vézes a do retángulo. A s áreas, e portanto as distán- cias percorridas, seriam iguais.
A única diferenga de vulto entre as apresentagóes de Galileu e de Oresme é que a última foi lanqada em torno de qualquer “ qualidade” variável, que pu- desse ser expressa por meio de números — incluin- do “ qualidades” físicas tais como velocidade, desloca- mento, temperatura, brancura, peso, etc., mas tam- bém “ qualidades” nao físicas como amor, caridade e graqa. Mas náo há exemplo de que ésses homens do século X IV verificassem seus resultados, como o féz Galileu a fim de ver se se aplicavam ao mundo real da experiéncia. Para aquéles homens, o exercício ló gico de provar “ a regra da velocidade média” era por si só uma experiéncia satisfatória. Por exem plo, tanto quanto sabemos, os cientistas do século X IV nunca exploraram a possibilidade de dois obje tos de péso desigual caírem práticamente juntos. Todavía, se os escolásticos do século X IV , que des- cobriram a “ regra da velocidade média” , náo apli- caram éles próprios o conceito de uma aceleraqáo uni forme no tempo aos corpos em queda, seus sucesso- res o fizeram. Por volta do século X V I a afirma d o de que a velocidade dos corpos que caem aumen ta continuamente, como funqáo do tempo, foi im- pressa repetidamente no livro, largamente usado, do espanhol Domenico de Soto, no qual a “ regra da velocidade média” era prontamente encontrada.
Outro conceito medieval de importancia para a compreensáo do pensamento científico de Galileu é o do “ ímpetus” . É éle uma propriedade que se su- punha ser conservada por projéteis em movimento, depois de terem deixado o “ propulsor” . O Ímpe
tus se assemelha tanto ao momentum quanto á ener-
^ gia cinética, e realmente náo tem equivalente na Dinámica moderna. Era um longínquo antepassa- do do conceito de inércia, de Galileu, da qual se de-
senvolveu por sua vez a moderna concepgáo newto niana.
A originalidade de Galileu era portanto diferente da que éle jactanciosamente declarou. Já náo pre cisamos mais acreditar em coisa táo absurda como náo ter havido progresso na compreensáo do movi mento, entre o tempo de Aristóteles e o de Galileu. E podemos ignorar muitos relatos que fazem pare cer que Galileu inventou a moderna Dinámica, sem nada dever a qualquer predecessor medieval ou an- tigo.
Era éste um ponto de vista sustentado pelo pró prio Galileu, mas que poderia ser admitido de mo do mais justificável há cinqüenta anos atrás do que hoje. Uma das mais frutíferas áreas de pesquisa na Historia da ciéncia no último meio século — aberta principalmente pelo cientista francés Pier- re Duhem — tém sido as “ ciéncias exatas” da Ida- de Média. Estas investigares desvendam uma crí tica a Aristóteles, que preparou o caminho para as próprias contribuiqóes de Galileu. Apurando com exatidáo aquilo que Galileu deveu aos seus predeces sores, podemos delinear mais exatamente suas pró prias proporqóes heroicas. Além disso, tornamos assim mais real a historia da vida de Galileu, porque sabemos que, no avanqo das ciéncias, cada um cons- trói sobre o trabalho dos seus predecessores. Nunca éste aspecto do empreendimento científico foi me- lhor expresso do que ñas seguintes palavras de Lord Rutherford (1871-1937), o fundador da Física Nu clear :
“ . . . Náo está na natureza das coisas, que um só homem faga uma violenta e repentina descoberta; vai a Ciéncia passo a passo, e ca-
da homem depende do trabalho de seus pre- decessores. Quando se ouve de uma deseo- berta inesperada e repentina — como se fósse um relámpago no azul — pode-se estar certo, sempre, de que ela se desenvolveu pela in fluencia de um homem sobre outro, e é esta mutua influencia que faz a enorme possibili- dade do avanqo científico. Os cientistas náo dependem das idéias de um só homem e sim de milhares de homens, todos pensando no mesmo problema, e cada um fazendo o seu pouquinho, para ser acrescentado á grande es- trutura do conhecimento que está sendo le vantada gradativamente.”
Acreditaremos que Galileu representa menos típica mente do que Lord Ruthford o espirito científico? >Todavia foi Galileu quem, pela primeira vez, mos- trou como resolver o movimento composto de um projétil em dois componentes separados e diferentes — um uniforme e o outro acelerado f — e foi Gali- ,
,
* 1
leu quem primeiro submeteu as leis escolásticas do - movimento ao teste da experiéncia, e provou que elas podiam ser aplicadas ao mundo real ou cotidia no. Caso isto parega um pequeño feito, recorde mos que os principios enunciados por Galileu sob forma mais precisa e usados como parte da Física ao invés de como parte da Lógica, eram conhecidos desde os meados do século X IV , mas que ninguém mais, nesse intervalo de 300 anos, tinha tido a in- tuiqáo para relacionar abstraqóes com o meio ambiente. Talvez a maior característica do seu gé nio esteja no combinar a visáo matemática do mun do com a visáo empírica, obtida pela observad0. pela experiéncia crítica e pela correta experimentado.
Formulando a Lei da Inércia
^"Exploremos um pouco mais a contribuido de Ga- fiileu á metodología científica-, éolS^sSalmsisténcia /sobre uma'relaqáo exata entre abstraqóes matemáti- i cas e 'o mundo da experiencia. í Por exemplo, a
'maioría das leis do movimento, tais como foram anunciadas por Galileu, seriam verdadeiras sómente no vácuo, onde náo houvesse resisténcia do ar. Mas no mundo real é necessário tratar do movimento dos corpos em várias especies de meios, nos quais há re sisténcia. Por conseguinte, se os resultados que Galileu obteve pelo método da. abstraqáo matemática devessem ser aplicados no mundo real que éle tinha ao redor de si, era-lhe necessário saber exatamente qual o efeito que teria a resisténcia do meio. Em particular, Galileu pode mostrar que, para os corpos de certo péso e náo construidos para oferecer resis- téncias enormes ao movimento através do ar, o efeito do ar era quase desprezível. Era o ínfimo fator da resisténcia do ar o responsável pelas pequeñas dife- renqas nos tempos de queda de objetos leves e pe sados, de uma altura dada. Esta diferenqa era im portante porque ela indicava que o ar opóe alguma resisténcia, mas a insignificancia da diíerenqa mos- trava quáo ínfimo é realmente o efeito dessa resis téncia.
Galileu póde demonstrar que um projétil descreve uma parábola, porque o projétil tem simultáneamen te uma com binado de dois movimentos indepen- dentes: um movimento uniforme em d ire d o hori zontal ou para a frente, e um movimento uniforme mente acelerado, para baixo, na direqáo vertical.
Comentando ésse resultado, Galileu faz Simplicio argumentar corretamente: “ Náo vejo como é pos- sível evitar a resisténcia do meio, que deve destruir a uniformidade do movimento horizontal e mudar a
lei de aceleraqáo dos corpos em queda. Essas vá- rias dificuldades tornam altamente improvável que um resultado derivado de hipóteses táo restritivas se verificasse verdadeiro na prática” . Dá-se entáo a réplica: “ Garanto que essas conclusóes provadas por abstraqáo seráo falhas quando aplicadas a um caso real, ou seja, nem o movimento horizontal será uniforme, nem a aceleraqáo natural estará na razáo considerada, nem a trajetória do projétil será a pa rábola, etc.” . Prossegue Galileu para provar: “ No caso désses projéteis que nós usamos, feitos de ma terial denso e forma arredondada ou de material mais leve e de forma cilindrica, tais como setas ar- remessadas por uma funda ou arco, o desvio de uma trajetória exatamente parabólica é inteira- mente desprezível. Verdaderamente, se me permi- tern liberdade um pouco maior, posso mostrar-lhes, por duas experiéncias, que as dimensóes do nosso aparelho sao táo pequeñas que essas resisténcias ex ternas e incidentais, entre as quais a do meio é a mais considerável, sáo difícilmente observáveis” .
Numa das experiéncias, Galileu usou duas bolas, pesando uma, dez ou doze vézes mais do que a ou tra, “ uma, digamos de chumbo, a outra de madeira de carvalho, ambas sóltas de uma elevaqáo de 75 ou 100 m. Segundo Galileu, a experiéncia demonstra que chegaráo á Terra com insignificante diferenqa em velocidade, mostrando-nos que em ambos os ca sos o retardamento causado pelo ar é pequeño; por que, se as duas bolas partem no mesmo momento e da mesma altura, e se a de chumbo fósse retardada de modo insignificante e a de madeira grandemente retardada, entáo a primeira deveria chegar á Terra ■v com considerável avanqo em distáncia sobre a últi
ma, embora dez vézes mais pesada. Mas isto náo acontece; verdaderamente, o ganho em distáncia de uma sobre a outra náo chega á centésima parte de
toda a queda. E no caso de uma bola de pedra pe sando só um térgo ou a metade de uma de chumbo, ^ a diferenga nos seus tempos de alcanzar a Terra
será dificicilmente notada.”*
A seguir, Galileu mostra que, á parte o peso, “ a resisténcia do ar para um corpo que se move rápi damente náo é muito maior que para um que se mova lentamente” . Admitiu éle que “ a resisténcia que o ar oferece aos movimentos por nós estudados pertiírba-os todos numa infinita variedade de manei- ras correspondentes á infinita variedade na forma, péso e velocidade do p r o jé t il...” “ Com relaqáo á velocidade, quanto maior ela fór, tanto maior será a resisténcia oferecida pelo ar . . .Assim sendo, embo- ra o corpo em queda devesse deslocar-se proporcio nalmente ao quadrado da duraqáo do seu movimento, (qualquer que seja o seu péso) se éle cai de altura muito considerável, a resisténcia do ar tornar-se-á tal que impedirá qualquer aumento na velocidade e tor nará o movimento uniforme; e, quanto menor fór a densidade do corpo em movimento, tanto mais rá pidamente será atingida essa uniformidade, e após
queda mais curta” . »
Nesta interesantíssima conclusáo, diz Galileu que, se um corpo cai durante longo tempo, a resisténcia do ar aumentará em certa proporqáo relativamente á velocidade, até que essa resisténcia se iguale e contrabalance o péso que impele o corpo para baixo, para a Terra. Se dois corpos tém o mesmo tama nho, e a mesma resisténcia porque tém forma seme- lhante, o mais pesado acelerará durante maior tempo, porque tem maior péso. Continuará a acelerar-se até que a resisténcia proporcional á velocidade, que portanto é proporcional ao tempo, iguale o péso. O que nos interessa náo é tanto éste importante resul tado, como a conclusáo geral de Galileu: quando a resisténcia. se torna táo grande que iguala o péso do
r
corpo que cai, a resisténcia do ar “ evitará qualquer aumento em velocidade e tornará o movimento uni
forme” . Isto equivale a dizer que se a soma de todas as fórqas atuando sobre o corpo (neste caso fórqa para baixo do péso e fórqa para cima da re sisténcia) se equilibram ou sao equivalentes a uma resultante nula, o corpo, náo obstante isso, continua-
Fig. 20. Para ver como Galileu analisou o movimento do
projétil, consideremos uma bala disparada horizontalmente por um canháo, na crista de um rochedo, com a velocidade de 50 pés por segundo ( * ) . Os pontos A , B, C, D mostram onde a bala estaría ao fim de sucessivos segundos, se náo houvesse resistencia do ar e nenhum componenté de cima para baixo. Neste caso, haveria um movimento horizontal
(*) Nao con vertemos os dados para o sistema métrico porque, sendo a aceleragáo da gravidade, no sistema inglés, 32 pés/seg.2, os cálculos tornam-se mais simples e estamos interessados em fatos e náo em resultados numéricos. (N. do Revisor.)
rá a mover-se, e com movimento retilíneo e unifor me. Tal afirmativa é anti-aristotélica, porque Aris tóteles sustentava que, quando a fórqa motriz iguala a resistencia, a velocidade é zero. Trata-se, em for ma restrita, de uma afirmaqáo da 1.a lei do movi mento de Newton, ou principio da inércia.
uniforme e a bala percorreria SO pés por segundo. Na diregáo de cima para baixo, há. um movimento acelerado. Os pontos a, b, c, d mostram onde estaría a bala, se caísse sem resisténcia do ar e sem movimento no sentido horizon tal. Posto que a distáncia é calculada segundo a lei
D = 1/2 AT2
e a aceleragáo A é 32 pés/seg2, as distancias corresponden tes a ésses tempos sao
T T 2 1/2 A T2 D
1 seg. 1 seg.2 16 ipés/seg.2 x 1 seg.2 16 pés
2 seg. 4 seg.2 16 pés/seg.2x 4 seg.2 64 pés 3 seg. 9 seg.2 16 pés/seg.2x 9 seg.2 144 pés 4 seg. 16 seg.2 16 pés/seg.2x 16 seg.2 256 pés Como a bala tem realmente os dois movimentos simultá neamente, a trajetória exata é mostrada pela curva.
Para os que apreciam um pouco de Álgebra, seja v a velocidade horizontal constante e x a distáncia horizontal, de modo que x = vt. Na diregáo vertical, seja y a dis táncia percorrida, de modo que y = 1/2 A ta. Logo,
x 2 — i f l ¿2 ou • x2 — = 0 V2 2y — = f2 A x2 /2 e — = — ou y = --- x 2, o que é da forma y — k x2, em ij2 A 2 v Z
que k é uma constante, e esta é a equagáo clássica da parábola.
jf Segundo éste principio, a auséncia de uma fórqa externa permite a um corpo, ou mover-se em linha reta em velocidade constante, ou ficar em repouso, e assim estabelecer uma equivalencia entre movi mento retilíneo uniforme e repouso — principio que pode ser considerado como um dos principáis fun damentos da moderna Física newtoniana.*
Mas é realmente o principio de Galileu o mesmo que o de Newton? Observe-se que, na afirmaqáo de Galileu, náo há referéncia alguma a uma lei geral de inércia, mas sómente ao caso particular do movi mento para baixo. Trata-se de um movimento li mitado porque só pode continuar até que o corpo em queda toque a Terra. Náo há possibilidade, por exemplo, de tal movimento continuar uniformemen te em linha reta para sempre, como se pode inferir da afirmaqáo mais geral de Newton.
VNos Discursos e Demonstragoes Concernentes a
Duas Novas Ciéncias, Galileu encarou o problema
da inércia principalmente em relaqáo ao seu estudo da trajetória de um projétil, que éle quería mostrar ser uma parábola (Fig. 20). Considera Galileu um corpo que parte em direqáo horizontal. Éle terá, portanto, dois movimentos distintos e independente?,. Na direqáo horizontal éle se moverá com velocidade uniforme, exceqáo feita do pequeño efeito retavda- dor da resisténcia do ar. A o mesmo tempo, seu movimento para baixo será acelerado, exatamente como é acelerado um corpo em queda livre. É a combinaqáo déstes dois movimentos a causa de ser ^parabólica a trajetória. Para o seu postulado de que o componente descendente do movimento é o mesmo que seria o de um corpo em queda livre, Ga lileu náo deu prova experimental, se bem que indi- casse a possibilidade dessa prova. Inventou éle uma
’ > i
ó á '¿
pequeña máquina, com a qual, sobre um plano in clinado (Fig. 21) era projetada uma bola horizon talmente, para se mover em trajetória parabólica.
Fig. 21. O aparelho simples de Galileu, para demonstrar o movimento do projétil, era uma cunha. Uma bola, partindo com movimento horizontal do tópo da cunha, percorre uma tragetória parabólica.
Podemos hoje em dia demonstrar fácilmente esta conclusáo, atirando horizontalmente uma bola, e dei- xando cair outra livremente da mesma altura e ao mesmo tempo que a primeira. A Gravura V II mos tra o resultado de tal experiéncia. Uma série de fo tografías, tomadas estroboscopicamente em instantes sucessivos, mostra que, embora uma das bolas se mova para a frente enquanto a outra cai vertical mente, as distáncias percorridas em segundos su cessivos sao as mesmas para ambas. É*a situagáo de uma bola que cai ftum trem que se move com ve locidade constante, ao longo de uma linha retilínea. Ela cai verticalmente, segundo após segundo, exata mente como faria se o trem estivesse em repouso. Mas como se move também horizontalmente, com a mesma velocidade uniforme do trem, sua verdadeira trajetória relativamente á Terra é uma parábola. Outro exemplo ainda, moderno, é o de um aviao vo- ando horizontalmente com velocidade constante e soltando uma bomba ou torpedo, em que a queda para baixo é a mesma que se daria se a bomba ou torpedo tivessem sido largados, da mesma altura de um corpo em repouso, digamos, de um ladráo cativo
em dia calmo. Ao cair do aviáo, a bomba ou tor pedo continuará a mover-se para a frente com a velocidade horizontal uniforme do aviáo, e conti nuará, exceto quanto aos efeitos do ar, diretamente debaixo do aviáo. Mas, para um observador em repouso na Terra, a trajetória será uma parábola
Consideremos finalmente uma pedra deixada cair de uma torre. Em relaqáo á Terra (e para uma queda táo curta o movimento da Terra pode ser con siderado retilíneo e uniforme) ela cai em linha reta para baixo mas, relativamente ao espaqo determina do pelas estrélas fixas, ela mantém o movimento partilhado com a Terra, no momento em que foi sólta, e portanto a sua trajetória é uma parábola.
Estas análises de trajetórias parabólicas sao todas baseadas no principio de Galileu, da decomposigáo de um movimento complexo em dois movimentos (ou componentes) em ángulo reto, um relativamente ao outro. É certamente uma medida do seu génio o fato de ter éle compreendido que um corpo pode ter simultáneamente uma componente horizontal de velo cidade, uniforme ou náo acelerada, e uma componente vertical acelerada — nenhuma tendo efeito algum sobre a outra. Em cada um désses casos, a compo nente horizontal exemplifica a tendéncia de um cor po, que é mover-se em linha reta com velocidade constante, e continuar a fazé-lo, mesmo que perca o contato físico com a fonte original désse movimento uniforme. Isto pode ser também descrito como a tendéncia de todo corpo em resistir a qualquer mu danza no seu estado de movimento, propriedade ge- ralmente conhecida, desde os dias de Newton, como ^ inércia de um corpo. Como a inércia é táo importan
te para a compreensáo do movimento, examinemos um pouco mais profundamente as concepqóes de Ga lileu — náo tanto para mostrar suas limitagóes, mas
para ilustrar como era difícil formular rigorosa mente a lei da inércia e derrubar os últimos ves- ^ tígios da velha Física.
Dificuldades e Realizagoes de Galileu
Na parte final de seus Discursos e Demonstra-
goes Concernentes a Duas Novas Ciencias, Galileu
trata do movimento do projétil, da maneira seguinte:
y ’
“ Suponhamos um corpo qualquer, lanqado ao longo de um plano horizontal, sem atrito; sabemos. . . que ésse corpo se moverá inde finidamente ao longo désse mesmo plano, com um movimento uniforme e perpétuo, se tal plano fór ilimitado.
' Mas, no mundo da Física de Galileu pode haver um “ plano ilimitado” ? No mundo real, certamen- te éle náo existe.
A o discutir o movimento ao longo de um plano, admite Galileu as dificuldades levantadas por Sim plicio: “ Uma destas (dificuldades) é que nós su- ^ pomos que o plano horizontal, isto é, náo ascenden
te nem descendente, é representado por uma linha reta, como se cada ponto dessa linha fósse igual mente distante do centro, o que náo é o caso; se alguém parte do centro (da reta) e vai para qual quer uma das extremidades, afasta-se cada vez mais do centro (da Terra) e está portanto subindo cons-
i tantemente” . Assim, se ela se está movendo ao longo de qualquer plano, tangente á superficie da Terra, de dimensóes consideráveis, uma bola co- meqará a subir, o que destruirá a uniformidade do seu movimento. Mas, no mundo real das experién cias as coisas sao diferentes, daí a afirmagáo de Ga- t lileu: “ Nossos instrumentos e as distancias conside
me distáncia ao centro da Terra que podemos con siderar um minuto de arco num grande círculo como uma linha r e t a ...” Galileu explica o que signifi cará considerar um arco como uma linha reta: “ Arquimedes e outros consideravam-se colocados a uma distáncia infinita do centro da Terra e, nesse caso, o que éles admitiam náo era falso e portanto suas conclusóes eram corretas. Quando desejamos aplicar nossas conclusóes a distancias que, embora finitas, sáo muito grandes, é-nos necessário infe rir, na base da verdade demonstrada, que correqáo deve ser feita pelo fato de que nossa distáncia ao centro da Terra náo seja verdadeiramente infinita, mas únicamente muito grande em comparaqáo com as pequeñas dimensóes do nosso aparelho” . Como na sua discussáo da resisténcia do ar, Galileu quer sa