A Topologia de Sistemas Dinˆamicos Discretos Invariantes no Tempo e Completos

Tabela 2.2: FORMAS APRESENTADAS PARA REPRESENTAÇ ÃO DE SISTEMAS DINAMICOS.ˆ Peculiaridade da Descrição Representaç ão Caracterização

- Σ = (T, W,B) B ⊆ WT

Vari´aveis Latentes Σa = (T, W, A,Ba) Ba ⊆ (W × A)T

Espac¸o de Estados ΣS = (T, W, X,BS) BS ⊆ (W × X)T

Lei de Evoluc¸˜ao Σ∂ = (T, W, X, ∂) ∂ ⊆ X × W × X

um autômato essencial permite que sejam determinadas palavras de comprimento arbitrário em L, possibilitando a inclusão em_B_Qcompl de sequências bi-infinitas que não sejam precedidas ou seguidas por sequências infinitas dos s´ımbolos_.

Fica clara a excepcionalidade do conceito de completude no contexto de autômato. No entanto, isso é uma consequência do emprego da teoria de sistema dinâmico para modelagem da linguagem reconhecida por um autômato. Como iniciado na Seção 2.4 e desenvolvido no Cap´ıtulo 3, a abordagem reversa (estudar o comportamento de sistemas de eventos discretos através da teoria de lingua- gens formais) conduz a determinação de propriedades e desenvolvimento de métodos relacionados a representação dos sistemas via espaço de estados, além da determinação de uma estrutura algébrica associada ao comportamento do sistema. Ao considerarmos o estudo de sistemas dinâmicos de eventos discretos especificados pelo seu comportamento _{B (ou seja, sequências bi-infinitas), poderemos} focar nossa abordagem em sistemas que possuam propriedades desejadas da dinâmica para os fins de aplicação almejada. Ao optarmos por essa abordagem, possibilitamos a estudo de diversos “sistemas” de interesse empregando os conceitos da teoria de sistemas dinâmicos, e.g., contadores, controle de tráfico, códigos convolucionais, processamento digital de sinais, etc.

2.4 A Topologia de Sistemas Dinˆamicos Discretos Invariantes no

Tempo e Completos

O conceito de lei de evolução introduzido na Seção 2.3 marca uma transição do até então “estático e abstrato” para o “dinâmico e realizável”. Para tornar essa afirmação compreens´ıvel, comparamos na Tabela 2.2 as diversas definições apresentadas de um sistema dinâmico. Isso possibilita verificar que enquanto os comportamentos_{B, B}a eBS descrevem o sistema dinâmico através do conceito de subconjunto (estático), a lei de evolução∂ especifica a relação entre “dom´ınio” e “imagem”, ou seja, descreve o sistema através de sua dinâmica.

A importância desta constatação é ressaltada quando deseja-se: Construir a lei de evolução que simule um sistema dinâmico discreto invariante no tempo e representado via espaço de estados. Essa

construção pode ser obtida por diversos métodos, seja com equações a diferença, máquinas de estado finito, etc. Contudo, independente do método empregado nesta construção, decorre do Teorema 4 que a representação obtida é completa, e portanto, que só será fidedigna ao comportamento do sistema simulado se esse também for completo. Em uma perspectiva prática, a importância desse resultado decorre da identificação das limitações inerentes a qualquer processo de simulação de um sistema dinâmico discreto (o que inclui aqueles obtidos através de discretização), descrita por um conjunto finito de relação (um conjunto finito de equações a diferença ou por um autômato com Q = I = T ), sendo esta limitação a invariável completude do sistema obtido. O que inclui, por exemplo, simulações computacionais de sistemas f´ısicos, já que os atuais computadores digitais são máquinas de estado finito complexas.

No processo de formalização deste resultado, consideremos um sistema dinâmico discreto representado via espaço de estadosΣS = (Z, W, X,BS). Que como observado na Seção 2.3, é um sistema invariante no tempo. Ao estabelecermos uma representação para este sistema, poderemos faze-lo através das formas equivalentes: Equação a diferença (2.18), ou pela especificação da lei de evolução induzida, como em (2.9).

f (x(t + L), w(t + L)), (x(t + L− 1), w(t + L − 1)), . . . , (x(t), w(t)) = 0, t ∈ Z (2.18) Em ambos os casos, obteremos como resultado de nossa representação um sistema completo especifi- cado pelo comportamento_Bcompl_S , já que, de acordo com o Teorema 4, o comportamento_B_Scompl é igual ao comportamento ¯_BSda lei de evolução induzida pelo sistemaΣS. Portanto, qualquer representação discreta de nosso sistema é necessariamente invariante no tempo e completa.

Em nossa abordagem, consideramos que a única informação inicial é um sistemaΣ = (Z, W,B) e que qualquer estrutura adicional é obtida pelo processo de modelagem, como a inserção de variáveis latentes ou um espaço de estados. Na procura por métodos que possibilitem a determinação de uma estrutura, particularmente uma que reflita a “memória” do sistema, consideraremos queΣ é completo. A forte implicação disso é que ao considerarmos uma representação via espaço de estadosΣSda qual o comportamento_BS seja formado por todas as sequências(w, x) satisfazendo Pw(w, x) = w, então ΣS é completa. Como consequência, há a possibilidade, como comentado acima, de determinar- mos uma representação paraΣ através de equações a diferença ou pela determinação de uma lei de evolução para o sistema. Antes de prosseguirmos, nós formalizamos essa implicação na Proposição 5.

Proposição 5. SejaΣ = (Z, W,_{B) um sistema dinâmico completo. A representação via espaço de}

estadosΣS = (Z, W, X,BS) de Σ ´e um sistema dinˆamico completo.

Demonstração: ComoΣS é uma representação deΣ, então Pw(BS) = B. Referindo-nos ao conceito de completude, segue que_B_Scompl_|[t0,t1]=BS|[t0,t1]para todo−∞ < t0 ≤ t1 <∞. Além disso, como

2.4 A Topologia de Sistemas Dinˆamicos Discretos Invariantes no Tempo e Completos 31

Σ é completo segue a relação Pw(BcomplS ) =B. Portanto, conclui-se que B compl

S =BS.

Podemos introduzir ainda mais estrutura à nossa abordagem se considerarmos o conjuntoW finito. Para efeitos práticos esta consideração não restringe o escopo de aplicações dos resultados obtidos, já que em qualquer simulação digital ou amostragem de um sistema dinâmico o espaço W resultante é finito, ou ainda, esta já é uma propriedade do sistema original. Neste caso, o comportamento do sistema é composto por um conjunto de sequências bi-infinitas em WZ

, o que será representado porw = (wi)i∈Z = . . . w−1w0w1. . ., onde wi∈ W é a i-ésima coordenada de w.

A partir das considerações até então estabelecidas, a saber: sistema dinâmicos discretos, in- variância no tempo, completude e conjunto W finito. Para facilitar a exposição, restabeleceremos nossa nomenclatura como forma de evitar ambiguidades. Representaremos um sistema dinâmico discreto, completo e invariante no tempoΣ = (Z, W,_{B) pela dupla (}X, σ), ondeX _{⊂ W}Z

representa o comportamento, ou seja,X=_{B e σ : W}Z

→ WZ

é uma ação chamada de função deslocamento, que reflete a invariância no tempo deΣ, sendo caracterizada por (2.19).

σ(w)

i = wi+1, para todo w∈ W Z

ei∈ Z. (2.19)

Considerar(X, σ) como um sistema que evolui discretamente, com a sequência em que os eventos ocorrem associada a Z, permite que interpretemos σ como o mapeamento adjacente que provê a dinâmica sobre o conjunto X. Ainda podendo ser vista como o gerador do grupo _{σn_{| n ∈ Z} que} representa a ação transitiva do grupo infinito(Z, +) sobre WZ

Ao considerarmosW um conjunto finito, possibilitamos a determinação de uma topologia a WZ decorrente da métrica discreta associada aW , especificada em (2.20).

ρ(α, β) =    0 seα = β, 1 seα_{6= β.} (2.20)

Sendo a métrica do espaço discreto associado ai-ésima coordenada do espaço de dimensão infinita WZ

dada por (2.21).

ρi(α, β) =

ρ(α, β)

2|i|−1 . (2.21)

A m´etrica do espac¸o produtoWZ

formado pelos espac¸os discretos associados as suas coordenadas ´e dada em (2.22).

d(x, y) = max

−∞<i<∞ρi(xi, yi), (2.22) o que permite a definição da métrica (2.22) pord(x, y) = 2−e(x,y), ondee(x, y) = max{n ≥ 0| xi = yi,−n ≤ i ≤ n}, convencionando-se e(x, y) = ∞ se x = y e e(x, y) = −1 se x0 6= y0. As-

sim, de acordo com a m´etrica (2.22) dois pontos emWZ

são tão mais próximos quanto mais longa a sequência central (com centro associado à coordenada 0) na qual coincidem. Munidos com uma métrica, podemos considerar uma estrutura onde dispomos de conjuntos abertos e fechados. Consi- derando o espaço métrico(WZ

, d), nós demonstramos na Proposição 6 que os conjuntos fechados em (WZ

, d) correspondem exatamente aos sistemas dinˆamicos completos definidos em WZ .

Proposição 6. X é um sistema dinâmico completo emWZ

se, e somente se,X é um conjunto fechado no espaço métrico(WZ

, d).

Demonstração: Suponha queX é um sistema dinâmico completo em(WZ

, d) e que existe a _{∈ W}Z satisfazendod(a, X) = 0. Isso implica que a_|[t0,t1] ∈ X|[t0,t1], −∞ < t0 ≤ t1 < ∞, decorrendo da

completude deXquea _∈X. Conclu´ımos queX é fechado, uma vez queXé igual ao seu fecho. Do fato de X ser fechado, a equação X = _{{a ∈ W}Z

| d(a,X) = 0_{} ´e observada. Suponha} que w ∈ WZ

satisfazw|[t0,t1] ∈ X|[t0,t1], −∞ < t0 ≤ t1 < ∞. Portanto, existe x ∈ X tal que

w|[−n,n] = x|[−n,n] paran > 0 arbitr´ario, o que implica que d(w,X) = 0. Segue do fechamento deX

quew∈X.

Agora, temos como descrever um sistema dinâmico completo em um conjunto finitoW de forma puramente topológica, quando associado ao espaço métrico(WZ

, d). Fazemos isso na Definição 6, onde dá-se o nome de sistema simbólico fechado a tal sistema.

Definiç ão 6. Um subconjunto X de um espaço métrico discreto (WZ

, d) é um sistema simbólico fechado (ssf) seX é fechado e invariante por deslocamento, i.e.,σ(X) =X.

Na verdade os ssf são conhecidos e extensivamente estudados na literatura cient´ıfica, sendo o principal objeto de estudo na teoria de dinâmica simbólica, encontrando diversas aplicações tanto em casos de interesse teórico quanto prático. A novidade aqui decorre de demonstrarmos explicita- mente serem estes os sistemas discretos sobre conjuntos finitos que possibilitam a determinação de representações através de equações a diferença e leis de evolução.

Empregando uma variac¸˜ao do “argumento diagonal de Cantor”, podemos demonstrar que o conjunto WZ

é compacto. Para isso, consideremos uma sequência _{wn} em WZ. De forma indutiva, parak _{≥ 1 determina-se uma sequência S}1 ⊃ S2 ⊃ S3. . . de subconjuntos infinitos de inteiros po- sitivos, tal que, todos os blocos wm|[−k,k]são iguais para todo m ∈ Sk. Define-se x como o ponto comx_|[−k,k] = wm|[−k,k] para todom ∈ Sk, e de forma indutiva define-semk com o menor inteiro de Sk que excede mk−1. Assim, x ∈ X e a sequência {wmk} converge para x quando k → ∞.

Conclu´ımos que toda sequˆencia em(WZ

, d) possui uma subsequência que converge em (WZ , d), o que o caracteriza como um espaço métrico compacto. Como um subconjunto fechado de um espaço métrico compacto é compacto, então um ssfXé compacto.

2.4 A Topologia de Sistemas Dinˆamicos Discretos Invariantes no Tempo e Completos 33

2.4.1 Homeomorfismo e codificac¸˜ao

Como caso de estudo na teoria de dinâmica simbólica que encontra aplicações no estudo de códigos, podemos citar os sistemas dinâmicos simbólicos definidos par(M, φ), onde M é um espaço métrico compacto e φ : M → M é uma função cont´ınua. Quando φ for um homeomorfismo (uma função cont´ınua, sobrejetiva, injetiva e seu inversoφ−1 _{é cont´ınuo), então}_{(M, φ) é chamado de um sistema}

dinâmico invers´ıvel. Um exemplo importante de homeomorfismo é(X, σ), ondeX é um ssf e σ é a função deslocamento.

O processo de comparação de sistemas dinâmicos simbólicos é formalizado pelo conceito de

homomorfismo, sendo este um mapeamentoθ : (M, φ)_{→ (N, ϕ) cont´ınuo que satisfaz a propriedade} comutativaϕ_{◦ θ = θ ◦ φ, como representado no seguinte diagrama.}

M −−−→ Mφ θ   y   yθ N _−−−→ ϕ N

Se θ for injetivo e sobrejetivo, como M é compacto, então o mapeamento θ−1 _{também é cont´ınuo.} Neste caso, θ é chamado de conjugado topológico e é escrito como θ : (M, ϕ) ∼= (N, φ). Quando há um conjugado topológico entre dois sistemas dinâmicos, estes são chamados de topologicamente

conjugado.

Consideremos o importante caso quando ϕ e φ são funções deslocamento. Dado os sistemas dinâmicos fechados(X, σX) e (Y, σY), onde σX, σYsão as funções deslocamentos associadas aos con-

juntosWZ eVZ

, respectivamente. ComoWZ

é compacto eX é fechado, então θ é uniformemente cont´ınua. Consequentemente, há um inteirok tal que para todo x _∈ X, o elemento (θ(x))0 é determinado pelo blocox_|[−k,k]. Comoθ comuta com a função deslocamento, então qualquer s´ımbolo de θ(x) é determinado por um bloco de comprimento (2k + 1).

Este resultado apresenta os elementos necessários para conectar a teoria de dinâmica simbólica à de codificação. O código é obtido por uma função especial chamada código de bloco deslizante ou

sbc (do termo em inglˆes sliding block codes). Um sbc φ mapeia sequˆencias . . . x−1x0x1. . . de um

ssfXsobreW em uma sequˆencia . . . y−1y0y1. . . sobre V , de forma definida por um mapeamento de blocosΦ : X_|[0,m+n] → V , ou seja, de todos os blocos de comprimento m + n + 1 em sequˆencias deXpara s´ımbolos emV . Assim, dado um sbc φ : X_{→ V}Z

tem-se quey = φ(x) se, e somente se, yi = Φ(xi−m· · · xi+n) = Φ(x|[i−m,i+n]), sendo φ um sbc de memória m e antecipação n induzido por Φ.

(m + n). Portanto, considerando uma sequˆencia de pontos_{xk}∞k=1 emX, selimk→∞ d(x, xk) = 0 (i.e., se _{xk}∞k=1 converse para x), ent˜ao limn→∞d φ(x), φ(xk)

= limk→∞d(x, xk)· 2m+n = 0. Assim, um sbc é uma função cont´ınua. Se agora considerarmos que y = φ(x), então φ(σX(x))i = Φ x_|[i+1−m,i+1+n] = yi+1 = σY φ(x)

i, portantoφ· σX = σY· φ, implicando que um sbc comuta com a função deslocamento. Dessas observações, podemos concluir que uma funçãoθ : (X, σX) →

(Y, σY) ´e um sbc se, e somente se, θ ´e um homomorfismo. Este resultado conecta os elementos de

teoria de códigos às estruturas topológicas abordadas na teoria de dinâmica simbólica.

No documento Sistemas dinâmicos de eventos discretos com aplicação ao fluxo geodésico em superfícies hiperbólicas (páginas 51-56)