Nesta subsec¸˜ao consideramos poss´ıveis aplicac¸˜oes da abordagem de Willems para sistemas dinˆamicos e o conceito de dinˆamica simb´olica. Observamos que ao interpretarmos problemas das mais diver- sas matizes empregando os conceitos de sistema dinˆamico apresentados aqui, podemos estabelecer relac¸˜oes entre estruturas antes consideradas distintas, e apreciar poss´ıveis aplicac¸˜oes para conceitos at´e ent˜ao restritos a ´areas espec´ıficas da f´ısica ou matem´atica.
A Dinˆamica de C´odigos sobre Grupos
Empregando a abordagem de Willems, ´e poss´ıvel especificar propriedades, parˆametros e relac¸˜oes em comum a diversas estruturas t´ıpicas da teoria de c´odigos [2]. De outra forma, todo c´odigo linear convencional (bloco, convolucional, reticulado, ou trelic¸a) ´e um c´odigo sobre grupo. Al´em disso, a maioria dos bons c´odigos geometricamente uniformes s˜ao gerados por c´odigos sobre grupo.
Definic¸ ˜ao 7. Um espac¸o de sequˆencias sobre grupo ´e um grupo gerado por produto direto W = Πk∈IGk, onde o eixoI ´e qualquer subconjunto de Z, e o alfabeto de s´ımbolos Gk, k ∈ I, s˜ao grupos arbitr´arios. Um c´odigo sobre grupo ou sistema sobre grupo, ´e qualquer subgrupoC de um espac¸o de sequˆencias sobre grupo. Se todos os s´ımbolos dos alfabetos Gk s˜ao iguais ao de um grupo comum G, ent˜ao o espac¸o de sequˆencias ´e denotado por W = GI, eC ´e chamado de um c´odigo sobre grupo
sobreG definido em I.
A partir da Definic¸˜ao 7, os conceitos e m´etodos de representac¸˜ao abordados nas Sec¸˜oes 2.1, 2.2 e 2.3 s˜ao estendidos `a teoria de c´odigos. Em particular, como observado em [2], um c´odigo sobre grupo C s´o poder´a ser completamente caracterizado ou gerado por sua trelic¸a (igual a todas as sequˆencias geradas por caminhos na trelic¸a), seC for completo. Caso contr´ario, dada a trelic¸a de um c´odigo C incompleto, ser´a necess´ario uma especificac¸˜ao adicional paraC atrav´es de restric¸˜oes globais.
Em particular, quando C for completo, podemos interpreta-lo como um ssf, agregando a sua estrutura elementos de topologia, que como demonstrado no Cap´ıtulo 3, permite-nos abordar o pro-
2.5 A Dinˆamica Simb´olica dos Sistemas Dinˆamicos 35
blema de gerac¸˜ao de c´odigos e codificac¸˜ao por uma perspectiva combinatorial, empregando teoria de linguagens formais e conceitos alg´ebricos mais gerais que o de grupo.
Imagens Simb´olicas de Sistemas Dinˆamicos
Ao considerarmos sistemas dinˆamicos determinados por difeomorfismos, ´e poss´ıvel estabelecer uma clara relac¸˜ao entre sistemas discretos e cont´ınuos. Sendo poss´ıvel derivar dos sistemas cont´ınuos os discretos, como tamb´em determinar o sistema cont´ınuo a partir do discreto, empregando uma correspondˆencia natural entre as ´orbitas destes sistemas [11].
Uma forma natural de estabelecermos uma relac¸˜ao entre um sistema cont´ınuo e um correspon- dente discreto dar-se-a pela determinac¸˜ao de uma imagem simb´olica, podendo ser considerada como uma aproximac¸˜ao finita de um homeomorfismof : M → M definido sobre uma variedade cont´ınua compacta M. A ideia ´e estabelecer um cobertura finita C = {M(1), . . . , M(n)} de M, onde os M(i) s˜ao conjuntos fechados chamados de c´elulas. Para cada c´elula M(i) estabelece-se a imagem f (M(i)), para a qual ´e estabelecida uma cobertura C(i) composta pelas c´elulas M(j) ∈ C que pos- suem intersec¸˜ao n˜ao vazia comf (M(i)), ou seja, C(i) ={M(j) : M(j) ∩ f(M(i)) 6= ∅}. Portanto, as c´elulas de C(i) s˜ao chamadas de imagens de M(i) por f . Considerando o conjunto de ´ındices c(i) ={j : M(j) ∩ f(M(i)) 6= ∅}, podemos definir um grafo direcionado G composto por v´ertices {i} associados naturalmente as c´elulas {M(i)}. Dois v´ertices i e j de G s˜ao conectados por um ramo i→ j se, e somente se, j ∈ c(i), i.e., a c´elula M(j) est´a contida na cobertura de f(M(i)).
Fica claro que uma imagem simb´olica ´e uma aproximac¸˜ao do sistema cont´ınuo e que n˜ao ´e ´unica, podendo ser considerada como uma quantizac¸˜ao do sistema. De fato, existem ferramentas que permi- tem o refinamento progressivo e controlado (com relac¸˜ao a evoluc¸˜ao da complexidade das sucessivas imagens) de uma imagem simb´olica, de forma a aproximar seu comportamento daquele do sistema cont´ınuo [11]. Tais representac¸˜oes constituem uma ferramenta valiosa na an´alise de sistemas reais, n˜ao s´o pela relac¸˜ao que h´a entre as ´orbitas dos sistemas cont´ınuos e caminhos emG, mas tamb´em por que constituem um meio de determinar-se informac¸˜oes sobre a estrutura global de um sistema, como a entropia e o expoente de Lyapunov. No presente contexto, as imagens simb´olicas s˜ao sistemas dinˆamicos intrinsecamente relacionados a abordagem de Willems, cuja completude decorre direta- mente do m´etodo de construc¸˜ao, portanto, imagens simb´olicas s˜ao exemplos de sistemas simb´olicos fechados.
Particionamento Markoviano
O processo de expans˜ao n-´ario dos reais ´e o mais simples exemplo de m´etodos de representac¸˜ao simb´olica de ´orbitas de sistemas dinˆamicos. Estes m´etodos se baseiam na representac¸˜ao das ´orbitas
de um sistema dinˆamico por sequˆencias de s´ımbolos determinados por um particionamento adequado do dom´ınio do sistema. Particionamentos Markovianos constituem uma forma de obter-se sequˆencias de s´ımbolos ´uteis para representac¸˜ao de ´orbitas do sistema, ou seja, que refletem caracter´ısticas glo- bais do sistema dinˆamico [12]. De fato, particionamentos Markovianos s˜ao um tipo de particiona- mento topol´ogico, contudo satisfazem uma condic¸˜ao de necessidade relacionada ao comportamento de um sistema dinˆamico espec´ıfico, ou seja, entende-se que um particionamento Markoviano est´a relacionado a um sistema dinˆamico subjacente.
Uma fam´ılia finita de conjuntosR = {R0, R1, . . . , RN −1} ´e dito um particionamento topol´ogico para um espac¸o compactoX se satisfaz as seguintes condic¸˜oes.
1. cadaRi ´e aberto; 2. Ri∩ Rj =∅, i 6= j; 3. X = R0∪ R1∪ · · · RN −1.
Se X ´e o dom´ınio de um sistema dinˆamico especificado por (X, φ), a partic¸˜ao R ´e dita gerador8
Markoviano se a condic¸˜ao (2.23) ´e satisfeita.
Rsk ∩ φ −1R sk+1 6= ∅, 1 ≤ k ≤ n − 1 ⇒ n \ k=1 φ−kRsk 6= ∅. (2.23)
ParaR um gerador Markoviano e (X, φ) um sistema dinˆamico expansivo, podemos representar sua dinˆamica por um ssf determinado por um grafoG com v´erticesA = {0, 1, . . . , N −1} e uma transic¸˜ao do v´ertice i para o v´ertice j sempre que Ri ∩ φ−1Rsn 6= ∅. Novamente um ssf ´e empregado como
representac¸˜ao simb´olica do comportamento de um sistema dinˆamico. No Cap´ıtulo 5 consideraremos o m´etodo de codificac¸˜ao do fluxo geod´esico de Artin, que ´e um caso concreto onde esse m´etodo de representac¸˜ao simb´olica ´e utilizado.
8A definic¸˜ao de uma partic¸˜ao topol´ogica que ´e um gerador, est´a fora do escopo desse trabalho, mas pode ser encontrada
Cap´ıtulo 3
Dinˆamica Simb´olica e Autˆomatos
Neste cap´ıtulo mostraremos como as propriedades topol´ogicas, descritas na Sec¸˜ao 2.4, inerentes a um ssf X devem ser utilizados para determinac¸˜ao de uma representac¸˜ao combinatorial de X pelo emprego de conceito t´ıpicos de linguagem formal. Identificaremos as propriedades das linguagens associadas aX, empregando-as para a determinac¸˜ao de leis de evoluc¸˜ao e grafos direcionados finitos associados (quando a linguagem de X for regular) que apresentem as sequˆencias bi-infinitas deX. Estes resultados s˜ao obtidos pela introduc¸˜ao dos conceitos de conjuntos proibidos e conjunto de restric¸˜oes irredut´ıveis, que ainda nos possibilitam especificar procedimentos que permitem identificar a estrutura alg´ebrica associada `a linguagem deX.
Como consequˆencia das propriedades de um sistema simb´olico fechado X ⊆ AZ
, assim como para os sistemas de eventos discretos abordados na Sec¸˜ao 2.3.4, podemos determina-lo a partir de um subconjunto do monoide livreA∗1, ou seja, a partir de uma linguagem que especifique-o unicamente. Para tanto, inicialmente, vamos definir o conjunto cilindro CAZ
k (u), como sendo o subconjunto de A∗ formado pelos pontos x para os quais u ´e um fator iniciando na coordenada k, i.e., CAZ
k (u) =
{ x ∈ X| u = x|[k,k+|u|−1]}. ComoX ´e um conjunto fechado, ent˜ao seu complemento em relac¸˜ao a A∗ ´e aberto, ou seja, o conjuntoA∗\X. Portanto, para todoy ∈ AZ
\Xexistek = k(y), tal que, se uy = y|[−k,k]observa-seCA
Z
−k(uy) ⊆ AZ\X. Podendo-se verificar queCA
Z
−k(uy) = B2−(k−1)(y), onde
B2−(k−1)(y) ´e a bola aberta de raio 2−(k−1) em torno dey. Segue disto que o conjunto F = {uy| y ∈
AZ
\X} ´e suficiente para determinarX. SendoXo conjunto de todas as sequˆencias em AZ que n˜ao possuem fatores em F. Para verificar esta afirmac¸˜ao, suponha que para um dadouy ∈ F existe x ∈X satisfazendouy = x|[i,j], ent˜aoσ(i+k)(x)∈ CA
Z
−k(uy), o que ´e uma contradic¸˜ao, j´a que X´e invariante por deslocamento.
Assim, podemos especificar Xcomo o conjunto de sequˆencias em AZ que n˜ao possuem fatores em F, ou seja, para quaisquer inteirosi ≤ j temos que x|[i,j] ∈ F. O que nos permite especificar a/
1Conjunto de todas as sequˆencias poss´ıveis com elementos em
A, incluindo a de comprimento zero ε.
linguagem deX; se Bn(X) ´e o conjunto de todas as sequˆencias de comprimento n que s˜ao fatores de algum elemento deX, ent˜ao a linguagem de X ´e dada por B(X) = S∞
n=0Bn(X). Desta forma, po- demos empregar m´etodos complementares para determinarmos se uma sequˆencia bi-infinita pertence aX, o que ocorre se nenhum de seus fatores pertencem a F ou, equivalentemente, se todos os seus fatores pertencem a B(X).
Da Sec¸˜ao 3.1 at´e a Sec¸˜ao 3.7, seguimos a abordagem apresentada em [13, 14] para apresentar os conceitos de semigrupo, linguagem, autˆomato e monoide sint´atico. O motivo da escolha desta abordagem, deve-se a estreita relac¸˜ao que ela guarda com elementos t´ıpicos da teoria de sistemas dinˆamicos e estruturas alg´ebricas. Como exemplo, quando faz-se uso da ac¸˜ao das func¸˜oes parciais definidas sobre v´ertices do autˆomato minimal associado a uma linguagem qualquer L para definir o monoide sint´atico associado a L, ver Sec¸˜ao 3.6. Como alternativa, os mesmos conceitos podem ser apresentados atrav´es de uma perspectiva essencialmente de teoria da computac¸˜ao [15, 16, 17]. Na Sec¸˜ao 3.8 s˜ao apresentados alguns conceitos necess´arios ao estudo das linguagens dos sistemas simb´olicos fechados. Nas demais sec¸˜oes apresentamos uma s´erie de novos conceitos e resultados, como tamb´em algumas conclus˜oes e m´etodos derivados destes.
3.1
Monoide e Semigrupo
O conceito de linguagem est´a intrinsecamente relacionado com a estrutura alg´ebrica de monoide. Esta ´ultima relacionada com a ac¸˜ao de uma func¸˜ao parcial definida sobre os estados de uma m´aquina de estados representando a linguagem (autˆomato). Este monoide incorpora uma estrutura alg´ebrica ao estudo de linguagens formais.
De forma geral, o conceito de monoide ´e decorrente daquela de semigrupo definido como um conjuntoS juntamente com uma operac¸˜ao bin´aria “·” (comumente omitida nas express˜oes), satisfa- zendo as propriedades de fechamento e associatividade. Ou seja, para todoa, b, c ∈ S s˜ao satisfeitas as relac¸˜oes (3.1).
ab∈ S fechamento
(ab)c = a(bc) associatividade (3.1)
Rigorosamente um semigrupo ´e representado como o par(S,·), deixando claro a existˆencia de um conjunto e uma operac¸˜ao, no entanto, ´e comum referir-se a um semigrupo pelo conjunto que o comp˜oe. O monoide surge como um caso particular de um semigrupo, importante em diversas aplicac¸˜oes deste conceito. Tamb´em conhecido como um semigrupo com identidade, um monoide possui um elemento 1, chamado de identidade, satisfazendo a relac¸˜ao (3.2).
3.1 Monoide e Semigrupo 39
Supor a existˆencia de dois elementos identidade 1, 1′em um monoideS implica que 1 = 11′ = 1′ j´a que 1 ´e uma identidade, conclui-se que s´o h´a um elemento identidade em um monoide.
SejamM, M′dois monoides, um morfismoϕ : M → M′ ´e uma func¸˜ao satisfazendo as condic¸˜oes:
ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀ a, b ∈ M (3.3)
ϕ(1M) = 1M′ (3.4)
onde 1M, 1M′ s˜ao os elementos identidade de M, M′ respectivamente, ambos sendo representados
por 1 quando n˜ao h´a confus˜ao. A composic¸˜ao de dois morfismos
M −→ Mϕ ′ ϕ
′
−→ M′′ tamb´em ´e um morfismo
M ϕϕ
′
−→ M′′.
Dados dois subconjuntosX, Y de um monoide M, o conjunto XY ´e definido por XY ={xy| x ∈ X, y ∈ Y }.
Um sub-monoideT de um monoide M ´e um subconjunto de M tal que 1∈ T and T2 ⊂ T,
ondeT2 = T T . Em geral, tem-se T0 = 1 e Tn+1 = (Tn)T . Portanto, para qualquer subconjunto A de um monoideM, o conjunto
A∗ = 1∪ A ∪ A2∪ . . . ∪ An∪ . . . ´e um sub-monoide deM e ´e o menor sub-monoide de M contendo A.
Um exemplo de um monoide ´e o conjuntoFX de todas as func¸˜oes sobre um conjuntoX. Como um sub-monoide, podemos citar o subconjunto deFX cujas func¸˜oes s˜ao bijec¸˜oes, sendo este subconjunto um grupo. QuandoX ´e finito, este sub-monoide ´e o grupo de permutac¸˜ao de X.
Um monoide de maior importˆancia para os objetivos deste texto ´e o monoide livre. Dado qualquer conjunto A, o monoide livre A∗ com baseA ´e definido como o conjunto de todas as n-uplas s = (a1, . . . , an), n ≥ 0, formadas por elementos em A. O inteiro n ´e chamado de comprimento de s sendo denotado por|s|. Se t = (b1, . . . , bm) ´e outro elemento deA∗, o produtost ´e uma justaposic¸˜ao,
i.e.,
st = (a1, . . . , an, b1, . . . , bm).
O que acarreta no elemento identidade1 = ( ). A operac¸˜ao de justaposic¸˜ao, ou concatenac¸˜ao, pode ser explicitada pors· t. Pode-se verificar que |st| = |s| + |t| and |1| = 0. Para simplificar a notac¸˜ao, os parˆenteses e v´ırgulas s˜ao suprimidos. Logo, emprega-se s = a1a2. . . an como substituic¸˜ao a s = (a1, a2, . . . , an) para n > 0. Como consequˆencia dessa notac¸˜ao, o elemento s ´e chamado uma
palavra de comprimenton, enquanto a∈ A ´e chamado uma letra, e A o alfabeto.
Uma propriedade b´asica de um monoide livre A∗ ´e que qualquer func¸˜aoα :A → M, onde M ´e um monoide, admite uma ´unica extens˜ao para um morfismoα : A∗ → M. A respectiva prova segue por induc¸˜ao. Sejaβ outra extens˜ao para um morfismo de α, tal que β(w) = α(w) para todo w∈ A∗ e|w| ≤ n para algum inteiro positivo n. Como ambos β e α s˜ao extens˜oes de α ent˜ao β(a) = α(a) para todoa ∈ A, ou w tal que |w| = 1. A partir da definic¸˜ao de um morfismo, β(1) = α(1) = 1. Agora, sejaw = uv e 0 ≤ |u|, |v| ≤ n, ent˜ao β(uv) = β(u)β(v) = α(u)α(v) = α(uv), do que conclui-se que h´a uma ´unica extens˜ao deα para um morfismo.
Sejas ∈ A∗. Um elementot∈ A∗ ´e um segmento ou fator des se s = utv para algum u, v ∈ A∗. Seu = 1 ent˜ao t ´e um prefixo, se v = 1 ent˜ao t ´e um sufixo.
Seja f : A∗ → B∗ um morfismo de um monoide livre com base A para um monoide livre com baseB, respectivamente. Como f admite uma ´unica extens˜ao, este morfismo ´e completamente determinado pelos elementosf (a) ∈ A∗ para todoa ∈ A. Se f(a) ∈ 1 ∪ B para todo a ∈ A, ent˜ao f ´e chamado morfismo fino; em um morfismo fino letras deA s˜ao mapeadas em letras de B ou em 1. Sef (a) ∈ B para todo a ∈ A, ent˜ao f ´e dito muito fino.
Considerando a estrutura alg´ebrica dos semigrupos. Como especificado anteriormente, semi- grupos s˜ao uma estrutura alg´ebrica mais geral que monoide, pois ao contr´ario deste n˜ao requer a existˆencia de um elemento identidade. Logo, todo monoide ´e um semigrupo, enquanto a implicac¸˜ao reversa n˜ao ´e verdadeira.
SeA ´e um subconjunto de um semigrupo S ent˜ao
A+ =A ∪ A2∪ . . . ∪ An∪ . . . ´e o menor semigrupo deS contendoA. Em particular
A+ =A∗\{1},
i.e., A+ ´e formado por todas as palavras de comprimento estritamente positivo. A notac¸˜ao de um morfismo para um semigrupo ´e definido como aquela para um monoide, contudo sem requerer (3.4).