De certo, um homem da tempera de Galileu acharia difícil considerar tal livro uma contribuido séria para a Astronomía.
O último dos grandes livros de Kepler foi um
Epítome da Astronomía de Copérnico, pronto para
publicadlo nove anos antes da sua morte em 1630. Defendeu néle suas divergencias corno o sistema original de Copérnico. Porém o mais interessante para nós, é que, neste livro, como na Harmonia do
Mundo (1609), Kepler de novo e orgulhosamente
apresenta a sua mais antiga descoberta, relativa aos cinco sólidos regulares e os seis planetas. Era esta, sustentava ele aínda, a razáo para ser seis o nú mero de planetas existentes.
Deve ter sido táo trabalhoso extrair as leis de Kepler do resto de seus escritos, quanto refazer as descobertas. Kepler merece considerado por.-ler sido o primeiro dentista a reconhecer que o con- ceito de Copérnico, da Terra como planeta, e as descobertas de Galileu, exigiam a existencia de uma só Física, aplicável igualmente aos objetos celestes e aos_ corpos terrestres comuns.. Mas, infelizmente; Kepler permaneceu táo vinculado á Física de Aris tóteles que, quando tentou pro jetar uma Física ter restre nos céus, esta era ainda aristotélica. Assim, o principal objetivo de sua Física nao foi alcanzado, e a primeira Física viável para o ceu e a Terra pro- vém, nao de Kepler, mas de Galileu e ganhou for ma sob a direqáo magistral de Isaac Newton.
Ca p í t u l o 7
UM G R A N D E D E SIG N IO — U M A N OVA FISIC A
A publicagáo, em 1687, dos Principia de Isaac Newton, foi um dos mais notáveis acontecimentos em toda a historia da Física. Néles se encontram sintetizados milhares de anos de luta pela compre- ensáo do sistema do mundo, dos principios de fór-
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a e movimento, e da Física dos corpos que se mo- vem em meios diferentes. E nao é pequeño teste- munho da vitalidade do génio cinetífico de Newton o fato de que, embora a Física dos Principia tenha sido alterada, mel horada, e posta á pro va, desde en- táo, nós aínda procedemos, ao resolver a maioria dos problemas de Mecánica Celeste e da Físíca dos grandes corpos, essencialmente como o fez Newton há cerca de trezentos anos atrás. E se isto nao é bastante para satisfazer os cánones de grandeza, foi .[ Newton igualmente grande como matemático puro. Éle criou o cálculo integral e diferencial (realizado simultánea e independentemente pelo filósofo ale- máo Gottfried Wilhelm Leibniz). que é a linguagem da Física; desenvolveu o teorema do binomio e varias propriedades das séries infinitas; lanqou ainda os fundamentos do cálculo das varíaqóes. Na Ótica, Newton comegou o estudo da análise e com- posiqáo da luz, mostrando que a luz branca é com posta de luzes de muitas cores, tendo cada uma um índice de refracgáo característico. Sobre essas pes quisas se baseia a espectroscopia e os métodos de análise das cores. "^Newton inventou o telescopio de reflexáo, mostrando assim aos astrónomos comotranspor as limitagóes do telescopio construido com lentes* Em conjunto, foi um empreendimento cientí fico fantástico — de uma fecundidade que nunca foi igualada.
Neste livro trataremos exclusivamente do siste ma de dinámica e gravitagáo, de Newton, proble mas centráis para os quais os capítulos precedentes foram uma preparaqáo. Se vocé os leu cuidadosa mente, iá conhece os principáis ingredientes neces- sários á compreensáo do sistema do mundo segundo Newton, faltando apenas um elemento. Mas, ainda que éste fósse dado — a análise do movimento circular uniforme — a máo guiadora de Newton ainda seria necessária para combinar os ingredien tes. Foi preciso génio para conceber o novo con- ceito da gravitagáo universal. Vejamos o que real mente féz Newton.
Antes de mais nada, deve-se compreender que o próprio Galileu nunca tentou criar qualquer esquema de Mecánica que levasse em considerado o movi mento dos planétas e de seus satélites. Quanto a Copérnico, o D e Revolutionibus nao contém qual quer incursáo na Mecánica celeste. Kepler tinha tentado apresentar uma mecánica celeste mas o re sultado nunca foi feliz. Sustentava éle que a ani
ma motrix, emanando do Sol, causaría a revolugáo
dos planétas ao redor déle, em círculos. Supós, além disso, que a interaqáo magnética entre o Sol e cada planeta transformaría em elítica a órbita que, nao fósse isso, seria circular. Outros que me- ditaram sobre os problemas do movimento plane- tário propuseram sistemas mecánicos contendo cer- tos aspectos que teriam de aparecer mais tarde na Dinámica newtoniana. Um déles foi Robert Hooke, que muito compreensivelmente pensava que Newton lhe deveria ter dado mais consideradlo do que uma
simples referencia passageira, por ter antecipado partes das leis da Dinámica e da gravitarlo.
Antecipagoes newtonianas
O capítulo principal na descoberta da Mecánica do universo comega com uma linda historia. Ali pelo terceiro quartel do século X V II, um grupo de ho- mens estava táo firmemente interessado no progres- so das novas ciencias matemático-experimentais, que se reuniam para realizar experiencias em conjunto, propor problemas uns aos outros, relatar suas pró- prias pesquisas e as de outros, reveladas por corres pondencia, livros e panfletos. Reuniam-se Robert Hooke, Edmund Halley e Sir Christopher Wren, o mais famoso arquiteto da Inglaterra, para discutir
o seguinte: “ sob que lei de fórga seguiría um pla neta uma órbita elíptica?” Segundo as leis de Kepler — especialmente a terceira, ou lei harmónica, mas também a segunda, ou lei das áreas — era claro que o Sol, de um modo ou de outro, devia con trolar, ou pelo menos afetar o movimento de um planeta, de acórdo com a sua proximidade. Mes- mo que os mecanismos particulares propostos por Kepler tivessem de ser rejeitados, (anima motrix e uma fórga magnética) nao podia haver dúvida de que alguma espécie de interagáo planéta-SoI man- tém em suas órbitas os planetas. Além disso, uma intuigáo mais aguda que a de Kepler sentiría que qualquer fórga emanada do Sol devia expan- dir-se em todas as diregóes a partir daquele corpo, presumivelmente diminuindo, segundo o inverso do quadrado da sua distáncia ao Sol — como a luz diminuí de intensidade em relagáo á distáncia do objeto á fonte luminosa. Dizer porém tudo isto é coisa muito diversa do que o provar matemática mente. Porém tal prova exigiría uma Física com pleta, com métodos matemáticos para solucionar
todos os problemas relacionados e conseqiientes. A o negar apreso a autores que lanqavam afirmaqoes gerais, sem as poderem provar matemáticamente, estava Newton plenamente justificado ao dizer, como o féz a respeito das reinvidicaqóes de Hooke: “ Ora, esta é muito boa! Os matemáticos, que des- cobrem, esabelecem e fazem todo o trabalho, devem contentar-se em ser apenas calculadores secos e escravos; e um outro, que nada faz mas apenas levanta hipóteses sobre todas as coisas, deve rece- ber as glorias da invenqáo, da mesma maneira que os que o seguiram ou antecederam” .
Em todo caso, em janeiro de 1684, Halley tinha concluido que a fórqa que atua sobre os planétas, para os conservar em suas órbitas “ diminuí propor cionalmente aos inversos dos quadrados das distán- cias” ,
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mas nao fóra capaz de deduzir dessa hipótese os movimento observados dos corpos celestes. Quando Wren e Hooke se encontraram no mes seguinte, concordaram com a hipótese de Halley, de uma fór qa solar. Hooke gabou-se “ de que a partir de tal principio todas as leis dos movimentos celestes po- diam ser demonstradas, e que éle próprio o tinha feito” . Mas, a despeito de insistentes reclamaqóes e do oferecimento, por Wren ,de um considerável pré- mio monetário, Hooke nao apresentou uma soluqáo e é de presumir que nao o pudesse fazer. Seis meses mais tarde, em agosto de 1684, Halley decidiu ir a Cambridge a fim de consultar Newton. A o che- gar, soube da “ boa noticia” , de que Newton tinha levado até á perfeiqáo essa demonstraqáo” . Eis aqui um relato, quase contemporáneo, dessa visita:
“ Sem mencionar suas próprias especulares nem as de Hooke e Wren, éle ¡mediatamente indicou o objetivo de sua visita ao perguntar a Newton qual seria a curva descrita pelos planetas na hipótese de que a gravidade diminuísse com o quadrado das dis- táncias. Newton respondeu imediatamente: “ Uma
e l i p s e Tofnado de alegría e espanto, perguntou
Halley como éle o sabia! “ Ora, eu o calculei” , replicou éle. E, sendo-lhe pedido o cálculo, nao con- seguiu encontrá-lo mas prometeu remeté-lo. Depois que Halley deixou Cambridge, tentou Newton re- produzir o cálculo, mas nao conseguiu obter o mes- mo resultado. A o examinar cuidadosamente seu diagrama e cálculos, descobriu que, ao desenhar grosseiramente a elipse com sua própria máo, tinha desenhado os dois eixos da curva, ao invés de dois diámetros conjugados, um tanto inclinados um para o outro. Corrigido éste érro, obteve éle o resultado que tinha anunciado a Halley” .
Espicaqado pela visita de Halley, recomeqou Newton um trabalho sobre assunto que tinha atraí do a sua atenqáo aos vinte anos, quando lanqara os fundamentos de suas outras grandes descobertas científicas: a natureza da luz e da c»r branca e o cálculo integral e diferencial. Éle pos entáo em ordem suas investigaqóes, féz grandes progressos, e no outono désse ano discutiu suas pesquisas numa série de conferéncias que féz na Universidade de Cambridge como exigéncia do seu exercício do ma- gistério. Finalmente, encorajado por Halley, a minuta dessas conferéncias, De motu corporum, transformou-se num dos maiores livros e que exer- ceu maior influéncia que qualquer outro concebido pelo homem. ’ Muitos cientistas fizeram eco ao sen- timento expresso por Halley numa ode que escreveu como prefácio dos Principia de Newton (ou, para
dar o título completo da obra-prima de Newton.
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Os
Principios Matemáticos da Filosofía da Natureza, Londres, 1687) :
Agora, vós que estáis nos longitudes celestes, Vinde celebrar comigo em cantos o nome De Newton, caro as Musas porque
Éle encontrou os ocultos tesouros da verdade, Toloopulentamente Febo langou em sua mente
A radiagao de sua própria divindade.
Mais próximo aos deuses nenhum mortal pode [chegar. Os Principia
Os Principia dividem-se em tres partes ou livros; nós nos concentraremos no primeiro e ter- ceiro. No Livro Primeiro, Newton desenvolve os principios gerais de dinámica dos corpos em movi mento, e no Livro Terceiro éle aplica os principios ao mecanismo do universo. O Livro Segundo trata da mecánica dos fluidos, da teoría das ondas e outros aspectos da Física.
No Livro Primeiro, em seguida ao prefácio, a uma série de definigóes, e a uma discussáo da na tureza do tempo e do espago, apresentou Newton os “ Axiomas, ou Leis do Movimento” .
Primeira Lei
Todo corpo permanece no seu estado de re- pouso, ou de movimento retilíneo uniforme, a menos que seja compelido a modificar ésse es tado por fórgas sobre éle aplicadas.
Segunda Lei
A variagáo do movimento é proporcional á fórga m otril aplicada; e se dá na diregáo da reta ao longo da qual essa fórga é aplicada. Devemos observar que, se um corpo está em “ movimento retilíneo uniforme” , uma fórga em ángulos retos com a diregáo do movimento do corpo nao afetará o movimento para a frente. Isto decor- re do fato de que a aceleragáo se faz sempre na mesma diregáo da fórga que a produz, de maneira que a aceleragáo, neste caso, se faz em ángulos retos com a diregáo do movimento. Assim, na ex periencia do trem de brinquedo do Capítulo 5, a a principal fórga em agáo é a fórga descendente da gravidade, que produz uma aceleragáo vertical. A bola, quer tenha sido lanzada para a frente, quer nao, tem o seu movimento ascendente retardado gra- dativamente até ficar em repouso, depois disso a bola ganha velocidade ou é acelerada na trajetória descen dente.
Uma comparagáo das duas séries de fotografías mostra que os movimentos ascendente e. descenden te sao exatamente os mesmos, esteja o trem em repouso ou em movimento uniforme. Na diregáo horizontal, nao há o efeito do peso ou gravidade, já que esta atua sómente em diregáo vertical. A única fórga horizontal, é a pequeña resultante do atrito com o ar, que é quase desprezível; assim, podemos dizer que na diregáo horizontal nao há fórga em agáo. De acórdo com a primeira lei do movimento de Newton, a bola continuará a mover se para a frente “ com movimento retilíneo unifor- tne” , extamente com faz o trem — fato que se pode verificar examinando a fotografia. A bola permanece acimá dá lócoinotiva, esteja o trarn em repouso ou em moviniento retilíneo uniforme. Esta
lei do movimento é as vézes chamada “ Principio de Inércia” , e a propriedade que tém os corpos mate- riais de continuar num estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme é, algumas vézes conhecida como inércia dos corpos*.
Newton ilustrou a Primeira Lei por meio de re- feréncias a projéteis, que continuam seu movimento para a frente “ desde que nao sejam retardados pela resisténcia do ar, ou impelidos para baixo pela tor ga da gravidade” . Referiu-se éle também aos “ cor- pos maiores, como planétas e cometas” . Nessa única penada Newton estabeleceu um ponto de vista opos- to á Física de Aristóteles. Nesta última, nenhum corpo celeste podía mover-se uniformemente em linha reta, na auséncia de uma fórga, porque isto seria um movimento “ violento” , contrário assim á sua natureza. Nem poderia um objeto terrestre, como vimos, mover-se ao longo da linha reta “ na tural” , sem um agente externo, ou uma fórga motriz interna. Newton, pressentindo uma Física que se aplicasse tanto a objetos terrestres como celestes, afirmou que, na auséncia de uma fórga, os corpos nao fieam necessáriamente imóveis, como supós Aristóteles, mas podem apresentar movimento retí- líneo uniforme. Essa “ indiferenga” de toda espe cie de corpo em relagáo ao repouso ou ao movi mento retilíneo uniforme, na auséncia de uma fórga, é claramente uma forma mais elaborada da afirma- gao de Galileu nos seus Estudos sobre as Manchas
Solares (pág. 129), consistindo a diferenga em que
Galileu, naquele trabalho, escrevia sobre o moví-
(*) A afirmagao mais antiga desta lei foi feita por Rene Descartes em trabalho que nao publicou. Apareceu impressa pela primeira vez num trabalho de Pierre Gassendi. Porém, antes dos
Principia de Newton, náo havia Física inercial completamente
desenvolvida. Nao deixa de ser significativo que ésse livro de Descarte^ fósse baseado no ponto de vista de Copérnico; Descartes o suprimiu ao saber da condenado de Galileu. Gassendi era, do mesmo modo, adepto de Copérnico. Éle fez realmente experiencias com objetas soltos de navios e carruagens em movimento para testar
mentó uniforme ao longo de uma grande superfcie esférica, concéntrica com a Terra.
• Disse Newton, das Leis do movimento, que elas eram "principios no sentido dado pelos matemáticos, e . . . confirmados por um grande número de experiéncias. AfPelas duas primeiras leis e os dois primeiros corolários, Galileu descobriu que a queda dos corpos varia com o quadrado do tempo, e que i o movimento de um projétil tem como trajetória uma parábola^ a experiencia concordando com am bas, excetuadas as discrepancias devidas á resis- téncia do ar” . Os “ dois corolários” tratam dos métodos usados por Galileu e muitos dos seus pre- decessores, para combinar duas fórqas diferentes ou dois movimentos independentes.* Cinqüenta anos após a publicadlo das Duas Novas Ciencias, de Galileu, era difícil para Newton, que já tinha esta b lecid o uma Física inercial, conceber que Galileu, tendo chegado táo próximo do conceito de inércía, nao tenha abandonado completamente a circularida- de e formulado um verdadeiro principio de inercia
r
Newton estava sendo muito generoso para com Galileu porque embora se possa alegar^que Galileu “ em verdade” formulou a lei da inércia, ou Pri- meira lei de Newton, é necessário um grande poder de imaginado para outorgar a Galileu qualquer crédito, relativamente á Segunda Lei. Esta lei tem duas partes. Na segunda parte do enunciado de Newton da Segunda Lei, está dito que a “ variaqáo no movimento” , produzida por uma forqa “ aplica da ou motriz” — seja uma mudanqa na rapidez com que se move o corpo ou uma mudanqa na diregáo do movimento — que tal variaqáo sempre se I dá “ na direqáo da linha reta ao longo da qual a
1 fórqa é aplicada” . Tudo isto está certamente’ im plícito na análise feita por Galileu, do movimento
do projétil, porquanto Galileu admitiu que na dire- qáo horizontal nao havia aceleraqáo, porque nao havia fórqa horizontal, exceto a desprezível aqáo da resistencia do ar; na direqáo vertical porém, há uma aceleraqáo, havendo um aumento continuo na; velocidade da queda pela aqáo da fórqa-péso. Mas a primeira parte da Segunda Lei — que a variaqáo na quantidade de movimento está relacionada com a fórqa motriz — é alguma coisa mais; só um Newton poderia té-la visto nos estudos de Galileu sobre a queda dos corpos. Esta parte da Lei diz que, se um objeto estivesse su jeito á aqáo, primeiro de uma fórqa F x e depois de alguma outra fórqa
F,, as aceleraqóes ou mudanqas produzidas na ve
locidade, A x e Aa, seriam proporcionáis ás fórqas, ou que
Fi A x F i F ¡¡
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Porém, ao analisar a queda, Galileu ocupava-se com uma situaqáo em que só uma fórqa atuava em cada corpo, o seu peso P, e a aceleraqáo por ela pro- duzida era g, a aceleraqáo de um corpo em queda livre.
Enquanto Aristóteles tinha dito que uma fórqa aplicada a um corpo con feria a éste uma velocidade caraterística. dizia agora Newton que uma fórqa dada produz sempre naquele corpo uma aceleraqáo definida A. Para achar a velocidade V, precisamos saber durante quanto tempo T a fórqa atuou,' ou durante quanto tempo o corpo foi acelerado, de modo que a lei de Galileu
V = A T
pudesse ser aplicada.
Neste ponto, tentemos uma experiencia mental, em que admitimos dois cubos de aluminio, um exa-