Fluxos

Intrinsecamente relacionado com a abordagem considerada no Cap´ıtulo 5 e no Cap´ıtulo 6, o conceito de fluxo emerge quando da descric¸˜ao por leis de evoluc¸˜ao de sistemas dinˆamicos que evoluem de forma autˆonoma. Um fluxo discreto no tempo(X, f ) ´e definido por um espac¸o de estados X e um

mapa de pr´oximo-estadof : X _{→ X. Um fluxo cont´ınuo no tempo (X, f) ´e definido por um espac¸o}

de estados X, uma variedade diferenci´avel e um campo vetorial f : X _{→ T X sobre ela. Fluxos} definem casos especiais de leis de evoluc¸˜ao comW = X e

∂ =_{(x0, w, x1)| w = x0 ex1 = f (x0)} (discreto no tempo)

equac¸˜ao de comportamento: σx = f _{◦ (x),} (2.10)

e

∂ =_{{((x, v), w)| w = x e (x, v) = f(x)}} (cont´ınuo no tempo)

equac¸˜ao de comportamento: ˙x = f _{◦ (x),} (2.11)

onde foi realizada a associac¸˜ao (n˜ao natural) do sinal externo com o estado. Tamb´em ´e necess´ario assumir que para qualquer condic¸˜ao inicial, a equac¸˜ao diferencial ˙x = f_{◦ (x), x(0) = x}0, possui uma ´unica soluc¸˜ao. Como resultado de (2.10) e (2.11), fluxos definem sistemas autˆonomos (sendo inter- pretados como uma propriedade de comportamento _BS). Sendo Markovianos, e portanto, sistemas representados via espac¸o de estados.

determin´ıstico. Possuindo lei de evoluc¸˜ao expressa por (2.12) ou (2.13).

σx = f◦ (x), w = r ◦ (x) (discreto no tempo), (2.12)

˙x = f _{◦ (x), w = r ◦ (x) (cont´ınuo no tempo).} (2.13)

Portanto, a lei de evoluc¸˜ao para um sistema representado via espac¸o de estados pode ser interpretada como um fluxo associado com um mapar : X → W , que permite a “observac¸˜ao do fluxo”.

A abordagem considerando fluxos sobre variedades tˆem sido empregada como a base para mode- los dinˆamicos em f´ısica. De fato, a mecˆanica Hamiltoniana6_{como tamb´em as equac¸˜oes de Schr¨odin-}

ger da mecˆanica quˆantica definem fluxos sobre variedades (contudo, os mapasr para observac¸˜ao do fluxo s˜ao definidos implicitamente e de forma n˜ao trivial). Apesar de em muitos casos extensiva- mente abordados, como aqueles t´ıpicos da mecˆanica, possa parecer natural considerar fluxos como a base para a dinˆamica. Em um aspecto generalista, podem ser citados pelo menos dois pontos de inconsistˆencia:

• Dado que os sistemas definidos s˜ao autˆonomos, fluxos consideram o sistema isolado do ambi- ente ou meio. Neste caso, o procedimento n˜ao s´o apresenta limitac¸˜oes no contexto pr´atico, onde precisamente a ac¸˜ao e reac¸˜ao do sistema com o ambiente ´e o elemento de importˆancia central. Ca- racter´ıstica evidente em teoria de controle e ciˆencia da computac¸˜ao. Como tamb´em na f´ısica h´a v´arias situac¸˜oes desta natureza. Uma abordagem baseada completamente em fluxos, requer, im- plicitamente, o isolamento do sistema do seu ambiente, o que demanda a modelagem da ac¸˜ao do ambiente sobre o sistema, forc¸ando `a situac¸˜ao indesejada de ter-se que modelar o ambiente; • Modelos que comec¸am com fluxos sobre variedades consideram o espac¸o de estados como dado,

ao passo que na abordagem considerada neste trabalho o comportamento externo ´e o elemento essencial e o espac¸o de estado um objeto matem´atico conveniente a ser constru´ıdo a partir das equac¸˜oes dinˆamicos que descrevem o comportamento externo. O estado de um sistema n˜ao ´e uma propriedade f´ısica do sistema real, ´e uma propriedade do modelo. Como exemplo, enquanto um modelo do sistema solar considerando os planetas como elementos pontuais com massa gera um espac¸o de estados de dimens˜ao finita. Se o mesmo sistema ´e modelado considerando-se um dos planetas como uma esfera levemente el´astica, ent˜ao o espac¸o de estados obtido apresentar´a dimens˜ao infinita. Portanto, ao modelar-se atrav´es do fluxo sobre uma variedade, o procedimento ´e iniciado pela especificac¸˜ao do espac¸o de estado X, seguido pela determinac¸˜ao das equac¸˜oes dinˆamicas, ou seja, o campo vetorialf . Contudo, isso gera uma l´ogica circular, j´a que as equac¸˜oes dinˆamicas ´e que devem determinar qual ser´a o espac¸o de estados. Pelo modelamento atrav´es do

6_{O artigo [10] que al´em de explicitar este processo, aborda as sistemas Hamiltonianos por uma rica perspectiva}

2.3 Leis de Evoluc¸˜ao 23

comportamento do sistema, primeiro ´e especificado o objeto a ser modelado, em seguida ´e escolhido umW , por fim especifica-se_{B, ent˜ao, se for necess´ario um espac¸o de estados X ´e determinado.}

Consideradas as observac¸˜oes acima, objetivando uma maior clareza sobre o que significa isolar um “sistema” de seu “ambiente ou meio”, consideremos um exemplo qualitativo que evidencie como o m´etodo e abordagem considerados para o estudo de um sistema dinˆamico influenciam na complexi- dade do m´etodo e relevˆancia do modelo obtido. Consideremos a modelagem da posic¸˜ao de um corpo em movimento enquanto exposto a influˆencias do meio. Como exemplos temos a posic¸˜ao de um p´assaro voando, de uma pessoa se movendo em meio a uma multid˜ao ou de um barco navegando em um mar agitado. Considerando o primeiro caso, sendo a posic¸˜ao do p´assaro a vari´avel de interesse, para descrever sua evoluc¸˜ao ser´a necess´ario introduzirmos como vari´aveis adicionais, pelo menos, o movimento de suas asas e as condic¸˜oes atmosf´ericas em torno do p´assaro, o que poder´a ser descrito pela velocidade e direc¸˜ao do vento. A interac¸˜ao entre estas vari´aveis descrever´a o comportamento do p´assaro, sendo especificado por uma “relac¸˜ao de compatibilidade” entre as vari´aveis envolvidas. Este seria um ponto de parada adequado para o modelo considerado, j´a que explica o posicionamento do p´assaro no ambiente constitu´ıdo pelo movimento de suas asas e as propriedades do vento. Um ponto a observar ´e que o modelo obtido envolve vari´aveis n˜ao conhecidas - o movimento das asas e a caracter´ıstica do vento.

Caso deseje-se inferir mais sobre a posic¸˜ao do p´assaro, ser´a necess´ario um maior conhecimento dos elementos envolvidos no processo de modelagem, ou seja, maiores certezas e menos “vari´aveis”. Neste caso, pode-se tentar incluir um modelo para a atmosfera, talvez supondo que a velocidade e direc¸˜ao do vento s˜ao constantes, ou que s˜ao uma func¸˜ao da altura. Essas considerac¸˜oes reduziriam as vari´aveis do modelo `a posic¸˜ao do p´assaro e ao movimento de suas asas. Como modelo pretendido para a posic¸˜ao do p´assaro, esse ´e um ponto adequado de parada, j´a que explica a relac¸˜ao entre a posic¸˜ao do p´assaro e o ambiente onde est´a inserido, formado pelo movimento de suas asas.

Se ainda assim desejarmos um modelo mais completo, poderemos tentar explicar o movimento das asas do p´assaro. Nos deparamos com a necessidade de refletirmos em nosso modelo a resposta dada pelo sistema neural do p´assaro aos est´ımulos externos conjugados a trajet´oria “pretendida pelo mesmo”. Neste contexto, nossas pretens˜oes v˜ao al´em dos elementos descritivos disponibilizados pela f´ısica te´orica. Vendo-nos compelidos a empregar elementos de ciˆencias prescritivos, tais com cibern´etica e inteligˆencia artificial. Ou seja, de alguma forma teremos de descrever por que as asas do p´assaro movem-se como o fazem. Uma forma de abordar o problema seria realizar hip´oteses a cerca das “caracter´ısticas” ou propriedades do fenˆomeno estudado, tais como a periodicidade do movimento. Embora emp´ırica, trata-se de uma afirmac¸˜ao plaus´ıvel e que conduziria a uma maior compreens˜ao do fenˆomeno estudado, portanto v´alida.

No caso em particular, poder´ıamos supor que o nosso p´assaro ´e uma ave de rapina, e que seu movi- mento ´e motivado por capturar uma presa no menor tempo poss´ıvel. O modelo resultante ser´a uma relac¸˜ao de compatibilidade associando a posic¸˜ao do p´assaro `aquela da presa. Tal resultado ´e o mo- delo almejado, j´a que explica a posic¸˜ao do p´assaro no seu meio, especificado pela posic¸˜ao da presa. No entanto, ainda h´a espac¸o para o aprimoramento desse modelo. Poder´ıamos modelar a posic¸˜ao da presa. Supondo-a um quadr´upede, sua posic¸˜ao seria determinada pelo movimento de suas patas e pelo terreno. Inicialmente, poder´ıamos modelar o terreno e contextualizar o movimento da presa, supondo que o movimento de suas patas ´e determinado pela maximizac¸˜ao da distˆancia deste para o predador. Teremos, neste caso, um modelo para a posic¸˜ao da presa com relac¸˜ao ao seu meio, cons- titu´ıdo pelo predador. Como resultado final, obteremos duas relac¸˜oes de compatibilidade descrevendo o comportamento descrito pelas posic¸˜oes do p´assaro e da presa. Conjuntamente, elas nos fornecer˜ao possivelmente um sistema fechado de equac¸˜oes que determinar˜ao a posic¸˜ao do p´assaro como uma func¸˜ao das condic¸˜oes iniciais.

Este caso acima exemplifica o que significa “um sistema isolado do seu meio mas interagindo com esse”. O que fica evidente ´e que isso implicar´a invariavelmente na ocorrˆencia de vari´aveis n˜ao explicadas ou n˜ao determinadas explicitamente, s˜ao estabelecidas de fora para dentro, e portanto, sendo arbitr´arias. De fato, tais func¸˜oes matem´aticas definidas no tempo s˜ao partes da modelagem matem´atica de sistemas dinˆamicos, e que, na maioria das situac¸˜oes de interesse, s˜ao constituintes compuls´orios. Al´em disso, fica claro que propriedades ou caracter´ısticas inerentes ao sistema invi- abilizam a aplicac¸˜ao de ferramentas te´oricas descritivas no estudo deste como um todo, requerendo invariavelmente o emprego de m´etodos prescritivos.

Apesar do exemplo apresentado envolver a descric¸˜ao de fenˆomenos associados a organismos vi- vos complexos, o que erroneamente poderia ser empregado como explicac¸˜ao absoluta para os desafios encontrados, obst´aculos n˜ao menos desafiadores s˜ao descritos em fenˆomenos de natureza econˆomica, social, ou mesmo puramente f´ısica. Isto se deve ao fato de depararmo-nos em muitos casos com sis- temas que envolvem parˆametros distribu´ıdos e onde n˜ao h´a evidˆencias que conduzam a um processo plaus´ıvel de simplificac¸˜ao.