Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
С. А. Ашманов, Условия устойчивости задач линейного программирования, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, том 21, номер 6, 1402–1410
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 06:45:37
Том, 21 Ноябрь 1981 Декабрь № 6
У Д К 519.852
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
АШМАНОВ С. А.
(Москва)
Задаче линейного программирования сопоставляется семейство за
дач, получаемых произвольным,, но малым возмущением параметров.
Основной результат состоит в получений необходимых и достаточных условий устойчивости задач линейного программирования. Для неустой
чивых задач предлагается метод регуляризации, не выходящий за рамки линейного программирования.
§ 1. Понятие устойчивости задачи линейного-программжрования В работах [1] —[4] изучались вопросы устойчивости в различном смысле задач линейного программирования (л.п.) и разработаны методы регуляризации неустойчивых задач.
Рассмотрим задачу
(1) т а х < с , я>, Ах^Ъ,
где А — матрица размера тХп, с, x^Rn, b<=Rm. Для всякого 6 > 0 символа
ми А (б), Ь(б), с (б) обозначаются произвольные матрица и векторы, для которых
(2) | | Л ( 6 ) - Л | | < 6 , | | Ь ( 6 ) - Ь | | < 6 , | | с ( б ) - с | | < б . Сопоставим (1) некоторую другую задачу л.п., вида
(3) т а х < с ( б ) , я > , А(В)х<Ъ(6).
Задачу (3) будем называть возмущенной, принадлежащей б-окрестно- сти задачи (1), если выполнены условия ( 2 ) .
Пусть Х° — множество решений задачи (1), d — ее значение, Х°(б) й d(6) — соответственно, множество решений и значение возмущенной задачи. Первый вопрос, возникающий из сопоставления задач (1) и (3), касается проблемы существования решения у возмущенной задачи.
О п р е д е л е н и е 1. Задачу (1) назовем устойчивой, если существует такое число б0> 0 , что для всех б, 0 ^ б ^ б0, задача (3) имеет решение.
Другими словами, задача (1) устойчива, если она имеет решение,
& также имеет решение любая задача, получающаяся из нее небольшими изменениями параметров.
Пусть задача (1) устойчива и б > 0 таково, что возмущенная задача имеет решение х * ( б ) е Х ° ( б ) . Сформулируем два вопроса: 1) будет ли ве-
Условия устойчивости задач линейного программирования 1403
личина d(6) значения задачи (3) близка к числу. d\ 2) будет ли вектор х* (б) близок к множеству Х° решений задачи (1).
О п р е д е л е н и е 2. Задача (1) называется устойчивой по функцио
налу, если она устойчива и для любого е > 0 существует такое 6 > 0 , что как только выполнены условия (2), то \d(6)—d\<&. Иначе: значение задачи (1) как функцид d(A, Ь, с) ее параметров в этом случае непре
рывно.
О п р е д е л е н и е 3. Задача (1) называется устойчивой по решению, если она устойчива и ' д л я любого.е>0 существует.такое число б > 0 , что при выполнении неравенств (2) для всякого х*(8)^Х°(8) найдетря $*^Х°, удовлетворяющий условию \\х*(б)— х*\\<&.
§ 2. Параметрические системы линейных неравенств
Рассмотрим произвольную систему линейных неравенств ^ (4) Ах<Ъ.
Обозначим через К многогранный конус К=со (аи . . . , О в пространстве Rn, натянутый (являющийся конической оболочкой) на вектор-стровд матрицы А.
Т е о р е м а 1. Если множество X решений системы (4) не пусто, то
X ограниченно тогда и только тогда, когда K=Rn. '
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть K=Rn. Тогда для всякого орта е\
/ = 1 , 2 , . . . , тг, пространства Rn найдется такой неотрицательный вектор р3, что е5=р5А. Если х=(хЛ,..., хп)^Х, то Xj=(e\ x}=pjAx. Используя неот
рицательность pj и неравенство (4), получаем pjAx^(pj, ЬУ, откуда х3Щ
<</?j, ЬУ. Обозначив
М= max <pj, ЬУ,
имеем Xj-^M, 7 = 1 , 2 , , . . . , п. Аналогично можно получить оценку х^М9 воспользовавшись тем, что —е^К. Таким образом, для любого х^Х вы
полняются неравенства М^х^М, / = 1 , 2 , . . . , тг, т. е. множество X огра
ниченно.
Наоборот, предположим, что множество X не пусто и ограниченно, т. е, существуют константы i f и М такие, что неравенства (е^хУ^М,
<—е{, хУ^М,./=1, 2 , . . . , тг, выполняются для любого х^Х. Это означает, что каждое из этих неравенств является следствием системы (4). Из тео
ремы 6.7 в [5] вытекает, что в таком случае существуют векторы р5^0, qj>0, 7 = 1 , 2 , . . . , тг, для которых выполняются равенства pjA=e\ qjA —
=—ej, 7 = 1 , 2 , . . . , тг. Последнее означает, что конус К совпадает со всем пространством Rn.
По определению конуса, в том случае, когда K=Rn, всякий вектор c^Rn можно представить в виде неотрицательной линейной комбинации строк матрицы А. Следующая лемма уточняет этот факт, утверждая, что все коэффициенты линейной комбинации можно взять положительными.
Л е м м а 1. Если конус К совпадает со всем пространством Rn, то для любого c^Rn существует такой вектор р>0, что рА=с.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем вначале, что существует такой век
тор р>0, что рА=0. Предположим противное. Тогда, согласно теореме 2.9 в [ 6 ] , найдется-вектор xe=Rn, для которого Ах^О, Ах^О. Для него сущест
вует такой неотрицательный вектор q>0, что — x=qA (так как K=Rn).
Умножив данное равенство скалярно на х, получим —<х, £ > = д 4 х ^ 0 , откуда вытекает, что £ = 0 . Последнее, однако, противоречит условию АхФО. Если теперь p<=Rn — произвольный вектор и рА=с, то (р+р)А=с
и р+р>0. ^ Подобно тому как сделано в § 1 для задачи линейного программирова
ния, сопоставим системе линейных неравенств (4) возмущенную систему (5) А(6)х<Ъ(6),
где А (б) и Ь(б) удовлетворяют условиям (2).
Следующий факт хорошо известен.
Л е м м а 2. Если элементы dij9 i = l , 2 , . . . , m, / = 1 , 2 , . . . , пг матрицы D=(dij) достаточно малы по абсолютной величине, матрица А размера тХп имеет ранг п, то матрица А/(A—D) не вырождена.
Основным инструментом для изучения свойств семейства линейных неравенств вида (5) является
Л е м м а 3. Пусть ранг тХп матрицы А равен п, вектор p^Rm таков, что р>0 и pA=g, где g^Rn — некоторый фиксированный вектор. Тогда для любого е > 0 найдется такое число б0> 0 , что для всякого б, 0 ^ б ^ б0, су
ществует вектор р(8), удовлетворяющий условиям p(8)A(6)=g, ^ ( б ) > 0 ,
\\р(8)-р\\<г.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Непосредственно проверяется, что вектор
р(8)=р+Ах(8), где x(8) = (A,(8)A)-ig-pA(8)(A/A(6))-\ удовлетворяет условиям леммы.
Т е о р е м а 2. Если множество X решений системы неравенств (4) не
Пусто и ограниченно, то существует такое число б0> 0 , что для любого б, О ^ б ^ б о , все множества Х{8) ограниченны в совокупности {хотя некото
рые из Х(8), возможно, совпадают с пустым множеством).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из теоремы 1 и леммы 1 вытекает, что сущест
вуют такие векторы р'>0, что pjA=e\ / = 1 , 2 , . . . , п. Кроме того, из теоре
мы 1 следует также, что ранг матрицы А равен п. Из леммы 3 заключаем, что для любого 8 > 0 существует такое число 60> 0 , что для всякого б, 0 ^
^ б ^ б о , найдутся векторы / ( б ) > 0 , / = 1 , 2 , . . . , п, удовлетворяющие условиям
(6) р!(8)А(8)=е\ V ( 6 ) - p ' | | < e .
Пусть х—(хи . . . ,хп) принадлежит одному из множеств Х(б) при 0 <
^ б ^ 80. Умножим (6) скалярно на вектор xi х}=<х, е*>=*рэ(8)А(8)х<
«b(6), pj{8)>. Обозначим б0-окрестность вектора Ъ через Q=-{y\ye=Rm, ' | | г / - Ь ) | < б0} , Положим также Sj={s\s^Rm, \\s-pj\\<z}. Очевидно, что Q и
Условия устойчивости задач линейного программирования 1405
Sj — компакты и 6(6)е<2, pj(б)&Sj. Пусть Mj = max <г/, s>.
Тогда Xj^M3, / = 1 , 2 , . . . , тг. Аналогично можно получить нижнюю оцен
ку Mj для координат #j вектора ^ 1 ( 6 ) . Поскольку числа М3\ Мj не зави
сят от б при ( Х б < б0, то тем самым теорема доказана.
§ 3. Необходимые и достаточные условия устойчивости задач л. п.
Цель данного параграфа — показать, что все три понятия устойчивости задачи л.п., введенные в § 1, эквивалентны, и вывести необходимые и до
статочные условия, при которых задача (1) обладает этими свойствами.
Как видно из результатов § 2, особую роль играет случай, когда ранг матрицы А ограничений равен п — числу ее столбцов.
О п р е д е л е н и е 4. Конус Z—со (аи . .., ап), натянутый на вектор- строки матрицы А, назовем телесным, если ранг матрицы А равен п — чис
лу ее столбцов.
О п р е д е л е н и е 5. Вектор c^Rn назовем внутренним для конуса К, если существует такой вектор p^Rm, что р > 0 , рА=с. ^
Важное значение при изучении устойчивости задачи (1) имеет отно
сительное расположение вектора с и конуса К.
О п р е д е л е н и е 6. Будем говорить, что пара (Аг, с) находится в об-, щем положении, если многогранный конус К телесен, а вектор с является ФГО внутренней точкой.
Сопоставим К и вектору с многогранный конус Кс=со(—с, K)^Rn. Л е м м а 4. Пара (К, с) находится в общем положении тогда и только тогда, когда Kc—Rn.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Kc=Rn. Из леммы 1 получаем, что су
ществуют положительное число а > 0 и вектор р>0 такие, что с=—ас+рА1 откуда с=рА, где р = (1+а)~1р>0. Тем самым показано, что с — внутрен
н я я точка конуса К. у
Пусть x^Rn — произвольный вектор. Используя равенство Kc=Rn, по
лучаем, что найдутся неотрицательные число а{х)Ы0 и вектор р(х)^0, для которых х=—а(х)с+р(х)А. Подставляя выражение для с через обра
зующие конуса К, получаем х=— а,(х)рА+р(х)А=(р(х) — а(х)р)А. Это означает, что произвольный вектор x^Rn выражается в виде линейной комбинации вектор-строк матрицы А. Отсюда выводим, что ранг матрицы А равен тг, т. е. конус К телесен.
Докажем обратное утверждение. Пусть К — телесный конус, с — его внутренняя точка1, т. е. существует такой вектор /?>0, что рА=с. Предпо
ложим, что K°¥=Rn. Тогда существует опорная гиперплоскость к Кс, т. е. вектор х, удовлетворяющий условиям х ^ О , •<#, я Х О для всех х^К°, В частности, <я, - с ) < 0 , - ( 5 , а{Х0, i = l , 2 , . . . , m. Вектор Ах=х^+ ...
... +хпап не нулевой, так как столбцы матрицы А линейно-независимы.
Следовательно, хотя бы одна из координат вектора Ах строго меньше нуля. Учитывая, что /?>0, получаем 0>рАх = <с, хУ>0. Полученное про
тиворечие завершает доказательство.
Л е м м а 5. Если многогранный конус C=co{gu ..., gr) совпадает с Rn, то существу ет-такое 60> 0 , что для всякого 6, 0 < б < б0, возмущенный ко
нус C ( 6 ) = c o ( ^ i ( 6 ) ,v. . . ,gr(S)) также совпадаете Rn.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что утверждение неверно, и пусть {6ft} — такая последовательность, что 6f e>0, Н т 6А= 0 , и к а ж дый конус C(6f t), &==!, 2 , . . . , не совпадает с Rn. Тогда для каждого C(8h) существует опорная гиперплоскость, т. е. такой вектор уп, \\yh\\ = l, что
<yh, хХО для всех х^С (6f t).
В частности,
(7) 1 <у\
ft-(6*)><0
f й = 1 , 2 , . . . , г .Поскольку векторы yk, к=*1, 2 , . . . , ограничены по норме, то последова
тельность {yh} можно считать сходящейся. Пусть limz/fe==z/°, iiг/°П=1„
к-*- оо
т. е. у°=£0. Согласно нашим обозначениям, символ gi(8) означает, что lim gi(8) =gu 8-^0. Перейдя в (7) к пределу при получим <г/°, giXOr г==1, 2 , . . . , г. Отсюда вытекает, что <г/°, а ; Х 0 для всякого я ^ С , причем у°=£0. Последнее, однако, невозможно, так как C=Rn.
Рассмотрим задачу, двойственную (1):
(8) min<6,j9>, рА=с, р^О.
Рассмотрим конус Ях >= = с о ( ± а1, . . . , ± ап, у1, , vm), где aj, / = 1 , 2 , . . . . . . . ,7г, есть /-й столбец матрицы A, v{ есть i-й орт пространства Rm, i = l9 2 , . . . , m .
Сделаем очевидное замечание: задача (1) допустима тогда и только тогда, когда b^KD. Двойственная ей задача (8) допустима тогда и только тогда, когда с^К.
Т е о р е м а 3. Задача (1) устойчива в смысле Определения 1 тогда и только тогда, когда каждая пара (К, с) и (KD, Ъ) находится в общем по
ложении.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (1) устойчива. Очевидно, что в таком случае оба множества, Х° и Р°, решений прямой и двойственной задачи ограниченны.
Поскольку множество Х° может быть задано системой линейных нера
венств <—с, хУ^—d, Ах^Ь, где d — значение задачи, то из ограниченности множества Х° и теоремы 1 вытекает, что Kc—Rn. Лемма 4 утверждает, что в таком случае пара (К, с) находится в общем положении. Аналогично,^
множество Р° задается системой неравенств <Ь, p X d , , рА^с, —рА^—сг -р<0.
Из ограниченности множества Р° и теоремы 1 получаем, что конус с о ( - 7 Р , Ъ) совпадает, с Rm. Тогда c o ( i P , -Ъ) =Rm.
Из леммы 4 теперь вытекает, что пара (KD, Ъ) находится в общем по
ложении.
Наоборот, пусть каждая из пар {Кв, Ъ) и (Кс, с) находится в общем по
ложении. По лемме 4, конусы со (—с, К) и со (—6, KD) совпадают, соот
ветственно, с Rn и Rm. В таком случае, согласно лемме 5, конусы со(—с(6)?
Условия устойчивости задач линейного программирования 1407
К(8)) и со(—6(8), KD(8)), отвечающие возмущенной задаче ( 3 ) при вся
ком 8, О ^ б ^ б о , также совпадают с Rn и Rm соответственно, откуда с по
мощью леммы 4 получаем, что каждая из пар {К(8), с(8)) и (JP'(8), 6(8)) находится в общем положении. Это, в частности, означает, что с(8)^К(8) и 6 ( 8 ) ^ i P ( 8 ) . В соответствий со сделанным выше замечанием получаем, что задача (1) и двойственная ей допустимы при любом б, 0 < 8 ^ 80, а сле
довательно, обе имеют решение.
ТГ е о р е м а 4. Если каждая из пар (К, с) и {KD, Ъ) находится в общем положении, то задача (1) устойчива по функционалу и по решению.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим систему уравнений и неравенств в пространстве Rn+m; <с, х>=<6, р>, Ax<b, рА=с1 р>0..:
Из теории двойственности известно, что данная система имеет решение тогда и только тогда, когда имеют решение взаимодвойственные задачи
(1) и (8) и множество решений данной системы совпадает с множеством Х°ХР°={(х, р) \х^Х\р^Р0}.
Из условий теоремы вытекает, что множества Х° и Р° не пусты и огра
ниченны, откуда следует, что не пусто и ограниченно множество Х°ХР°.
Сопоставим возмущенной задаче ( 3 ) систему
<с(6),я>=ЧЬ(6),р>,
(9) А(8)х^Ь(8), р4(6)=с(6), ' р>0.
Из теоремы 3 следует существование такого числа 80> 0 , что при всех б, 0 < 8 ^ 80, множество Х°(8)ХР°(8) решений системы (9) не пусто. Из тео
ремы 2 вытекает, что множества Х°(8)ХР°(8) ограниченны в совокупности
при О ^ б ^ С б о .
Предположим, что утверждение теоремы не выполняется. Тогда суще
ствует такая последовательность {8h} положительных чисел, lim 8f t=0, ->оо, что либо последовательность d(8h) не сходится к числу d — значению задачи (1), либо найдется такое число е > 0 , что \\х—x(8k) \\>г при всех x(8k)^X°(8h), ft=»l, 2 , . . . , и всех х^Х°.
Пусть x(8k)^X°(8h), p(8h)^P0(8k) — произвольные векторы, fe=l, 2 , . , . . Поскольку множества Х°(б)ХР°(б) ограниченны в совокупности, то после
довательности {x(8k)} и {p(8k)} можно считать сходящимися. Пусть (10) limx(8k)=x°, limp(8h)=p°.
k-*-oo k-+oo
Поскольку векторы x(8k), p(8h) удовлетворяют системе (9)^ П р и О — Oft, а функции А (8), 6 ( 8 ) , с (8) непрерывны, то, переходя в (9) к пределу при /с-^оо, получаем <с, я°>=<6, /?°>„ Ах°^Ь, р°А=с, р°>0.
Как уже отмечалось, это означает, что х0^Х\ р°^Р° и <с, x°>=d. В та
ком случае первое равенство из (10) противоречит условию \\х°—x(8h) \\>s.
Поскольку ;
( И ) Km d(8ft) = lim<x(8ft), c> = (x°, c)=d,
• ft-»-oo h-+ <x> •
то тем самым показано, что не может осуществиться и вторая возмож
ность.
Теоремы 3 и 4 завершают доказательство того факта, что все три поня
тия устойчивости задачи л.п. эквивалентны. В связи с этим начиная с дан
ного момента термин «устойчивость задачи л.п.» будет употребляться без каких-либо уточнений.
Теорема 3 позволяет сформулировать более удобные критерии устой
чивости применительно к каждому типу задач л.п.
Приведем соответствующие факты для трех типов задач: вида (1), стандартной и канонической.
Т е о р е м а 5. Задача (1) устойчива тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен п — числу столбцов и когда существуют такие векторы
ж°€=!й*
и p°^Rm, что Ах°<Ь, р°А=с, р°>0.Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме 3 и определениям 4—6, зада
ча (1) устойчива в том и только том случае, когда ранг матрицы А равен п и существуют такие векторы p°^Rm, y°s=Rn, ze=Rn, w°^Rm, что /?°>0, z/°>0, z°>0, !0°>O и p°A=c, Ay0~Az0+w°^b. Положим' x°=>y°-z\ Тогда послед
нее условие эквивалентно неравенству Ах°<Ъ.
Аналогично получаются следующие два утверждения.
Т е о р е м а 6. Стандартная задача л.п. ч (12) т а х < с , #>, Ах<Ъ, х>0
устойчива тогда и только тогда, когда существуют такие векторы x°^Rn и p0£=Rm, что ti°>0, р°>0, Ах°<Ъ, р°А>с.
Т е о р е м а 7. Каноническая задача л.п.
тах<с,ж>, Ах=Ъ, х>0
устойчива тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен m— числу ее строк и когда существуют такие векторы x°^Rn и p°^Rm, что Ах°=*Ъ, х°>0, р*А>с.
§ 4 . Регуляризация неустойчивых задач
Рассмотрим стандартную задачу л.п. (12). Предположим, что данная задача неустойчива. Как следует из теоремы 6, это может происходить по двум причинам: 1) не существует положительного вектора #0> 0 , для кото
рого Ах°<Ъ; 2) не существует положительного вектора р ° > 0 , для которо
го р°А>с.
Будем предполагать, что задача (12) имеет решение. В частности, это означает, что допустима и эта задача, и двойственная к ней, т. е. сущест
вуют векторы х>0, Ах<Ъ и р>0, рА>с.
Сопоставим (12) возмущенную задачу вида
(13) тах<с—бе, хУ, Ax^b+$v, х>0, где 6 > 0 - число, е = ( 1 , . . . , 1)е=Дп, У = ( 1 , . . . , 1 ) е #т.
Л е м м а 6. Если задача (12) имеет решение, то задача (13) устойчива при любом б > 0 .
У
Условия устойчивости задач линейного программирования 1Ш
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что для задачи, ( 1 3 ) выполняются условия теоремы 6 . Положим х°=х+ае, p°=p+av. Поскольку Ax<b+8v7 рА>с—8е, то найдется такое число а > 0 , что Ax°<b+8v и р°А>с—8е. При этом х°>0, р°>0. '
Обозначим через d значение задачи ( 1 2 ) , через d(8) — значение за
дачи ( 1 3 ) . , Т е о р е м а 8. Справедливо, *
lim d(8)=d.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х* и р* — соответственно, решение задачи ( 1 2 ) и двойственной к ней. Вектор х* допустим для ( 1 3 ) при любом б > 0 . Следовательно, <с—бе, f > < й ( 6 ) , или <с, х*У—6<е, я * Х й ( 6 ) . Учитывая,что
<с, получаем
( 1 4 ) d(8)>d-8<eyx*y.
Проведя аналогичные рассуждения для задач, двойственных к ( 1 2 ) и ( 1 3 ) , .
получим d(8)<d+8<v1 р*У. Объединяя, имеем d—8(e, x*y<d(8)<d+8(vr
/?*>, откуда и вытекает утверждение теоремы.
Осталось показать, что решение х(8) задачи ( 1 3 ) при малых б близко- к множеству Х° решений задачи ( 1 2 ) .
Л е м м а 7 . Пусть 60> 0 . Тогда множества Х°(8) решений задачи ( 1 3 ) ;
ограничены в совокупности при всех б, 0 < 6 ^ 60.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х*^Х° — решение задачи ( 1 2 ) , р* — ре- . шение двойственной задачи. Тогда р*А—сХ) и р*А— (с—8е)>8е. Умножим данное неравенство скалярно на произвольный вектор х(8)>^Х°(8). Так 1
как <х(8), c~8ey=d(8), p*Ax(8)«b+8v, p*>=d+6<z;, р*У, то 6<в,, я ( 6 ) Х
^d+8(v, p*y~d(8). Воспользовавшись ( 1 4 ) , получим б<е, х(8)У<8<и, р*У+
+ 6 < е , х*У, откуда <е, х(8)У«и, р*У+<е, х*У. Поскольку е > 0 , х(8)>0г
а правая часть полученного неравенства от б не зависит, то лемма дока
зана.
Т е о р е м а 9 . Для любого е > 0 существует такое число б > 0 , что для.
каждого решения х(6) ^Х°(б) задачи ( 1 3 ) найдется решение х*^Х° зада
чи ( 1 2 ) , удовлетворяющее неравенству \\х(8) — х*\\<е.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим противное. Тогда найдется по
следовательность {8k} положительных чисел, lim 6f e= 0 , и последо
вательность векторов x(8k)^X°(8h), к—1\ 2 , . . . , для которых выполняется неравенство
( 1 5 ) 1 И б , ) - * | | ^ е
при любом х^Х°. Поскольку множества Х°(8), согласно лемме 7 , ограниче
ны в совокупности при 0 < 6 < 6 о , то последовательность {x(8h)} можно- считать сходящейся. Пусть
( 1 6 ) x*=limx(8k).
Каждый из векторов x(8h) удовлетворяет условиям <с—8ke, x(8h)y=d(8h)r. Ax(8h)<b+8kv, x(8h)>0.
Перейдем к пределу при /с->°° в данной системе неравенств и уравне
ний, учитывая, что, по теореме 8, верно (11), и получим <с, #*>=<2, Ах*^Ь, лг*>;0. Это означает, что:х*^Х°. Но в таком; случае формулы (15) и (16) противоречат друг другу.
Таким образом, теоремы 8 и 9 обосновывают следующий способ реше
ния неустойчивой задачи вида (12): выбрать последовательность положи
тельных чисел { 6 J , lim 6f t=0, и решать поочередно для к=1, 2 , . . . задачи (13), где следует положить б = 8k.
Литература
1. Тихонов А . Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
2. Фёдоров В. В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.
3. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975.
4. Голъштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в линейном программировании.
М.: Сов. радио, 1966.
5. Юдин Д. Б., Голъштейн Е. Г. Линейное программирование. М.: Физматгиз, 1963.
$). Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: Изд-во ин. лит., 1963.
Поступила в редакцию 21. IV. 1980
