All Russian mathematical portal

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

B. N. Khoromsky, E. P. Zhidkov, On the local convergence of approximation processes for solving operator equations, Dokl. Akad. Nauk SSSR , 1976, Volume 231, Number 5, 1052–1055

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 139.59.245.186

November 6, 2022, 11:18:24

Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1976. Том 231, № 5

УДК 517 МАТЕМАТИКА Е. П. ЖИДКОВ, Б. Н. ХОРОМСКИЙ

О ЛОКАЛЬНОЙ СХОДИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ПРОЦЕССОВ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

(Представлено академиком П. Н. Боголюбовым 14 VII 1976)

В комплексном ^-пространстве X рассмотрим уравнение

Р ( * ) = 0 (1) с непрерывно дифференцируемым (по Фреше) оператором Р: Х-^Х. В на­

стоящей работе исследуются вопросы локальной сходимости непрерывных и дискретных процессов типа Ньютона приближенного решения уравнения (1) на основе теории асимптотической устойчивости решений дифферен­

циальных уравнений в ^-пространстве. В работе приводятся также при­

знаки отсутствия сходимости, позволяющие судить о близости достаточных условий сходимости к необходимым. В заключение рассматривается пове­

дение траекторий непрерывного аналога метода Ньютона в случае вырож­

денного решения.

Введем обозначения: Р' (х) — производная Фреше оператора P(x)^t Sb, r={x^X: \\х—Ь||<г}. Обозначим спектр произвольного линейного опе­

ратора А через о (А).

1. Пусть существует решение х* уравнения (1), Р(х*)=0. Для нахож­

дения этого решения рассмотрим траектории уравнения

dx(t)/dt=-W (х); х(0) =х°^Х, t>0, (2) которые обозначим через x(t, х°). Здесь оператор W: Х-+Х непрерывно-

дифференцируем по Фреше и Т ( ж * ) = 0 . (Везде далее будем считать вы­

полненными условия осуществимости непрерывных процессов.) Отметимг

что с помощью оператора 4я (х) реализуется тот или иной непрерывный процесс. После замены y(t)=x(t)—x* уравнение (2) преобразуется к виду

dy(t)/dt=-4r'(z*)y+F(y); у(0)=х°-х\ (3) где оператор Fудовлетворяет соотношению \\F(y) \\=о(\\у\\).

Видно, что асимптотическая устойчивость нулевого решения уравне­

ния (3) эквивалентна локальной сходимости процесса (2), т. е. для^

всякого х° из малой окрестности х* выполнено равенство limx(t, х°)=х*.

В связи с этим, на основании известных результатов теории устойчивости в В-пространствах (например, (*)), можно сформулировать следующий признак локальной сходимости и признак отсутствия сходимости (не­

устойчивости) процесса (2).

П р е д л о ж е н и е 1. а) Пусть о(^у¥^/(х*)) лежит в правой полуплоскости, так что | | e x p [ - ¥,( ^ ) ^ ] l l ^ o e x p ( - V o O , v0> 0 , и \\F(у) \\<q\\yl \\y\\<r, где q достаточно мало. Тогда процесс (2) локально сходится.

б) Пусть G(W(X*)) содержит точку в левой полуплоскости и выпол­

нено условие \\F(y) \\<q\\y\\i+pi р > 0 , llj/||<r; тогда решение х* уравнения (2) неустойчиво, т. е. найдется с>0 такое, что для всякого е > 0 сущест­

вует х°: \\х°—я*||<Б и существует Г, что \\х(Т, х°) —х*\\^с.

Рассмотрим некоторые непрерывные процессы.

1) у¥(х)=Р(х). Все известные авторам рассмотрения этого процесса проводились в гильбертовом пространстве при условии (например, (*, ³) ) :

(Р*(х)к,к)>с\\к\\^г,с>0.

1052

Из предложения 1 следует более общее достаточное условие сходи­

мости процесса (2) в 5-пространстве: Re[a(P'(s*)) ] > v > 0 , которое ме­

нее ограничительно, нежели предыдущее условие.

2) Для локальной сходимости непрерывного аналога модифицирован­

ного метода Ньютона (W (x)=P^/(x⁰)~ⁱP(x)) достаточно ограничения

||Р^/(о:о)~¹(Р^/(а:*)-Р^/(хо))||<1. Если Р'{х) подчиняется условию Липши­

ца \\Р'(х)— Р'(у) \\<к\\х—у\\, то условие сходимости следующее: \\х*—х⁰\\<

<(\\P'(x⁰)-ⁱ\\k)-\

3 ) Рассмотрим непрерывный аналог метода Ньютона: ^у¥(х) =

=Р'(х)-¹Р(х). Если | | Р^,( ^ ) "¹И ^ и Р"{х*) ограничена, то

(Е — единичный оператор) и процесс Ньютона локально сходится. Интерес­

но отметить, что в данном случае оператор Wfa*) вообще не зависит от х*.

Из предыдущих рассмотрений видно, что вопрос о локальной сходи­

мости процессов типа (2) решается единообразно во. всех тех случаях, когда Re [o(W(x*)) ] > v > 0 .

Ъ. Покажем далее, что условия локальной сходимости дискретных про­

цессов, аналогично случаю непрерывных траекторий, во многом зависят от свойств линейной части процесса в окрестности решения. Эта зависи­

мость отражена в теореме 1, которая применяется при исследовании про­

цессов типа х^п+1=Ф(х^п, xⁿ-i) и х^п+1=Ф(х^п). В связи с этим рассмотрим в X итерационный процесс

xⁿ⁺ⁱ=Axⁿ+Bxⁿ-t+F(х^щ xⁿ-i); я⁰, х^Х. (4) Здесь А и В — линейные ограниченные операторы из X в X, F: ХХХ-+Х

и F обладает свойством

\\F(x, у)\\<дМ\+дг\\у\\, х, y^S⁰,^r. (5) Линейная часть процесса (4) имеет вид

Уп+1=Ау^ц+Ву^п-1; г/о, yi^X. (6)

Т е о р е м а 1. Пусть числа г и М таковы, что 1 > е > 0 , „ Ж > 0 и процесс (6) сходится к нулю для произвольных у⁰. у^Х со скоростью \\у^п\\^

< А Г е^пт а х { Ы 1 , \Ы\).

Тогда для любого е⁴ такого, что l > 8 i > e , существуют достаточно малые q^u q² такие, что если F(x, у) подчиняется оценке (5) с этими q^u q%, то процесс (4) локально сходится к нулю, а именно: ^{| | #n}| | < C 8 in m a x {||#⁰|l, ^{ll^ill};}

для достаточно малых х⁰, х^.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы приводится в (⁴) . В (⁵) эта теорема применяется при исследовании сходимости процесса типа (4), который появляется при одной модификации метода Ньютона решения задачи на собственные значения для интегродифференциального уравнения Шре- дингера, возникающей в теории атомного ядра.

Важный частный случай теоремы В=0, F: Х-^Х позволяет исследо­

вать одношаговые итерационные процессы. Рассмотрим, например, про­

цесс

xⁿ⁺ⁱ=xⁿ—хР(х^п), 1 > т > 0 . (7) Т е о р е м а 2. Пусть Р(х*)=0, а Р'(х*) ограничена; тогда для процесса

(7) справедливы утверждения:

а) пусть Re [о(Р'(х*))]>М>0, %<2М/\\Р'(х*)\\\ тогда процесс (7) локально сходится;

б) пусть Н — гильбертово пространство. Если (Р'(x*)h, h)>M\\h\\^zr М>0 ах< , то процесс П) локально сходится.

U' ||Р' (я*)

II

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы приводится в (⁴) . Интересно срав­

нить результат этой теоремы с другими известными условиями сходимости процесса (7). В (³) сходимость (7) доказана для процесса в гильбертовом

пространстве при условиях (P'(x)h, h)>M\\h\\\ М>0; \\Р'(х)\\<А;

0<т^2М/(М²+А²).

Ввиду очевидных неравенств 2М/(М2+А2) <2М/\\Р/(х*) \\2<2/\\Р'(х*) II заключаем, что даже условие сходимости -х<2М/\\Р'(х*) ||2, справедливое для 5-пространства, менее ограничительно, нежели условие из (³) . Ин­

тересно отметить, что условие сходимости (7) в гильбертовом пространст­

ве вообще не зависит от М.

Далее, процесс (7) исследуется в (6) в вещественном 5-пространст- ве X с гладкой нормой при условиях \\Р'(х)\\<А, (grad ||ЛЦ, P'(x)h)>

>m\\h\\. Здесь (z, х) определяет значение линейного функционала z^X*

на векторе х^Х. В (6) доказана сходимость процесса (7) при ограниче­

нии e i < T ^ e², где е^и е² — положительные корни уравнения NA²s²— - 2 m e + l - g²= 0 , {l-m²/NA²yⁱ²<q<{, l^Af=const. Однако можно пока­

зать, что при данных предположениях справедливо неравенство R e [ o ( P^/( ^ ) ) ]^т, а потому в силу теоремы 2 процесс сходится при ус­

ловии 0<т<2ягЛ42. Легко проверить, что г2<2т/А2, а потому условие сходимости 0<%<2т/А2 менее ограничительно, нежели условие из (6) .

Аналогично можно исследовать многие одношаговые итерационные процессы.

3. Пусть Н — гильбертово пространство.

О п р е д е л е н и е 1. Скажем, что процесс (5) л о к а л ь н о н е с х о ­ д и т с я (или н е у с т о й ч и в ) при п-*°°, если существует такое с > 0 , что для всякого е > 0 найдутся такие х⁰, х^Н и такой номер N, что m a x { | | s0| | ,

||sill}<e,

ll^ll^c.

О п р е д е л е н и е 2. Скажем, что линейные операторы А и В у д о в ­ л е т в о р я ю т с в о й с т в у (R), если из того, что для некоторой после­

довательности хп выполнено равенство lim ||-4#„— | Щ | #П| | = 0 следует, что

71-*- оо

для той же последовательности lim \\Вхп— | | S | | xn| | = 0 .

П - > оо

Т е о р е м а 3. Пусть операторы А и В удовлетворяют свойству (R) и А>аЕ(<-аЕ), а + £ > 0 ; а, Р^О, ||4|| + ||В||>1. Если опе­

ратор F(x, у) такое, что \\Г(х, у)\\<д{\\х\\*+*+\\у\\1+р), Р>0; х, y^Sor, то процесс (4) неустойчив.

Теорема 3 доказана в (4) . Если 5 = 0 , a F: то имеет место Т е о р е м а 4. Пусть оператор А самосопряженный и \\А\\>1. Если F удовлетворяет свойству \\F(x)\\^q\\x\\^i+p, /?>0, ||'#||<г, то процесс х^п+1 =

=Axn+F (хп) неустойчив.

Например, для процесса (7) имеет место неустойчивость, если опера­

тор Р'(х*) самосопряженный и содержит точку спектра в левой полупло­

скости, &Р"(х*) ограничена.

4. Из предыдущих рассмотрений следует, что теория устойчивости по линейному приближению выясняет вопрос о локальной сходимости не­

прерывных и дискретных процессов только в том случае, когда

WFW-KLKco. (8) В случае нарушения ограничения (8) требуются специальные рас­

смотрения. Далее мы исследуем поведение траекторий непрерывного ана­

лога метода Ньютона

dx (0 Idt^-P' (х) -'Р (х), х (0) = *0, (9) в случае нарушения ограничения (8). Обозначим решение (9) с началь­

ным условием х(0)=х0 через x{t, х0). Условимся называть точки, в кото­

рых нарушается условие (8), особыми.

Т е о р е м а 5. Пусть Р(х*)=0 и х* есть изолированная особая точка.

Если в некоторой окрестности х* нет других решений уравнения (1) и Р" (х) ограничена, то существует окрестность точки х*\ из которой все

траектории (9) стабилизируются к х*; lim x(t, х⁰)=х*.

1054

При дополнительных ограничениях можно получить информацию о скорости сходимости и длине кривой непрерывного процесса. Длина глад- кой кривой x(t) на отрезке [t⁰, t^x] определяется величиной jj \\dx/dt\\dt.

Т е о р е м а 6. Пусть в условиях теоремы 5 выполнено неравенство

| | Р ( * ) | | > а е х р [ - № - * 1 l ) ]^f « « ' К г , а>0,

где j {и) — положительная, монотонно убывающая функция, подчинен­

ная условию lim /(и) =00.

и-*- оо

Тогда при \\Р{х^)\\<а справедлива оценка Цж*—x(t, х⁰)\\<{~¹(И-\па/

/\\Р(х⁰)\\), где f~^l — функция, обратная к /. Если при этом

\\Р'(х)~*Р(х)\\<Ь(\\х—х*\\), где L(и) — положительная, монотонно вогра- m

стающая функция такая, что I L(f~ⁱ(u))du<°°, то кривая x(t, x^Q) конеч-

А

ной длины.

Например, для скалярного уравнения ехр (—1/х2) = 0 , / ( и ) = 1 / и2 и процесс Ньютона сходится со скоростью \x(t) \<{t+e)~⁴% е > 0 . Пусть Н — гильбертово пространство.

Т е о р е м а 7. Пусть в некоторой окрестности точки х* выполнено не­

равенство (P^/(x)"ⁱP(x), x—x*)>g(\\x—x*\\)- и функция g(u) такова, что для решения и(0)=\\х0—х*\\ уравнения du/dt=—g(u)/u, имеет место соотношение

Тогда x(t, х0) сходится к х* со скоростью \\x(t, х0) — | u ( t ) |.

Если же \\P^/(x)"ⁱP(x)\\<L(\\x—x*\\), где L(u) — монотонно возрас-

i

тающая функция такая, что i — т — - а ^ < ° ° , то кривая x(t, х⁰) ограни- о S\u)

ченной длины.

В заключение заметим, что при g(u)=u2 первая часть теоремы 7 была доказана в (²) .

Объединенный институт ядерных исследований Поступило Дубна Московской обл. 28 IV 197$

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 Ю. А. Далецкий, М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных урав­

нений в банаховых пространствах, М., «Наука», 1970. 2 Я. И. Алъбер, Дифферен­

циальные у р а в н е н и я , т. 7, И (1971). 3 И. Петерсен, Изв. АН ЭстССР, сер. физ.-ма- тем. и техн. наук, № 2 (1963). 4 Е. П. Жидков, Б. Н. Хоромский, Препринт ОИЯИ Р5-9598, 1976. 5 Е. П. Жидков, Б. И. Хоромский, И. В. Лузынин, Препринт ОИЯИ Р5-9512, 1976. 6 М. М. Вайнбег, Сибирск. матем. журн., т. 2, № 2 (1961).