Таблиця 13 1. Випадкові події
Поняття Приклади
Під експериментами з випадковими ре- зультатами (або, коротше, випадко- вими експериментами) розуміють різні експерименти, досліди, випробовування, спостереження, виміри, результати яких залежать від випадку і які можна повто- рити багато разів в однакових умовах.
Експерименти з рулеткою, підкиданням грального кубика, підкиданням монети, серія пострілів одного стрільця по одній і тій самій мішені, участь у лотереї тощо.
Будь-який результат випадкового експе- рименту називають випадковою подією.
Унаслідок такого експерименту ця подія може або відбутися, або не відбутися.
Випадкові події зазвичай позначають ве- ликими літерами латинського алфавіту:
A, B, C, D, ... .
Події:
випадання «герба», випадання «числа»
при підкиданні монети; виграш у лоте- рею; випадання певної кількості очок при підкиданні грального кубика тощо.
2. Поняття, пов’язані з випадковими подіями в деякому експерименті Події B1, B2, ... , Bn називають рівно-
можливими, якщо в даному експерименті немає ніяких підстав вважати, що одна з них може відбутися переважніше за будь-яку іншу.
В експерименті з одноразового підкидан- ня однорідної монети правильної форми рівноможливими є події:
A — випав «герб», B — випало «число».
Події A і B називають несумісними, якщо вони не можуть відбутися одночасно в даному експерименті.
В експерименті з підкидання монети події A — випав «герб» і B — випало
«число» — несумісні.
Події C1, C2, ... , Cn називають несуміс- ними, якщо кожна пара з них несумісна в даному експерименті.
Для експерименту з підкидання грально- го кубика події C1 — випадання 1 очка,
C2 — випадання 3 очок, C3 — випадан- ня 5 очок, C4 — випадання парного чис- ла очок — несумісні.
Подію U називають вірогідною, якщо в результаті даного експерименту вона обов’язково відбудеться.
Випадання менше 7 очок при підкиданні звичайного грального кубика (на гранях якого позначено від 1 до 6 очок).
Подію ∅ називають неможливою, якщо вона не може відбутися в даному експе- рименті.
Випадання 7 очок при підкиданні граль- ного кубика.
3. Простір елементарних подій
Поняття Приклад
Нехай результатом деякого випадково- го експерименту може бути тільки одна з попарно несумісних подій u1, u2, ..., un. Назвемо ці події елементарними подія- ми, а множину всіх цих подій
U=
{
u u1, 2, ,… un}
—простором елементарних подій.
1. Для експерименту з підкидання моне- ти елементарними будуть події:
u1 — випав «герб», u2 — випало «число».
Тоді простір елементарних подій буде складатися з двох подій: U=
{
u u1, 2}
. (Ці події попарно несумісні, у результаті експерименту обов’язково відбудеться одна з цих подій.)Будь-яку підмножину простору елемен- тарних подій U вважатимемо випадко- вою подією A.
2. Для експерименту з підкидання граль- ного кубика елементарними можуть бути події u1, u2, u3, u4, u5, u6, де uk — випадання k очок, k=1, 2, 3, 4, 5, 6. У цьому випадку простір елемен- тарних подій буде складатися з шести подій: U=
{
u u u u u u1, 2, 3, 4, ,5 6}
.4. Класичне означення ймовірності (для рівноможливих елементарних подій) Нехай задано простір елементарних
подій, усі елементарні події якого — рів- номожливі.
Ймовірність події A — це відношення числа сприятливих для неї елементарних подій (m) до числа всіх рівноможливих елементарних подій (n) у даному експе- рименті:
P A m ( )= n .
Приклад
Знайдіть імовірність випадання більше чотирьох очок при підкиданні грального кубика.
Розглянемо як елементарні події шість рівноможливих результатів підки- дання кубика — випало 1, 2, 3, 4, 5 або 6 очок (отже, n=6). Подія A — випало більше 4 очок. Сприятливими для події A є тільки дві елементарні події — випало 5 або 6 очок (тобто m=2).Тоді P A m ( )= n = =2
6 1 3.
Ймовірність вірогідної (U) та неможливої
( )
∅ подій:P U
( )
=1 P( )
∅ =0ПОяснення й Обґрунтування
1. Випадкові експерименти й випадкові події
Нам часто доводиться проводити різні спостереження, досліди, брати участь в експериментах або випробуваннях. Часто такі експерименти завершуються результатом, який заздалегідь передбачити неможливо.
Наприклад, ми купуємо лотерейний квиток і не знаємо, виграємо чи ні; підкидаємо монету і не знаємо, що випаде — «число» чи «герб». Чи можна якимось чином оцінити шанси появи результату, який нас ціка- вить? Відповідь на ці запитання дає розділ математики, що має назву теорія ймовірностей. Ми ознайомимося тільки з основами цієї теорії.
Одним з основних понять, які розглядаються в теорії ймовірностей, є поняття експерименту з випадковими результатами.
Прикладом такого експерименту може бути підкидання монети суд- дею футбольного матчу перед його початком із метою визначення, яка з команд почне матч із центра поля.
Під експериментами з випадковими результатами (або, коротше, ви- падковими експериментами) розуміють різні експерименти, досліди, випробовування, спостереження, виміри, результати яких залежать від випадку і які можна повторити багато разів в однакових умовах. На- приклад, це серія пострілів одного стрільця по одній і тій самій мішені, участь у лотереї, витягання пронумерованих куль із коробки, експери- менти з рулеткою, підкиданням грального кубика, підкиданням монети.
Будь-який результат випадкового експерименту називають випадко- вою подією.
Унаслідок експерименту, який розглядається, ця подія може або відбутися, або не відбутися. Зазначимо, що для кожного випадкового експерименту звичайно заздалегідь домовляються, які його результати розглядаються як елементарні події, а потім випадкова подія розгляда- ється як підмножина отриманої множини (див. п. 3 табл. 13).
Надалі, як правило, будемо позначати випадкові події великими ла- тинськими літерами: A, B, C, D, ... .
Говорячи про випадкові події, будемо вважати, що вони пов’язані з одним конкретним випадковим експериментом.
Зауважимо, що багато важливих і потрібних фактів теорії ймовірно- стей спочатку були одержані за допомогою дуже простих експериментів.
Велику роль у розвитку теорії ймовірностей як науки зіграли звичайні монети та гральні кубики.
Але ті монети й кубики, які розглядаються в теорії ймовірностей, є математичними о′бразами справжніх монет і кубиків (тому про них іноді говорять, що це математична монета й математичний граль
ний кубик).
Наприклад, математична монета, яку використовують у теорії ймовірностей, позбавлена багатьох якостей справжньої монети. У мате
матичної монети немає кольору, розміру, ваги та ціни. Вона не зроблена ні з якого матеріалу й не може служити платіжним засобом. Монета, з погляду теорії ймовірностей, має тільки дві сторони, одна з яких нази
вається «герб», а інша — «число». Монету кидають, і вона падає однією зі сторін угору. Ніяких інших властивостей у математичної монети немає.
Математична монета вважається симетричною. Це означає, що кинута на стіл монета має рівні шанси випасти «гербом» або «числом». При цьому мається на увазі, що ніякий інший результат кидання монети неможливий — вона не може загубитися, закотившись у куток і, тим більше, не може «стати на ребро».
Справжня металева монета служить лише ілюстрацією для мате
матичної монети. Справжня монета може бути трохи ввігнутою, може мати інші дефекти, які впливають на результати кидання. Проте, щоб перевірити на практиці досліди з підкиданням математичної монети, ми кидаємо звичайну монету (без явних дефектів).
Оскільки справжня монета не є ідеальною, чи може статися, що випадання «гер- ба» для справжньої монети більш імовірне, ніж випадання «числа» або навпаки?
Дізнайтеся, чи проводилися відповідні дослідження у світі. Якщо так, то які їх результати? Як залежить результат від країни походження монети?
Гральний кубик також служить прекрасним засобом для ілюстрації випадкових подій. Гральний кубик має дивовижну історію. Гра з кубика
ми — одна з найдавніших. Вона була відома в глибокій давнині в Індії, Китаї, Лідії, Єгипті, Греції й Римі. Гральні кубики знаходили в Єгипті (датуються XX ст. до н. е.) і в Китаї (VI ст. до н. е.) при розкопках стародавніх поховань.
Правильні (симетричні) кубики забезпечують однакові шанси випа
дання кожної грані. Для цього всі грані повинні бути однакової площі, плоскими й однаково гладенькими. Кубик має бути саме кубічної форми, а його центр ваги має збігатися з геометричним центром. Вершини й ре
бра кубиків повинні мати правильну форму. Якщо вони округлі, то всі округлення мають бути однаковими. Отвори, які маркують кількість очок на гранях, повинні бути просвердлені на однакову глибину. Сума очок на протилежних гранях правильного кубика дорівнює 7 (рис. 9.1).
Математичний гральний кубик, який обговорюється в теорії ймовірностей, — це математичний образ правильного куби- ка. Випадання всіх граней рівноможливе.
Подібно до математичної монети, мате- матичний кубик не має ні кольору, ні розміру, ні ваги, ні інших матеріальних якостей.
2. Деякі поняття, пов’язані з випадковими подіями
Нехай проведено якийсь випадковий експеримент. Як зазначалося вище, його результатами є деякі випадкові події. Унаслідок такого екс- перименту кожна з подій може або відбутися, або не відбутися. Ці події пов’язані з конкретним випадковим експериментом.
Означення. Події називаються рівноможливими, якщо в даному експе- рименті немає ніяких підстав вважати, що одна з них може відбутися переважніше за будь-яку іншу.
Наприклад, в експерименті з одноразового підкидання однорідної монети правильної форми рівноможливими є події: A — випав «герб», B — випало «число».
Означення. Події A і B називаються несумісними, якщо вони не можуть відбутися одночасно в даному експерименті.
Так, в експерименті з одноразового підкидання монети події A — випав «герб» і B — випало «число» — несумісні.
Події C1, C2, ..., Cn називають несумісними, якщо кожна пара з них несумісна в даному експерименті. Для експерименту з підкидання граль- ного кубика події: C1 — випадання 1 очка, C2 — випадання 2 очок,
C3 — випадання 3 очок, C4 — випадання 4 очок, C5 — випадання 5 очок, C6 — випадання 6 очок — несумісні (і рівноможливі).
Означення. Подія U називається вірогідною, якщо в результаті даного експерименту вона обов’язково відбудеться.
Наприклад, випадання менше 10 очок при підкиданні грального кубика (на гранях якого позначено від 1 до 6 очок) є вірогідною подією.
Означення. Подія ∅ називається неможливою, якщо вона не може від- бутися в даному експерименті.
Наприклад, випадання 9 очок при підкиданні грального кубика — неможлива подія.
О О
О О
О О О О
Рис. 9.1
3. Простір елементарних подій
Нехай результатом деякого випадкового експерименту може бути тільки одна з попарно несумісних подій u1, u2, ..., un. Назвемо їх еле- ментарними подіями, а множину всіх цих подій U=
{
u u1, 2, ,… un}
—простором елементарних подій.
Наприклад, для експерименту з підкидання монети елементарними подіями будуть: u1 — випадання «герба», u2 — випадання «числа». Тоді простір елементарних подій буде складатися з двох подій: U=
{
u u1, 2}
.(Ці події несумісні, і в результаті експерименту обов’язково відбудеться одна з цих подій.)
Для експерименту з підкидання грального кубика елементарними подіями можуть бути: u1 — випадання 1 очка, u2 — випадання 2 очок, u3 — випадання 3 очок, u4 — випадання 4 очок, u5 — випадання 5 очок, u6 — випадання 6 очок. У цьому випадку простір елементарних подій буде складатися з шести подій: U=
{
u u u u u u1, 2, 3, 4, ,5 6}
.Будь-яку підможину простору елементарних подій U вважатимемо випадковою подією A. Наприклад, для експерименту з підкидання граль- ного кубика випадковою є подія A — випадання парної кількості очок, оскільки A=
{
u u u2, 4, 6}
— підмножина U.4. Класичне означення ймовірності
Нехай результатом деякого випадкового експерименту може бути одна й тільки одна з n попарно несумісних і рівноможливих елементар- них подій u1, u2, ..., un (тобто простір U елементарних подій даного випадкового експерименту складається з рівноможливих елементарних подій u1, u2, ..., un. І нехай у даному експерименті подія A полягає в тому, що відбувається одна з m наперед виокремлених елементарних подій ui1, ui2, ..., uim тобто A=
{
u ui1, i2, ,… uim}
(у цьому випадку говорять, що елементар- ні події ui1, ui2, ..., ui
m сприяють події A).
Ймовірність події A означимо як від- ношення числа m елементарних подій, що сприяють події A, до загального числа n Буква P (позначення ймовір-
ності) — перша буква фран- цузького слова probabilitеé або латинського слова proba- bilitas, що в перекладі означає ймовірність.
елементарних подій у даному експерименті, тобто як відношення m n . Ймовірність події A звичайно позначають P A( ). Тоді
P A m ( )= n.
Цією рівністю виражається класичне означення ймовірності, яке можна сформулювати таким чином.
означення. Якщо розглядається простір рівноможливих елементарних подій, то ймовірність події A — це відношення числа сприятливих для неї елементарних подій до числа всіх рівноможливих елементарних по
дій у даному експерименті.
Наприклад, в експерименті з підкидання монети рівноможливими елементарними подіями є дві
(
n=2 події:)
A — випав «герб» і B — випало«число». Події A сприяє тільки один випадок
(
m=1 , тому)
P A m ( )= n =12. Очевидно, що ймовірність події B також дорівнює 1
2: P B( )= 1
2. Отже, в експерименті з одноразового підкидання монети ймовірність випадання
«герба» (або «числа») дорівнює 1 2.
Аналогічно обґрунтовується, що в експерименті з підкидання граль- ного кубика ймовірність події Ai — випало i очок (i=1, 2, 3, 4, 5, 6) дорівнює 1
6.
Обґрунтуйте це самостійно.
Зазначимо, що коли в будь-якому експерименті розглянути неможли- ву подію ∅, то немає елементарних подій, що сприяють цій події, тобто число елементарних подій, сприятливих для неї, дорівнює нулю
(
m=0 ,)
і тоді P
∅ n
( )
= 0 =0.Отже, ймовірність неможливої події дорівнює 0.
Наприклад, в експерименті з підкидання грального кубика ймовір- ність неможливої події A — випало 7 очок — дорівнює 0.
Якщо в будь-якому експерименті розглянути вірогідну подію U, то їй сприяють усі елементарні події в цьому експерименті
(
m n=)
, і тодіP U n
( )
=n =1.О
О
Отже, ймовірність вірогідної події дорівнює 1.
Наприклад, в експерименті з підкидання грального кубика по- дія A — випало 1 очко, або 2 очки, або 3 очки, або 4 очки, або 5 очок, або 6 очок — вірогідна і її ймовірність дорівнює 1.