Entropia Topológica - Estrutura e Entropia do SFT Inerente ao Código Aritmético

5.5 Estrutura e Entropia do SFT Inerente ao C´odigo Aritm´etico

5.5.3 Entropia Topol´ogica

Em processos de codificação de fonte e codificação conjunta, a entropia topológica das palavras ou sequências código é de suma importância, pois representa a quantidade de informação que pode ser codificada através dessas. A seguir definiremos esse parâmetro para Xg, iniciando com alguns conceitos necessários sobre grafos direcionados. Como na Seção 5.5.2, o valor obtido é uma função do gênero da superf´ıcie associada a região fundamental.

Grafos Direcionados

Um grafoG = (_{V, E) é definido por um conjunto finito de vértices V e um conjunto finito de ramos} E, tal que, para todo ramo e ∈ E é associado um estado inicial i(e) e um estado terminal t(e). Um

caminhoπ em G é um conjunto de ramos consecutivos, ou seja, se π = e1. . . enentão t(ei) = i(ei+1) para1 _{≤ i < n. Um grafo rotulado é um par G = (G, L) tal que G e um grafo e L : E → A é a}

função de rotulação onde _{A é um conjunto finito chamado de alfabeto. Um grafo rotulado G é} determin´ıstico se para qualquere1, e2 ∈ E satisfazendo i(e1) = i(e1) entãoL(e1)6= L(e2). Um grafo G pode ser considerado um grafo rotulado ao considerarmosL igual a função identidade. Seja Aij igual ao número de ramos emG com estado inicial i e estado terminal j, para qualquer i, j ∈ V. A

matriz adjacência deG é A = [Aij]. A matriz adjacência associada ao grafo G é denotada por AG. Para um grafo rotulado G = (G,_{L), a matriz adjacência é denotada por A}G = AG. Um ssr XG é determinado pela leitura dos rótulos de ramos consecutivos em um grafo rotulado G. Neste caso G é uma representação deXG. Para um SFT com memória um, ou seja, que pode ser determinado por um conjunto F de palavras proibidas de comprimento dois, há um procedimento simplificado para a determinação de uma representação G = (G,_{L). Um grafo inicial G = (V, E) é especificado que} satisfaça_{V = A e E = {ij ∈ A × A| ij /}_{∈ F}, tal que i(ij) = i e t(ij) = j, com função rotulação} especificada por_{L(ij) = j para todo ij ∈ E [18].}

Entropia topol´ogica deXg

Uma apresentação GXg = (G,LXg) do código do fluxo geodésico possui o grafo G como dado em

5.5 Estrutura e Entropia do SFT Inerente ao C´odigo Aritm´etico 131

função de rotulação é dada por_LX(ikil) = ilpara todoikil ∈ E.

G :    V = {ik| 1 ≤ i ≤ 8g − 4 and k ∈ {1, 2}}; E = {ikil| ikil ∈ P for 1 ≤ i, j ≤ 8g − 4 and k, l ∈ {1, 2}}. (5.4)

Empregamos a simetria de GXg para determinar dois outros grafos rotulados com a mesma entropia to-

pológica deXg, no entanto que permitam a obtenção de expressões algébricas para essa. Inicialmente, G_Y= (G,_LY) possui o mesmo grafo G que GXg e função de rotulação dada em (5.5).

               LY(i2(σ(i) + 2)2) = b1, LY(i2(σ(i) + 3)2) = b2, . . . , LY(i2(σ(i)− 2)2) = b(k−3); LY(i2(σ(i) + 3)1) = c1, . . . ,LY(i2(σ(i)− 2)1) = c(k−4); LY(i1(σ(i) + 1)2) = d1, LY(i1(σ(i) + 2)1) = a1. (5.5)

O outro grafo rotulado GZ = (GZ,LZ) possui o grafo GZcomo especificado em (5.6), ondek = 8g−4

e_LZ ´e a identidade. GZ :    VZ ={1, 2}; EZ ={a1} ∪ {d1} ∪ {c1, . . . , c(k−4)} ∪ {b1, . . . b(k−3)}, (5.6) tal que   

t_(a₁_{) = i(a}₁_{) = 1, e t(b}_l_{) = i(b}_l_{) = 2 para 1}_{≤ l ≤ (k − 3);} i_(d₁_{) = 1, t(d}₁_{) = 2, e i(c}_t_{) = 2, t(c}_t_{) = 1 para 1}_{≤ t ≤ (k − 4).}

(5.7)

Lema 77. Os grafos rotulados GYe GZ são apresentações do mesmo ssr, ou seja, B(Y) = B(Z).

Demonstração: A partir das definições de GY e GX, para qualquer i ∈ {1, . . . , 8g − 4} e n, m ∈

{1, 2}, h´a um caminho π em GY satisfazendoLY(π) = w, i(π) = in e t(π) = im se, e somente se, h´a um caminho̟ em GZ satisfazendoLZ(̟) = n, i(̟) = n e t(̟) = m, ou seja, sempre que os

caminhos possuem comprimento_{|π| = |̟| = 1.}

Empregando um racioc´ınio indutivo, suponhamos que a observação acima seja verificada sempre que os comprimentos _{|π| = |̟| = n sejam menores ou iguais a um inteiro positivo n. A seguir} demonstraremos que ela também é verificada quando_{|π| = |̟| = n + 1.}

Suponha que πe ´e um caminho em GY satisfazendoLY(πe) = LY(π)LY(e) = wa para e ∈ EY,

i_{(π) = i}_n _{e t(π) = i}_m_{. Seguindo da hipótese indutiva que há um caminho} _̟ _{∈ G}_Z _satisfazendo |̟| = |π|, LZ(̟) = w, i(̟) = n e t(̟) = m. Além disso, há um caminho f em GZ satisfazendo

|f| = 1, LZ(f ) = LY(e) = a e i(f ) = m, al´em do que t(f ) = p se, e somente se, t(e) = ip. Dessa forma,_{L(̟f) = wa e, portanto, B(}Y) _{⊆ B(}Z). De forma similar, pode ser demonstrado que

B(Z)_{⊆ B(}Y).

Para a demonstração do Teorema 80 são necessários alguns resultados a cerca da entropia de grafos direcionados e dos grafos rotulados associados. Para nossos fins, a Proposição 78 e a Proposição 79 são necessários. Esses resultados fazem parte do cap´ıtulo sobre entropia de [18], onde são apresen- tados diversos resultados sobre a determinação dessa para um ssr. Entre os resultados mais relevan- tes, por tratar da determinação do autovalor de matrizes não negativas, podemos citar o teorema de Perron-Frobenius, do qual decorre a Proposição 79.

Proposição 78. [18] Seja G= (G,_{L) um grafo rotulado determin´ıstico. Então h(}XG) = h(XG).

Proposição 79. [18] SejaG um grafo com matriz adjacência A. Então h(XG) = log λA, ondeλA é o

maior autovalor deA.

Teorema 80. A entropia topológica do código Xg está relacionada com a região fundamental Πg

atrav´es do gˆenero da superf´ıcie associada, sendo dada por

h(X) = log "

(4g_{− 3) +}p(4g − 3)2_{− 1} #

(5.8)

Demonstração: Como os grafos rotulados GX e GY são determinados a partir do mesmo grafoG,

e são ambos determin´ısticos, segue da Proposição 78 que h(X) = h(Y). Do Lema 77, já sabemos queh(Y) = h(Z). Portanto, da Proposição 79 podemos aplicar a matriz adjacência AGZ de GZ para

determinar a entropia topol´ogica deX. ComoAGZ possui ordem dois, independentemente da regi˜ao

empregada na codificação Πg, com entradas só dependendo do gênero g, temos como determinar uma equação algébrica parah(Z) e, consequentemente, teremos uma equação algébrica para h(X). A partir de (5.6) e (5.7), a matriz adjacência associadaAG_Z é dada por (5.9).

AGY = " 1 1 8g− 8 8g − 7 # (5.9)

O maior autovalorλAG_Y deAGY ´e igual a maior raiz do polinˆomio caracter´ıstico λ

2_{+ λ (6}_{− 8g) + 1} deAGY. Assim, λAG_Y = (8g− 6) +p(6 − 8g)2_{− 4} 2 = (4g− 3) +p(4g − 3) 2_{− 1.}

Cap´ıtulo 6

Representação de Códigos Geodésicos

No Cap´ıtulo 5 abordamos os métodos de codificação do fluxo geodésico. Dois métodos foram considerados, um que captura a topologia da superf´ıcie da qual o fluxo geodésico é codificado, denominado geométrico. O outro, baseado em métodos de expansão dos pontos em∂D2_{, emprega mapeamentos} Markovianos, sendo denominado aritmético. Para nossos objetivos de determinar representações do fluxo geodésico a serem empregadas no projeto de codificadores casados com a topologia de uma superf´ıcie (especificada pelo gênero da superf´ıcie), a impossibilidade de determinar-se uma representação finita para o código geométrico constitui um desafio a ser contornado, já que é esse o método que captura a topologia da superf´ıcie. Como apresentado no Seção 5.4, há pelo menos duas abordagens poss´ıveis para contornarmos esse obstáculo, uma é representar a interseção do código geométrico com o aritmético, enquanto a outra é fazermos uso de conjugados bem definidos entre os códigos. Para qualquer escolha que façamos, saber representar o código aritmético é uma necessidade inicial.

Neste cap´ıtulo demonstramos como, a partir de um conjunto infinito de restrições bem definidas para o código aritmético, especificadas na Proposição 84, podemos empregar os conceitos e métodos desenvolvidos no Cap´ıtulo 3 para gerar de forma sistemática uma representação determin´ıstica e m´ınima para o código. Em nosso desenvolvimento fica claro como a riqueza de propriedades das palavras proibidas conduzem à simplificação, sistematização e generalidade (com relação a topologia da superf´ıcie) do método. Essas propriedades decorrem da estrutura topológica da superf´ıcie, a saber, dos poss´ıveis ciclos completos de geradores.

Nosso desenvolvimento é baseada nos resultados apresentados em [8, 45], que por sua vez fazem suposições iniciais estabelecidas em [42, 44]. Portanto, iniciamos a Seção 6.1 estabelecendo as propriedades necessárias da região fundamental para aplicação destes resultados. Em seguida detalha- mos o método de geração de ciclos de vértices e sequências de geradores apresentado inicialmente na Seção 4.5. Finalizamos a seção com a demonstração de propriedades necessárias subsequentemente.

Empregando as propriedades das sequências de geradores, demonstramos no Teorema 86 da Seção 6.2 que o conjunto de restrições O que especificam o código de Artin é irredut´ıvel e que o procedimento para determinar o conjunto de restrições à direita é facilitado, não requerendo cálculos ou comparações além daquelas necessárias para especificar o conjunto finito de prefixos obtidos diretamente de um subconjunto finito e bem especificado de O.

Na Seção 6.3 exemplificamos o emprego dos resultados apresentados na Seção 6.2 para construir uma apresentação minimal para o código de Artin, obtido a partir da tesselação _{{12, 4} estudada} em [9]. O procedimento é geral, e a escolha desta tesselação deve-se a clareza que propicia para apreciação do método.

6.1 Ciclos de V´ertices

Dado um grupo FuchsianoΓ com região fundamental F , um pol´ıgono hiperbólico não triangular satisfazendo a propriedade dos cantos pares, com conjunto simétrico de geradoresΓ0. Consideraremos que Γ não possui elementos parabólicos e que vértices el´ıpticos não são interiores a segmentos de geodésicas contidos em∂F . Como apresentado na Seção 4.5, cada vértice v de F é identificado com um outro vértice pela aplicação de um gerador emΓ0. Cada vérticev é ponto terminal de duas ares- tass e∗s de F . Neste caso, denotamos por (v, s) e (v, ∗s) os poss´ıveis pares de arestas com ponto terminalv, de outra forma, s e∗s possuem v como ponto de interseção. Consideraremos a seguinte convenção para a denominação de arestas e vértices:

• Os vértices são enumerados em sentido anti-horário;

• Os pontos terminais da arestasi deF s˜ao os v´ertices vi evi+1, fazendo-sei + 1 = 1 caso i = N e F seja um pol´ıgono com N arestas.

Sejag(s) o gerador associado a aresta s de F . Especificado um par (v1, s1), então v2 = g(s1)(v1) e s2 = g(s1)(s1) formam um par (v2, s2). O processo é repetido, mas agora considerando a reflexão em torno dev2, ou seja, o par(v2,∗s2). De forma similar obtemos o par (v3,∗s3) para o qual g(∗s2)(v2) = v3 e g(∗s2)(∗s2) = s3. Portanto, através da sequência de ações: (i) Aplicar a transformação g(s) associada ao lados ao par (v, s), (ii) Refletir em torno de g(s)(v); determina-se a sequência de pares (v1, s1) → (v2,∗s2) → · · · → (vn,∗sn) → (vn+1,∗sn+1), onde eventualmente (vn+1,∗sn+1) = (v1, s1) já que o número de pares (v, s) é finito. A sequência de vértices v1, v2, . . . , vn é chamada

ciclo de vértices, enquanto a sequênciag1 = g(s1), g2 = g(∗s2), . . . , gn = g(∗sn) é chamada ciclo

de geradores ou sequência de geradores que especifica a transformaçãogv1,s1 = gngn−1. . . g1, tendo

(v1, s1) como par inicial. Pela convenção estabelecida quanto ao rótulo de vértices e arestas de F , especificado um par(vi, si), o ciclo de vértices e de geradores obtidos são ditos L-ciclo e L-sequência,

6.1 Ciclos de V´ertices 135 b b vi2 v_i₁ g_i₁ gi2

Figura 6.1: Relação entre ciclo de vértices e sequência de geradores.

respectivamente. Analogamente, no caso(vi+1, si), o ciclo de vértices e de geradores obtidos são ditos R-ciclos e R-sequências, respectivamente. A transformação gn. . . g1, associada a uma sequência de geradores obtida a partir de um vértice v em D2 _{é uma transformação el´ıptica ou identidade e,} necessariamente,(gn. . . g1)ν = 1 para algum inteiro ν. Neste caso v é um ponto el´ıptico de ordem ν. Sev ∈ ∂D2 _então_g

n. . . g1 é uma transformação parabólica [30, 46].

Proposição 81. A um ciclo de geradores está associada um único ciclo de vértices e vice-versa, a

n˜ao ser para ciclos de comprimento um e dois, quando pode-se associar os ciclosg, h e h−1_{, g}−1_.

Demonstração: A cada elemento gi de Γ0, como ao seu inverso, está associado uma única aresta si da região fundamental e a esta um único par de vértices {vi, ui}. Dado o ciclo de geradores gi1, gi2, . . . , gin, obtém-se que {g

−1

i1 (vi2), g

−1

i1 (ui2)} ∩ {vi1, ui1} = {vi1}. Portanto, o par inicial

(vi1, si1) que determina unicamente o ciclo de v´ertices a partir do qual o ciclo de geradores gi1, gi2, . . . ,

gin ´e especificada e unicamente determinado.

Dado um ciclo de vértices, definido o primeiro elemento do ciclo de geradores associada fica defi- nida toda a sequência, pois o par(vi1, si1) inicial fica determinado. Supondo que há uma ambiguidade,

ent˜ao os dois geradores associados aos lados adjacentes a vi1 mapeiam este emvi2. Sejam estes ge-

radores gi1 e gi2, a Figura 6.1 mostra a geração dos únicos ciclos de geradores poss´ıveisgi1, g

−1 i2 e

gi2, g

−1

i1 , que s˜ao oL-ciclo e R-ciclo associados ao ciclo de v´ertices vi1 → vi2, respectivamente.

Corol´ario 82. Seja gi1. . . gin e hj1. . . hjm um L-ciclo e R-ciclo, respectivamente. Logo, se u ∈

S(P(g)) ∩ S(P(h)) ent˜ao |u| ≤ 1, ou seja, L-ciclos e R-ciclos n˜ao possuem fatores em comum de

comprimento maior que um.

Demonstração: Segue da Proposição 81 que a um ciclo de geradores está associada um único ciclo de vértices. Portanto, o vértice associado a cada um dos geradores na sequência gi1gi2. . . gin é

No Lema 83 estabelecemos relações entre sequências de geradores obtidas a partir de vértices que pertencem a um mesmo ciclo de vértices. As relações estabelecidas contemplam os poss´ıveis casos, uma vez que são considerados todas as poss´ıveis combinações de vértices e lados adjacentes tomados a partir de um ciclo de vértices de referência. Ou seja, para o ciclov1 → · · · → vnconsideram-se os casos(vi, si) e (vi,∗si) para 1 ≤ i ≤ n.

Lema 83. Sejam os ciclos de v´ertices v1 → · · · vn e v′1 → · · · v′m com respectivas sequˆencias de

geradoresgv1,s1 = gn. . . g1 egv′1,s ′ 1 = g

′

m. . . g1′, comgi associado ao lodosi egi′ ao lados′i. Segv1,s1

egv′ 1,s

′

1 possuem dois elementos consecutivos iguais, a não ser pelas operações de permutação c´ıclica

e invers˜ao, ent˜ao: 1. gv1,s1 = gv′1,s

′

1 se, e somente se,(v1, s1) = (v

′ 1, s′1);

2. gv1,s1 = Tigv′₁,s′₁T

−1

i se, e somente se,(v1, s1) = (vi+1′ , s′i+1) e Ti = gi′. . . g1′;

3. gv1,s1 = g

−1 v′

1,s ′

1 se, e somente se,(v1, s1) = (v

′ 1,∗s′1); 4. gv1,s1 = Tig −1 v′ 1,s ′ 1T −1

i se, e somente se,(v1, s1) = (vi′,∗s′i) e Ti = gi′. . . g1′.

Demonstração: A análise que segue é baseada no resultado da Proposição 81, a saber, a uma sequência de geradores está associado um único ciclo de vértices e a um par (v, s) está associada uma única sequência de geradores, do que decorre diretamente o caso 1. Para o caso 2, temos que (v′

i+1, s′i+1) transita para (v′i+2,∗s′i+2) pela aplicação de gi+1′ , seguindo o procedimento para obtenção dos ciclos de vértices obtém-se quegv′

i+1,s ′ i+1 = g

′

i. . . g1′gn′ . . . gi+1′ = Ti(gn′ . . . g1′)Ti−1. Para o caso 3, temos que (v′

1,∗s′1) transita para (vm′ , s′m) pela aplicação de (gm′ )−1, seguindo o procedimento para obtenção dos ciclos de vértices obtém-se quegv′

1,∗s ′ 1 = (g ′ 1)−1. . . (g′m)−1 = gv−1′ 1,s ′

1. O caso 4 ´e estabe-

lecida pela aplicac¸˜ao emgv′ 1,s

′

1 de uma inversão seguida pela determinação do conjugado em relação

a transformac¸˜aoTi.

Do Lema 83 conclui-se que o conjunto de vértices de uma região fundamental é particionado em subconjuntos contendo os vértices que pertencem a um mesmo ciclo de vértices. Pois especificado um vértice inicial, o ciclo de vértices é preservado a não ser por permutação c´ıclica e inversão de ordem.

No documento Sistemas dinâmicos de eventos discretos com aplicação ao fluxo geodésico em superfícies hiperbólicas (páginas 152-158)