Dodecaedro
Icosaedro
Fig. 25. Os poliedros regulares. O tetraedro tem quatro faces que sao triángulos equiláteros. O cubo tem seis faces, que sao quadrados. O octaedro tem oito faces cada urna délas um triángulo equilátero. A s doze faces do dodecaedro sao pentágonos regulares. A s vinte faces do icosaedro sáo todas triángulos equiláteros.
traedro, que por sua vez contém a esfera n.° 3. Esta esfera n.° 3 contém o dodecaedro, que contém por sua vez a esfera n.° 4. Ora, acontece que neste esquema os raios das esferas sucessivas estáo mais ou menos na mesma proporqáo que as distancias médias dos planetas no sistema de Copérnico, exceto quanto a Júpiter, o que nao é de surpreender, dizia Kepler, considerando quáo longe está Júpiter do sol. O primeiro esquema de Kepler (Fig. 26) era éste.
Esfera de Saturno
Cubo
Esfera de Júpiter
Esfera de Marte Dodecaedro Esfera da Terra Icosaedro Esfera de Venus Octaedro Esfera de Mercurio
“ Dispus-me a provar” , disse ele, “ que Deus, ao criar o Universo e ao regular a ordem do Cosmos, tinha em vista os corpos regulares da Geometría, tais como sao conhecidos desde os dias de Pitágoras e Platáo, e que ele fixou, de acórdo com aquelas di- mensóes, o número de céus, suas proporqóes, e as relaqóes dos seus movimentos” . Mesmo que ésse livro nao tenha sido suficiente para conseguir éxito sem restrigóes, estabeleceu contudo a reputaqáo de Kepler como inteligente matemático e homem que realmente sabia alguma coisa sobre Astronomia. Com base nessa realizadlo Tycho Brahe ofereceu- lbe um emprégo. ---
Tem-se dito de Tycho Brahe (1546-1601), que foi o reformador da observaqáo astronómica. Usan do instrumentos enormes e bem construidos, tinha de tal modo aumentado a exatidáo das determi n a re s a ólho nu das posiqoes planetárias e das localizares das estrélas, relativamente urnas as outras, que tornou-se claro nao poder o sistema de Ptolomeu nem o de Corpénico explicar os fenóme nos celestes. Além disso, em contraste com os as trónomos anteriores, Tycho nao observava sómente urna vez ou outra os planetas, para fornecer dados a urna teoría ou verificar tal teoría; em vez disso, observava um planeta sempre que éste estivesse vi- sível, noite após noite. Quando Kepler se tornou
Fig. 26. O modelo do universo, de Kepler. Ésse estranho aparelho, consistindo dos cinco sólidos regulares encaixa- dos uns nos outros, era mais caro a seu coragáo do que as tres leis sobre as quais repousa a sua fama. De Christoforus Leibfried (1597).
por fim o sucessor de Tycho, herdou a maior e mais exata colegio de observaqóes planetárias — notadamente para o planeta Marte, até éntáo reu nida. Tycho, devemos recordar, nao acreditava nem no sistema de Ptolomeu, nem no de Corpérnico, mas tinha apresentado um sistema geocéntrico de sua própria invengáo. -4Kepler, fiel á promessa que tinha feito a Tycho, tentou ajustar os dados déste último sobre o planéta Marte ao sistema tychoniano. Falhou, como também falhou ao ajustar os dados ao sistema de Copérnico. Mas vinte e cinco anos de labor produziram urna teoria nova e melhorada do sistema solar-^
Kepler apresentou os seus primeiros grandes re sultados num trabalho intitulado Comentário sobre
os Movimentos de Marte, publicado em 1609, ano
em que pela primeira vez Galileu apontou o seu telescopio para o céu^Kepler tinha feito setenta ten tativas diferentes para ajustar os dados obtidos por Tycho aos epiciclos de Copérnico e aos círculos de Tycho, mas falhava sempre^ Era evidentemente ne- cessário abandonar todos os métodos admitidos de computar as órbitas planetárias, ou rejeitar como inexatas as observares de Tycho. O fracasso de Kepler pode nao parecer já o desalenta dor como ele aparentemente pensava. Após calcular excéntricas, epiciclos e equantes em combinagóes 'íngenhosas, conseguiu éle obter um acórdo entre previsóes teóricas e as observagóes de Tycho com urna diferenga de apenas 8 minutos (8 ') de ángulo. O próprio Copérnico nunca esperava atingir urna aproximagáo superior a 10' e as Tábuas Prussianas, computadas por Reinhold, com base nos métodos de Copérnico, chegavam a se afastar 5o. Em 1609, an tes da aplicacáo do telescopio á Astronomía, nao era grande um ángulo de 8' que é exatamente o dóbro da separagáo mínima que um ólho pode distinguir entre duas estrélas.
Mas Kepler nao era homem para se satisfazer com qualquer aproximado. Acreditava ele no siste ma de Copérnico, centralizado no Sol, e também acreditava na exatidáo das observares de Tycho. Assim, escreveu:
“ Como a bondade divina nos deu em Tycho Brahe um cuidadosíssimo observador, sendo que éste cálculo apresenta o erro de 8' em re- laqáo áquelas observagóes . . . é “ justo que nós reconheqamos com gratidáo ésse dom di vino e usemos esta dáviva de D e u s.. . Porque se eu considerasse os 8' como desprezíveis, ja teria corrigido suficientemente a hipótese... revelada no capítulo X V I. Mas como nao podiam ser desprezados, estes 8' sózinhos mos- traram o caminho para a completa reforma da Astronomía, e se tornaram o objeto de grande parte déste trabalho” .
^Comegando de novo, Kepler deu por fim o passo revolucionário de rejeitar inteiramente os círculos, experimentando uma curva oval, e finalmente a elipse. Para apreciar quao revolucionário era na realidade ésse passo, lembremo-nos de que tanto Aristóteles como Platáo insistiram em que as órbitas planetárias tinham que ser combinadas a partir de círculos, e que éste principio era lugar comum, tanto no Almagesto de Ptolomeu quanto no De
Revolutionibus de Copérnico.^ Galileu, amigo de
Kepler, ignorou polidamente a estranha aberraqao. Mas a vitória final foi de Kepler. Éle nao somente se desembaraqou de círculos inumeráveis, necessitan- do apenas de uma curva oval para cada planeta, co mo tornou preciso o sistema e descobriu uma rela- qáo completamente nova a insuspeitada entre a loca- lizaqáo de um planeta e sua velocidade orbital.
A s Tres Leis
O problema de Kepler nao era sómente deter minar a órbita de Marte, mas achar ao mesmo tempo a órbita da Terra. A razáo é que nossas observa r e s de Marte sao feitas da Terra, que por sua vez nao se move uniformemente num círculo perfei- to, no sistema de Copérnico. Contudo, felizmente a órbita da Terra é quase circular. Kepler afastou a idéia de Copérnico, de que todas as órbitas planetá rias seriam centralizadas no ponto medio da órbita terrestre. Em vez disso, afirmou que a órbita de
cada planeta é em forma de elipse, com o Sol locali zado num dos focos. Éste principio é conhecido
como a primeira lei de Kepler.
A segunda lei de Kepler nos fala da velocidade com que um planeta se move em sua órbita. Afirma esta lei que em quaisquer intervalos iguais de tempo, uma linha tragada do planeta ao Sol varrerá áreas
iguais. A Fig. 27 mostra áreas iguais para tres
P eriélio
Fig. 27. A lei das áreas iguais, de Kepler. Já que um planeta percorre os arcos A B , CD e E F em tempos iguais (porque as áreas S A B , SCD e S B F sao iguais), ele caminha mais depressa no ¡periélio, cfuando está mais próximo do Sol, e mais devagar no afelio, quando está mais afastado do Sol. A forma desta elipse é a da órbita de um cometa. As elipses planetárias sao mais aproximadamente circulares.
J
regióes de uma órbita planetária. Como as trés regióes sombreadas tém áreas iguais, os planetas devem mover-se mais depressa quando mais perto do Sol e mais devagar quando mais longe do Sol. Esta segunda lei nos diz ¿mediatamente que a apa rente irregularidade na velocidade com que os plane tas se movem em suas órbitas é uma variaqáo que obedece a uma condiqáo geométrica simples.
A primeira e segunda leis mostram plenamente como Kepler simplificou o sistema de Copérnico. Mas a terceira lei, também conhecida como lei har mónica, é ainda mais interessante. É chamada lei harmónica porque o seu descobridor pensou que ela traduzisse verdadeira harmonia celeste. Kepler até intitulou o livro em que a anunciou A Harmonia do
Mundo (1619). A terceira lei estabelece uma rela-
gáo entre os tempos em que os planetas completam suas órbitas ao redor do Sol e suas distancias médias ao Sol. Fagamos uma tabela dos períodos ( T ) e distancias médias ( D ). Nessa tabela e no texto seguinte, as distáncias sao dadas em unidades astronómicas. Uma unidade astronómica é, por de-
finigáo, a distáncia média da Terra ao Sol.
M ercu rio V enus T erra M arte Jú p ite r Saturno
Tempo de uma revolu to T (em anos) 0,24 0,615 1,00 1,88 11,68 29,457 Distáncia mé dia ao Sol D (em unid, astronómicas) 0,387 0,723 1,00 1,524 5,203 9,539 Essa tabela nos mostra que nao há nenhuma relagáo simples entre D e 7\ Kepler, portanto, experimentou ver o que acontecería se ele tomasse os quadrados désses valores, D 2 e T2. Éstes podem ser tabulados da seguinte maneira:
Mercurio Venus T erra Marte Júpiter Saturno
T2 0,058 0,38 1,00 3,54 140 868
D 2 0,147 0,528 1,00 2,323 27,071 90,792
Aínda nao se pode discernir nenhuma relaqao entre
D e T2 ou entre D 2 e T, ou mesmo entre D 2 e T2.
O comum dos mortais teria desistido neste ponto. Kepler nao. Táo convencido estava de que estes números deveriam estar relacionados entre si, que nunca desistiría. A potencia seguinte é o cubo. T3 revela-se inútil, mas D 3 fornece os números seguin- tes. Observe-os e volte á tabeela dos quadrados.
Mercurio Venus Terra Marter Júpiter Saturno D 3 0,058 0,38 1,00 3,54 140
868
Aquí estáo portanto as harmonías celestes, a terceira lei que afirma que os quadrados dos tempos de re-volugao de quaisquer dois planetas ao redor do Sol
(a Terra inclusive) sao proporcionáis aos cubos das
suas distancias medias ao Sol.
Em linguagem matemática podemos dizer que
“ T2 é sempre proporcional a D 3” os
l
D 3
--- = K,
J~2
onde K é urna constante. Se adotarmos como uni dades para D e T a unidade astronómica e o ano, entáo K tem como valor numérico a unidade. (Mas se as distancias fóssem medidas em quilómetros e o tempo em segundos, o valor da constante K nao se ria a unidade). Outra maneira de expressar a ter ceira lei de Kepler é
Z V Lh3 Z V
Ti2 T.? 1\2 Ti2
onde D x e Tlt D% e T<¿, . . . , sao as respectivas dis tancias e períodos de revoluqáo de qualquer planeta no sistema solar.
Para vermos como esta lei pode ser aplicada, supo- nhamos que um novo planeta fósse descoberto, a uma distáncia media de 4 UA do Sol. Qual o seu período de revoluqáo? A terceira lei de Kepler nos diz que a razáo D 3/T2 para éste novo planeta deve ser a mesma que a razáo D 03/T02 para a Terra. Isto é, D
3
{ \ U A y T2 (1 ano) 2
Como D = 4 UA, (4 U A ) 3 (1 U A ) 5 T2 (1 ano)2
64 1 T2 (1 ano)2
T2
= 64 X (1 ano) 2
T =8
anosTambém pode ser resolvido o problema inverso. Qual é a distáncia ao Sol, de um planeta que tenha o período de revolugáo de 125 anos?
D 3 ( l U A y
--- = --- t T
2
(1 ano) 2
D 3 ( 1 U A ) 3 T
2
( l a ñ o)2
i • -f ■ ) « ! « «0 I ¿ o
- ¡. Z33
(1 U A)3
125 X 125 (1 ano)2
D 3 = 25 X 25 X 25 X (1) 3
D = 25 UAProblemas semelhantes podem ser resolvidos para qualquer sistema de satélites. A significado desta terceira lei é que ela é urna condiqáo necessária isto é, ela afirma que em qualquer sistema de satélites é impossível estes se moverem com qualquer veloci dade a qualquer distancia. Urna vez escolhida a dis tancia, está determinada a velocidade. No nosso sistema solar esta lei implica em que o Sol fornece a fórqa que governa, que mantém os planetas mo- vendo-se como o fazem. De nenhum outro modo podemos explicar o fato de que a velocidade seja táo precisamente relacionada com a distancia ao Sol. Kepler pensava que a aqáo do Sol era magnética, pelo menos em parte. Era sabido em seus dias que um ímá atrai outro ím i mesmo que distancia con- siderável os separe. Kepler tinha conhecimento de que um físico da Rainha Elizabeth, William Gilbert (1544-1603) tinha mostrado que a Terra é um imenso ímá. Se todos os objetos do sistema solar apresentam mais semelhangas do que diferengas, como mostrou Galileu, por que nao seriam o Sol e os outros planetas ímás como a Terra?
A hipótese de Kepler, por tentadora que seja, nao leva diretamente a explicar porque os planetas se movem em elipses e varrem áreas iguais em tempos iguais. Nem nos diz porque a relaqáo particular distáncia-período, que ele encontrou, realmente se
I-
mantém. Nem parece ela relacionada de modo a1- gum a problemas tais como a queda dos corpos — segundo a lei de Galileu — sobre uma Terra estacionária ou em movimento, visto que a ro cha ou um pedago de madeira comuns nao sao magnéticos. E ainda assim veremos que Newton, que finalmente respondeu a todas estas questóes, baseou suas descobertas ñas leis encontradas por Kepler e Galileu.
Kepler versus adeptos de Copérnico
Por que nao foram universalmente aceitos pelos adeptos de Copérnico os belos resultados de Kepler? Entre o tempo da sua publicagáo (I, II, 1609, III, 1619) e a publicado dos Principia de Newton em 1687, há muito poucas referencias as leis de Kepler. Galileu, que recebeu copia dos livros de Kepler e que estava cíente da proposta das órbitas elípticas, nunca se referiu nos seus escritos científicos a qual- quer das leis de Kepler, se ja para elogiá-las, seja para criticá-las. Em parte, a reaqao de Galileu deve ter sido Coperniciana, prendendo-se á crenga na circularidade, como está implícito no próprio título do livro de Copérnico: Sobre a Revolugao das Es
feras Celestes. Ésse trabalho comega com um teo rema : 1. O Universo é esférico. Os argumentos
de Copérnico eram dados no fim do último capítulo A isto se segue a discussáo do tópico “ O movimento dos corpos celestes é uniforme, circular e perpétuo, ou composto de movimentos circulares” . O argu mento principal é o seguinte:
“ A rotagáo é o movimento natural de uma esfera e, por ésse próprio ato, sua forma é ex- pressa. Pois aqui nos ocupamos com a forma mais simples de corpo, no qual nem comégo nem fim podemos distinguir, nem se ele gira
sempre no mesmo lugar, podemos distinguir um do outro.
“ Devemos concluir (a despeito de quaisquer irregularidades aparentemente observadas, tais como movimento retrógrado dos planetas) que os movimentos désses corpos sao sempre cir culares ou compostos de círculos. As pró- prias irregularidades estáo sujeitas a urna lei determinada e aparecem a intervalos de tempo regulares, e isto nao poderia acontecer se os movimentos nao fóssem circulares, porque sómente descreyendo um círculo pode um cor- po retornar ao lugar de onde partira. Assim, o Sol, por urna composigáo de movimen tos circulares, mantém sempre repetidos, os dias e as noites e as quatro estaqóes do ano” .
Portanto, Kepler procedía de maneira notoria mente náo-Coperniciana, nao admitindo que as ór bitas planetárias fóssem ou “ círculos” , ou “ compos tas de círculos” ; além disso, chegou á sua conclusáo, em parte pela reintrodugáo de um aspecto da Astro nomía de Ptolomeu fortemente impugnado por Co pérnico, o equante. Dizia Kepler que urna linha pas- sando por qualquer planeta e pelo foco da sua elipse nao ocupado pelo Sol (Fig. 28) gira uniformemen te, ou que tal linha varreria ángulos iguais em tem pos iguais porque ésse outro foco é o equante. (P o demos observar, a título de inform ado, que esta úl tima “ descoberta” de Kepler nao é verdadeira).
De todos os pontos de vista, as elipses devem ter parecido contestáveis. Que espécie de fórqa poderia agir sobre um planeta ao longo de urna trajetória elí- tica, de modo que a varia<jao conveniente de velocida de seja a exigida pela lei das áreas? Nao reprodu- ziremos a discussáo de Kepler sobre éste ponto, mas
Fig. 28. A lei do equante, de Kepler. Se um planeta se move de tal maneira que em tempos iguais varre ángulos iguais, relativamente ao foco F nao ocupado pelo Sol
/*S /-S
ele percorrerá os arcos A B e CD em tempos iguais, porque os ángulos a e P sao iguais. De acórdo com esta lei, o planeta se move mais rápidamente ao longo do arco
A B (em periélio) do que ao longo do arco CD (em afélio),
como prevé a lei das áreas iguais. Nao obstante, esta lei é falsa.
limitaremos nossa atengáo a um de seus aspectos.
Kepler supunha que alguma especie de fórqa ou e- . manaqáo provinha do Sol e movia os planetas. “ Es- sa fórqa algumas vézes chamada anima motrix — nao agiría em todas as direqóes, a partir do Sol. Qual o motivo? Antes de tudo sua funqao é mover os planetas, e os planetas se situam todos quase num único plano, o plano da eclílica. Sendo assim, supós Kepler que essa anima motrix agisse sómente no
plano de.eclítica. Kepler tinha descoberto que a luz, 1 que se propaga em todas as direqóes, diminuí em
intensidade na razao inversa do quadrado da distán cia, isto é, se há certa intensidade ou brilho a tres metros de uma lámpada, o brilho a seis metros de distáncia é um quarto do primeiro, porque qua tro é o quadrado de dois, e a nova distáncia é duas 4
intensidade « ---
1
(distancia)2
Kepler sustentava que a fórqa solar nao se propaga em todas as diregóes, de acórdo com a lei do inver so do quadrado da distancia, como o faz a luz solar,
mas sómente no plano da eclitica, segundo lei intei- v ramente diversa. É desta suposigáo duplamente er
rónea que Kepler deduziu sua lei das áreas — e isto
antes de descobrir que as órbitas plentárias sao elip
ses! A diferenqa entre o processo de Kepler e o que nós consideraríamos “ lógico” , é que Kepler nao achou em primeiro lugar a verdadeira trajetória de Marte ao redor do Sol, para entáo computar sua ve- ( locidade em termos da área varrida por um segmen
to de reta que vai do Sol a Marte. Éste é apenas um exemplo da dificuldade em seguir Kepler atra- vés do seu livro sobre Marte.
A Contrihuigdo de Kepler
Galileu tinha particular aversáo á idéia de que emanagóes solares ou fórqas misteriosas, agindo á distancia, poderiam afetar a Terra ou” qualquer de suas partes. Éle nao apenas rejeitou a sugestáo de Kepler, de que o Sol podia ser a origem de urna fórga de atraqáo, que movia a Terra e os planetas (na qual se baseavam as duas primeiras leis de Ke pler), mas especialmente repeliu a sugestáo déste último, segundo a qual urna fórga ou emanagáo li near poderia causar as marés. Assim, escreveu éle:
“ Mas entre todos os grandes homens que tém filosofado sobre éste notável efeito, mais ; me admira Kepler do que qualquer outro. A
despeito de sua mente aberta e aguda, e embo-
ra tenha na ponta dos dedos os movimentos atribuidos á Terra, nao obstante deu ouvidos e o seu assentimento ao dominio da Lúa sobre as águas, e propriedades ocultas e outras pue rilidades” .
Quanto á lei harmónica, ou terceira lei, podemos perguntar através da voz de Galileu e seus contem poráneos: Isto é ciencia ou numerologia? Kepler já se tinha comprometido em obra impressa, com a crenqa de que o telescopio havia de revelar nao só os quatro satélites de Júpiter, descobertos por Gali leu, como dois de Marte e oito de Saturno. A ra záo para ésses números particulares de satélites era a crenqa entáo existente de que o número de saté lites por planéta deveria crescer segundo uma progressáo geométrica um (para a Terra), dois (para Marte, quatro (para Júpiter), oito (para Saturno). Nao era a relaqáo de Kepler, distan cia-período, digamos assim, muito mais uma pres- tidigitagáo numérica do que ciencia? E nao era prova do aspecto nao científico de todo o livro de Kepler a maneira como ele tentou acomodar os aspectos numéricos dos movimentos e localizares dos planetas dentro das questóes colocadas no ín dice do Livro Quinto da sua Harmonia do Mundo ?
“ 1. Sobre os cinco sólidos geométricos regu lares.
2. Sobre a relaqáo entre éles e as razóes harmó nicas.
3. Sumario da doutrina astronómica necessária para a especuladlo sobre as harmonías celes tes.
4. Em que coisas pertinentes aos movimentos planetários foram expressas consonancias simples e sobre o fato de que todas as con- sonáncias musicais sao encontradas nos céus.
5. Que as chaves da escala musical, ou os tons do sistema, e os géneros de consonancia, maior e menor, estao expressos em certos movimentos.
6
. Que os Tons ou Modos musicais estao, de certo modo, expressos pelos planétas. 7. Que os contrapontos ou harmonías univer-sais de todos os planétas podem existir e