 𝜋/2 тело совершает плоские движения, которые описываются канонической системой с гамильтонианом 𝐻( )= 𝑝 + sin(𝜑 + 𝛼) и однозначно определяются значением постоянной интеграла энергии 𝐻( )= ℎ =const. Если |ℎ| < 1, то имеют место маятниковые колебания, а если |ℎ| > 1, то – маятниковые вращения тела относительно горизонтально расположенной неподвижной оси Oz.
Для исследования орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений введем в их окрестности локальные координаты 𝑞, 𝑝, 𝐼, 𝑤 [1]. В окрестности маятниковых колебаний каноническая унивалентная замена переменных 𝜃, 𝑝 , 𝜑, 𝑝 → 𝑞, 𝑝, 𝐼, 𝑤 имеет вид
𝜃 = 𝑞 + , 𝑝 = 𝑝 , 𝜑 = − 𝛼 + 2 arcsin[𝑘sn(𝑢, 𝑘)] , 𝑝 = 2𝑘cn(𝑢, 𝑘), 𝑢 = 2𝐾(𝑘)𝑤/𝜋 . (2)
В случае вращений переменные 𝐼, 𝑤, 𝑞, 𝑝 вводятся по формулам
𝜃 = 𝑞 + , 𝑝 = 𝑝 , 𝜑 = − 𝛼 + 2 am(𝑢, 𝑘) , 𝑝 = 2dn(𝑢, 𝑘)/𝑘, 𝑢 = 𝐾(𝑘)𝑤/𝜋 , (3) где 𝑘(𝐼) – функция, обратная к функции 𝐼 = 8[𝐸(𝑘) − (1 − 𝑘 )𝐾(𝑘)]/𝜋 в случае колебаний и к функции 𝐼 = 4𝐸(𝑘)/(𝜋𝑘) в случае вращений. В формулах (2) и (3) используются общепринятые обозначения для эллиптических функций и интегралов.
В невозмущенном движении 𝐼 = 𝐼 = const, 𝑤 = 𝜔𝜏 + 𝑤(0). В случае колебаний 𝜔 = 𝜋/(2𝐾(𝑘 )), где 𝑘 (𝐼 ) = sin(𝛽/2), 𝛽 – амплитуда колебаний, а в случае вращений 𝜔 = 𝜋/(𝑘 𝐾(𝑘 )), где 𝑘 (𝐼 ) = 2(1 + ℎ) .
Введем возмущение переменной действие 𝑟 = 𝐼 − 𝐼 и разложим гамильтониан возмущенного движения в ряд по 𝑞, 𝑝, 𝑟
Γ = Γ + Γ + ⋯ Γ + ⋯, (4)
где Γ – форма степени 2𝑚 относительно 𝑞, 𝑝, 𝑟 / . В (4) и далее многоточием обозначена совокупность членов степени выше 2𝑚. Формы Γ и Γ имеют следующую структуру.
Γ = 𝜔𝑟 + Γ( ), Γ = 𝑟 + ( )𝑟 + Γ( ), (5) где Γ( ) – формы второй и четвертой степеней по 𝑞, 𝑝 с периодическими по 𝑤 коэффициентами.
Задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений твердого тела эквивалентна задаче об устойчивости канонической системы с гамильтонианом (4) по отношению к переменным 𝑞, 𝑝, 𝑟.
На основании анализа линейной системы с гамильтонианом Γ( ) можно получить выводы об орбитальной неустойчивости, либо об орбитальной устойчивости в линейном приближении. В частности, если среди корней характеристического уравнения линейной системы есть корень с модулем не равным единице, то имеет место орбитальная неустойчивость периодических движений. Если же все корни характеристического уравнения простые и по модулю равны единице, то исследуемое периодическое движение орбитально устойчиво в линейном приближении. В последнем случае для строгого решения вопроса об орбитальной устойчивости необходим нелинейный анализ, который можно выполнить по следующей методике [1,2].
1. Рассматривается движение системы на изоэнергетическом уровне Γ = 0. Это движение описывается уравнениями Уиттекера, которые имеют каноническую форму с функцией Гамильтона
𝐾 = 𝐾 + 𝐾 + ⋯ 𝐾 + ⋯,
𝐾 = Γ( ), Γ = Γ( )− ( ) ( )+ ( ) . (6) 2. Канонической заменой переменных гамильтониан (6) приводится к нормальной (удобной для получения выводов об устойчивости) форме.
3. Проверяются достаточные условия устойчивости (или неустойчивости) системы с гамильтонианом (6), которые имеют вид неравенств относительно коэффициентов нормальной формы.
Выводы об устойчивости, полученные на основании указанных достаточных условий, остаются справедливыми и для системы с гамильтонианом (5) [2]. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений сводится к исследованию устойчивости положения равновесия 𝑞 = 𝑝 = 0 канонической системы с гамильтонианом (6).
Об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений в некоторых частных случаях Приведенная выше методика применялась для решения вопроса об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой.
Случай С. Ковалевской. Если моменты инерции связаны соотношениями 𝐴 = 𝐵 = 2𝐶, а центр масс тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, то имеет место случай С. Ковалевской. Без ограничения общности можно считать, что ось Ox проходит через центр масс тела, т.е. 𝛼 = 0, поэтому плоские маятниковые движения возможны как относительно оси динамической симметрии Oz, так и относительно экваториальной оси Oy. В обоих случаях маятниковые вращения твердого тела орбитально неустойчивы, а маятниковые колебания в зависимости от их амплитуды 𝛽 будут орбитально устойчивы или неустойчивы:
если 𝛽 > 𝜋/2, то маятниковые колебания орбитально неустойчивы, если же 𝛽 ≤ 𝜋/2, то имеет место орбитальная устойчивость [1,3].
Случай Бобылева-Стеклова. Если выполнено одно из равенств 𝐴 = 2𝐵 или 𝐴 = 2𝐶, а центр масс лежит на оси Ox, то имеет место случай Бобылева-Стеклова, когда система уравнений движения твердого тела допускает точное частное решение. Здесь в задаче об орбитальной устойчивости имеется два параметра h и 𝛾 .
При выполнении равенства 𝐴 = 2𝐵 маятниковые вращения (ℎ > 1) неустойчивы, если 1 ≤ 𝛾 ≤ 2 (𝐶 ≤ 𝐴), если же 2 ≤ 𝛾 ≤ 3 ( 𝐶 > 𝐴), то в зависимости от значений параметров они могут быть как устойчивы, так и неустойчивы: в плоскости параметров h и 𝛾 существует две области орбитальной устойчивости и две области орбитальной неустойчивости. Орбитальная устойчивость маятниковых колебаний (|ℎ| < 1) также
зависит от параметров h и 𝛾 : в плоскости параметров h и 𝛾 существует две области орбитальной устойчивости и три области орбитальной неустойчивости [4].
Если выполнено равенство 𝐴 = 2𝐶, то в плоскости параметров h и 𝛾 существует две области орбитальной устойчивости и одна область орбитальной неустойчивости маятниковых вращений. Орбитальная же устойчивость маятниковых колебаний зависит только от величины h (или, что тоже самое, от амплитуды 𝛽).
В частности, если 0 < ℎ < 1, (𝛽 > 𝜋/2) , то маятниковые колебания орбитально неустойчивы, если же −1 <
ℎ ≤ 0, (𝛽 ≤ 𝜋/2) , то имеет место орбитальная устойчивость [5].
Случай динамически симметричного твердого тела. Наиболее полные результаты по исследованию орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений получены для случая динамически симметричного твердого тела, когда его центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, т.е можно положить 𝛼 = 0. Если 𝐴 = 𝐵 (𝛾 = 𝛾 ∈ [0,2]), то тело совершает плоские маятниковые движения относительно оси динамической симметрии Oz. В этом случае, как для маятниковых колебаний, так и для маятниковых вращений в плоскости параметров h и 𝛾 существует четыре области орбитальной устойчивости и четыре области орбитальной неустойчивости [6]. Если же 𝐴 = 𝐶 (𝛾 = 1, 𝛾 ∈ [1/2, ∞]), то ось Oz является экваториальной осью эллипсоида инерции. В этом случае существует счетное множество областей орбитальной устойчивости и неустойчивости, как для маятниковых колебаний так и для маятниковых вращений [7].
В работе [8] была исследована орбитальная устойчивость в одном частном случае динамически симметричного твердого тела, когда 𝐴 = 𝐶 = 2𝐵 (𝛾 = 1, 𝛾 = 2), и 𝛼 ≠ 0 . В этом случае маятниковые вращения твердого тела орбитально неустойчивы при всех допустимых значениях параметров. Орбитальная же устойчивость маятниковых колебаний зависит от параметров задачи: в плоскости параметров h и 𝛼 существует две области орбитальной устойчивости и две области орбитальной неустойчивости.
О трансцендентном случае в задаче об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений В задаче об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений возможны так называемые трансцендентные случаи, когда общая методика анализа устойчивости, основанная на методе нормальных форм неприменима. В частности, такая ситуация возникает, когда моменты инерции связаны соотношениями 𝐴 = 𝐶 = 4𝐵 (𝛾 = 1, 𝛾 = 4), а центр масс тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (𝛼 = 0), т.е. имеет место случай интегрируемости Горячева-Чаплыгина. В данном случае, при всех допустимых значениях параметра ℎ, характеристическое уравнение линейной системы с гамильтонианом 𝐾 имеет кратный корень, равный 1, а элементарные делители матрицы монодромии непростые [9]. Следуя общей методике исследования устойчивости, канонической заменой переменных 𝑞, 𝑝 → 𝜉, 𝜂 гамильтониан (6) можно привести к нормальной форме, которая в данном случае имеет вид
𝐾 = 𝜂 + 𝑎 𝜉 + ⋯ , 𝑚 > 1 . (7)
Вопрос об устойчивости положения равновесия системы с гамильтонианом (7) (а значит и орбитальной устойчивости периодических движений) решается на основании следующей теоремы [10]: Если 𝑎 > 0, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову, а если 𝑎 < 0, то – неустойчиво.
Оказалось, что в случае Горячева-Чаплыгина реализуется трансцендентная ситуация, когда 𝑎 = 0 при любом m и приведенная выше теорема не применима [11]. Причиной указанного вырождения является то, что невозмущенное маятниковое периодическое движение принадлежит инвариантному многообразию периодических движений одного и того же периода [12]. В этом случае, на основании результатов работы [12], можно сделать вывод об орбитальной неустойчивости периодических движений.
Трансцендентная ситуация имеет место и в задаче об орбитальной устойчивости маятниковых колебаний в случае Гесса, когда в системе имеется три параметра. Строгие выводы об орбитальной неустойчивости в этом случае можно получить также на основании результатов работы [12].
Литература
1. А.П.Маркеев // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 51-58.
2. А.П.Маркеев // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 1. С. 20-33.
3. А.П.Маркеев, С.В.Медведев, Т.Н.Чеховская // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. № 1. С. 3-9.
4. B.S. Bardin, T.V. Rudenko, A.A Savin // Regular and Chaotic Dynamics. 2012. Vol. 17. No. 6. pp. 533-546.
5. Б.С.Бардин // Нелинейная динамика. 2009. Т.5 № 4. С. 535-550.
6. А.К.Алехин // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 4. С. 56-62.
7. B.S. Bardin, A.A Savin // Regular and Chaotic Dynamics. 2012. Vol. 17. 3-4. pp. 243-257.
8. Б.С.Бардин, А.А.Савин // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77. Вып. 6. С. 806-821.
9. А.П.Маркеев // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. № 3. С. 32-37.
10. А.П.Иванов, А.Г.Сокольский // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44. Вып. 6. С. 963-970.
11. Б.С.Бардин // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 2. C. 14-21.
12. Б.С.Бардин // Доклады академии наук, 2018, Т 479, № 5, С. 485–488.